高数—不定积分讲解和例题-1.pptVIP

第四章第四章 不定积分不定积分 1. 1. 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质 已知物体运动的位置函数 s = s(t) ，求时刻 t 的瞬时速度 v = v(t)。 微分学解决的问题微分学解决的问题 已知物体运动的速度函数 v = v(t) 求运动的位置函数 s = s(t)。 积分学解决的问题积分学解决的问题 一般，已知函数 f(x), 要找另一 个函数F(x), 使 F (x) = f (x)。 积分学的任务积分学的任务 一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念 定义定义1 1： 已知 f (x)是一个定义在区间I上的函数， 则称 F (x) 为 f (x) 在 I 上的原函数。 如 ： x 2 是 2 x 的原函数; d sin x = cos x d x, sin x 是 cos x 的原函数; s (t) 是 v (t) 的原函数 。 如果存在函数F (x), 使在 I 内的任一点都有 有关原函数的几个问题有关原函数的几个问题 1. 在什么条件下, f (x) 一定存在原函数？ 原函数存在定理原函数存在定理： 若 f (x) 在区间I 上连续， 则在 I 上必存在原函数。 2. 如果 f (x) 有原函数，那么共有几个？ 设F (x) 为 f (x) 的原函数，则 f (x) 如有原函数，就有无穷多个。 F (x) + C 包含了 f (x) 的所有原函数。 3. 如果 f (x) 有一个原函数 F (x) , 那么F (x) + C 是否包含了 f (x) 的 所有原函数？ 定义定义2 2 ： 函数 f (x) 的全体原函数就称为 f (x) 的不定积分。 记作 其中 积分号 f (x) 被积函数 f (x) d x 被积表 达式 x 积分变量 例 ： 若F (x) 为 f (x) 的一个原函数，则 不定积分的几何意义不定积分的几何意义: : f (x) 的一个原函数F (x) 的图形称为 f (x) 的一条积分曲线，方程为 y = F (x) . 就表示了一族积分曲线 y = F (x) + C . 它们相互平行，即 在横坐标相同的点 处有相同的切线斜 率。 x y 0x 先积分后微分的作用相互抵消。 由不定积分的定义 ， 则有 又 或 先微分后积分的作用抵消后加任意常数C。 例 ： 求通过点 ( 1, 2 )，且其上任一点处的 切线斜率等于该点横坐标6倍的一条曲线 。解 ： 设所求曲线方程为 y = f (x) . 由题意，曲线上点(x, y)的切线斜率 为一簇积分曲线 。 二、二、 基本积分表基本积分表 注意： 依基本导数公式与不定积分的定义， 即可得基本积分公式： 请同学们参见教材第186页15个公式 。 例例 题题 讨讨 论论 求下列不定积分： 例 1. 例 2. 三、三、 不定积分的性质不定积分的性质 性质性质1.1. 函数和的不定积分等于 各个函数的不定积分的和。 性质性质2.2. 被积函数中不为零的常 数因子可提到积分号外。 利用基本积分表和不定积分性质，可计算 一些简单函数的不定积分。注意3点： 1、在分项积分后，对每个不定积分的任意常数 不必一一写出。可在积分号全部不出现后简写为 一个常数。 2、检验积分结果是否正确，只要将其结果求导 ，看它的导数是否等于被积函数即可。 3、由于微分形式不变性，积分表中的每个公式 中的 x 可用其它变量 u 替代，公式仍正确。 技巧：先将被积函数变形，化为表中所列 的类型，然后再积分。 例 3. 例 4. 掌握被积函数的恒等变形。 例 5. 同理， 例 6. 例 7. 例 8. 例 9. (假分式=多项式+真分式) 从理论上来讲，只需把积分结果 求导，就可检验积分是否正确。但由 于函数变形及原函数间可相差一个常 数等因素，一般不检验。 所以注重积分过程的正确性是至 关重要的。 即每一步运算都要看能否还原到 上一步。 课课 外外 作作 业业 习 4 1（A） 1（双） 习 4 1（B） 1（5，6，7，11），2 一、第一类换元法 ( 凑微分法 ) 1.凑常数 例1 ： 2(2x = u) 2. 2. 换元积分法换元积分法 例2： 例3：( +1) (x + 1 = u) 例4： ( /a) a ( -1) 同理： 例5： 同理： 例6： 2. 凑函数（变量） 定理1. 设 F(u) 是 f (u) 的一个原函数，且 原函数，且有换元公式： u = (x)可导, 证明： 换元公式： (x) = u 前例： (u = sin x) 例1： 例2： 题目做得熟练后，中间变量题目做得熟练后，中间变量 u u 可以不写出来。可以不写出来。 例3： 同理： 例4： (sec x + tan x) (sec x + tan x) 同理： 例5： 或 例6： 2 例7： 例8： 例9： 一般一般 ： 例10 ： 例11 ： 一般：一般： 例12： 例13： 课课 外外 作作 业业 习 4 2（A） 3（4，5，6，13，16，17 ） 习 4 2（B） 2（4，7，8） 二、第二类换元法 (变量代换法) 定理2.设 x = (t) 是单调的可导函数， 换元公式： 令 x = (t)， 1. 三角代换 例1： 分析：目的：消去根式。 利用三角恒等式： 若令 x = a sin t , 被积函数 例1： 解：令 x = a sin t , d x = a cos t d t , t x a 例2： 分析： 若令 x = a tan t , 解： 令 x = a tan t , d x = a sec 2 t d t . t x a 也可令 x = a sh t ( t 0 ) 解 ： 令 x = a sh t ， d x = a ch t d t , 例3： 分析： 若令 x = a sec t , 解：令 x = a sec t , d x = a sec t tan t d t , t x a 或令 x = a ch t ( t 0 ) 如： 小结：小结： 当被积函数含有因子： 目的： 去根号 。 例例 题题 讨讨 论论 例1： 解： t x 例2： 解：令 x = tan t , d x = sec 2 t d t . x 1 t 2. 2. 根式代换根式代换 例1： 分析： 目的：化分数幂为整数幂。(去根号 ) 解： -1+1 回代 例2： 解： 例3： 令 x = sec t , d x = a sec t tan t d t , 解二： 解一： 3.3. 倒代换倒代换 对形如 ： 前例3 ： 例4 ： 解二 ： 解一： 熟熟记！记！ 教材第 203 页积分公式：(16)(24) 另外补充一个