高等数学与高考题.doc

例说高考题的高等数学背景黄婷 数学科学学院 2008（3）班 08211315号 摘要本文把初等数学与高等数学联系起来，从数学分析、高等代数、抽象代数、常微分方程、概率论、初等数学研究六方面来看某些高考题的问题，理论联系实际地谈了高等数学在高考题研究与教学中的指导作用本文的主要任务是在现代数学的观点下，沟通高等数学与高考题的联系。它的内容主要有三个方面：一是将现代数学的思想和方法渗透到高考中去；二是用具体材料来说明高等数学对高考题的指导意义；三是指出高考题中某些难以处理的问题的高等数学背景。关键词数学分析 高等代数 抽象代数 常微分方程 概率论 初等数学研究 高考题1、用数学分析的观点看高考题中的部分问题1、1 用数列的极限解决部分问题数列极限的定义：设为数列，为定数。若对任给的正数，总存在正整数，使得当时有 ，则称数列收敛于，定数称为数列的极限，并记作，或。例1 已知不等式，其中为大于的整数，表示不超过的最大整数。设数列的各项均为正，且满足，（1）证明 （2）试确定一个正整数，使得当时，对任意都有。探究：（1）当时，所以，即。于是有我们把所有的不等式两边相加得。又有题知当时，有，于是，即。因为，有，从而。当时，。故结论得证。（2）由（1）得，只要找出满足的即可。于是有，即，故取，对任意的满足。1、2 用函数图象的凹凸性解决部分问题定义：设为定义在区间上的函数，若对上的任意两点和任意的实数总有，则称为上的凸函数。反之，如果总有，称为上的凹函数。定理：设为定义在区间上的二阶可导函数，则在上为凸函数（凹函数）的充要条件是。凸函数与凹函数的几何形状例1 已知函数,且 w（1）试用含的代数式表示,并求的单调区间；（2）令,设函数在处取得极值，记点(,)，(,)，(), ,请仔细观察曲线在点处的切线与线段的位置变化趋势，并解释以下问题：（I）若对任意的，线段与曲线均有异于的公共点，试确定的最小值，并证明你的结论；（II）若存在点,，使得线段与曲线有异于的公共点，请直接写出m的取值范围（不必给出求解过程）.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 探究：（1）由于，又，于是，即，从而。就有，。令得，解得。 若时，即，的单调增区间为， 的单调减区间为。若时，即，的单调增区间为， 的单调减区间为。若时，即，于是的单调增区间为，无单调减区间。（2）由得（如图所示）.令得由（1）得单调递增区间是和，单调递减区间是，所以函数在处取到极值，故有.当时，是减函数，故即的二阶导数，因此在上是凹函数.当时，是增函数，故即的二阶导数，因此在上是凸函数.当时，故当时对应的点就是函数由凸函数转变到凹函数时图象连接的关键点即所谓函数图象的拐点.因此当过定点的直线与曲线相切时的切点固然就是决定线段与曲线有异于的公共点时点的临界位置.由易得，再结合函数图象凹凸性的变化，易得的取值范围为，从而满足题设条件的的最小值为2.因此，第（2）题第（I）小题的命题知识背景是一元三次函数图象的凹凸性，第（2）题第（II）小题的命题知识背景是一元三次函数图象的对称性.就是基于蕴涵有这样高等数学问题的命题知识背景，此题成为绝大多数考生最终难以逾越、最后难以征服的一座高山。例2 证明不等式，其中均为正数。 证 设（如图所示）。由的一阶和二阶导数，可见，在时为为严格凸函数。又根据詹森不等式，从而，即。又因为，所以。1、3 用微积分知识处理初等数学的问题例1 求证有两个相异实根，并且一个根大于，令一个根小于。证法一 （采用初等方法证明） 证明 将方程整理成 所以 所以方程有两个相异的实根，所以 因为 ，所以。因此 。证法二 （采用微积分方法证明） 证明 设则 因为，所以在区间和内分别存在和，使由连续函数的介值性定理，在区间和内分别存在和，使这表明和是方程的两个相异实根，。1、4 用拉格朗日中值定理证明不等式问题 定理：若函数满足如下条件 在闭区间上连续； 在开区间上可导，则在内至少存在一点，使得。 例1 设函数，如果对任何都有成立，求的取值范围。 解法一 （采用初等方法数形结合法） 对求导得，所以在上为增函数，所以曲线的切线斜率函数在上为减函数。又因为，所以在上的图像如图所示的经过原点的凹函数。因为，所以曲线在原点处的切线为。 令，由图形的直观性可知，要使在上恒成立，当且仅当，所以的取值范围为。 解法二 （采用拉格朗日中值定理） 当时，在闭区间上连续，在开区间上可导，于是根据拉格朗日中值定理，在内至少存在一点，使得，而，又，所以在上是减函数，从而。于是，即。又因为，所以在时，。故只要，总有。2、用高等代数观点看高考题的部分问题2、1 矩阵问题数量矩阵定义：设，其中均为数，若有，则称为阶数量矩阵。例1 某班试用电子投票系统选举班干部候选人。全班名同学，都有选举权和被选举权。他们的编号分别为。规定同意按，不同意（含弃权）按。令则同时同意第号同学当选的人数为探究：由题知， 由加法原理和乘法原理得，同时同意第号同学当选的人数为。故答案选 2、2 线性变换问题 定义：线性空间的一个变换称为线性变换，如果对于中任意的元素和数域中任意数，都有 例1 设是已知平面上所有向量的集合，对于映射，记的象为，若映射满足：对所有及任意实数都有，则称为平面上的线性变换，现有下列命题：设是平面上的线性变换，则；对，设，则是平面上的线性变换；若是平面上的单位向量，对，设，则是平面上的线性变换；是平面上的线性变换，若共线，则也共线。其中的真命题是。探究：对于，取，由定义得，则正确；对于，若，则有，于是有， ，则正确。 对于，若，则，而，故，即不是平面上的线性变换，则不正确。 对于，因为共线，则。由 ，则也共线，则正确。 故填 3、用近世代数的观点看高考题中的部分问题代数运算的定义：设是一个非空集合，到的映射称为是集合上的一个代数运算。设是集合上的一个代数运算，则由映射的定义，对中任意两个元素，在运算下，都有中唯一确定的元素，使得。通常记代数运算为，称为乘法，称为与的乘积，记为。例1 在集合上定义两种运算和如下： 那么 分析 由题知，于是，又由第二个表格知，故。从而选。该例题直接来源于近世代数中有关“运算”的问题。在解题方法上，只要正确理解题目给出的运算的新定义、新法则，直接按题中的新定义、新法则求解或判定即可。4、用常微分方程的观点看高考题中的部分问题利普希茨条件：函数称为在上关于满足利普希茨条件，如果存在常数，使得不等式 对于所有都成立，称为利普希茨常数。例1 在下面四个函数中，满足性质：“对于区间上的任意，恒成立”的只有 2 探究：由题知任意的在区间，都，即。对于选项，对任意的，可知；对于选项，对任意的，可知；对于选项，对任意的，可知；对于选项，对任意的，可知。故只有选项符合题意。注：要判断函数是否符合题意，根据利普希茨条件，关键是探求导函数的界限。5、用初等数学研究的观点看高考题中的部分问题蝴蝶定理：设是的弦，是的中点，现过任作二弦，记为依次与的交点（如图）。则有。例1 如图，椭圆的长轴与轴平行，短轴在轴上，中心为。 写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率； 直线交椭圆于两点；直线交椭圆于两点，求证： 。 对于中的，设交轴于点，叫轴于点。求证：。探究：如图，椭圆方程为，焦点坐标为 ， 。离心率。将直线的方程代入椭圆方程，得，整理得。根据韦达定理，知，所以，将直线的方程代入椭圆方程，同理可得，由得。设点，点。由共线，得，解得。由共线，同理可得。由变形得，即，所以，即。总而言之，从事初等数学教学的教师，只有用高等数学的知识、观点和方法以一种居高临下的态势，审视初等数学教学内容，才能使初等数学的教学达到理想的境界，进而才能不断提高数学教学的质量参考文献1 华东师范大学数学系。数学分析。北京：高等教育出版社，1999。2 李云杰。高等数学观点下的一些高考试题。数学通报，2008（2）。3