概率论与数理统计PPT教学课件-第7讲.ppt

,概率论与数理统计 第七讲,北京工业大学应用数理学院,问题的提出,在实际中，人们有时对随机变量的函数更感兴趣。如: 已知圆轴截面直径 d 的分布,2.4 随机变量函数的分布,求截面面积 的分布。,又如：已知 t=t0 时刻噪声电压 i 的分布，,求功率 w=i2r (r为电阻) 的分布等。,一般地，设随机变量 x 的分布已知，求y = g(x) (设 g 是连续函数) 的分布。,这个问题无论在理论上还是在实实际中都非常重要。,2.4.1 离散型随机变量函数的分布,解：当 x 取值 -1，0，1，2 时， y 取对应值 4，1，0 和 1。,由 py=0 = px=1=0.1， py=1 = px=0+px=2 = 0.3+0.4 = 0.7， py=4 = px=-1 = 0.2 .,例1：设随机变量 x 有如下概率分布：,求 y= (x 1)2 的概率分布。,得 y 的概率分布：,一般地，若x是离散型 随机变量，概率分布为,如果 g(x1), g(x2), , g(xk), 中有一些是相同 的，把它们作适当并项即可得到一串互不相同 (不妨认为从小到大) 的 y1, y2 , yi ,.,把 yi 所对应的所有xk ( 即yi = g(xk) ) 的 pk相加， 记成 qi , 则 q1, q2, , qi ,就是y = g(x) 的概率分布。,例2：在应用上认为: 单位时间内，一个地区发 生火灾的次数服从泊松分布。设某城市一个月 内发生火灾的次数 xp(5)，试求随机变量y= |x-5|的概率分布。,解：由于x的所有可能取值为0, 1, 2, , 对应的概率分布为,及y=|x-5|可知，y 的所有可能取值为0, 1, 2, 。且对每个 i，当 0 i 5时，有 k=5+i 和 k=5-i 两个 k 值与 i 对应, 使 |k-5|=i ;,当i=0 或 i6 时，只有一个 k 值与 i 对应，使|k-5|=i 。 于是，y的概率分布为：,2.4.2 连续型随机变量函数的分布,解：设 y 的分布函数为 fy(y)，则,例3：设随机变量x 有概率密度,求 y = 2x+8 的概率密度。,于是y 的密度函数,注意到,得,求导可得,当 y0 时,例4：设 x 具有概率密度fx(x)，求y=x2的密度。,解：设y 和x的分布函数分别为fy(y)和fx(x),注意到 y=x2 0，故当 y0时，fy(y)=0；,若,则 y=x2 的概率密度为：,从上述两例中可以看到, 在求p(yy)的过程中, 关键的一步是设法从 g(x)y 中解出x,从而得到与 g(x)y 等价的x的不等式 。 例如: 用x(y-8)/2 代替 2x+8y,用 代替 x2 y 。,这样做是为了利用已知的 x的分布，求出相应的y的分布函数 fy (y)。,这是求随机变量函数 y = g(x) 的分布函数的一种常用方法。,例5：设随机变量x的概率密度为,求 y = sinx 的概率密度。,解：注意到,当 y0 时， fy(y)=0；,当 y1时，fy(y)=1；,当 0 y 1时,而,对 fy (y) 求导，得,所以,例6：已知随机变量x的分布函数f(x)是严格单调的连续函数, 证明y=f(x)服从0,1上的均匀分布。,又由于x的分布函数f是严格递增的连续函数, 其反函数 f-1 存在，且严格递增。,证明: 设y 的分布函数是 g(y)，,于是，,对 y1, g(y)=1;,对 y0, g(y)=0;,由于0y1，,对0y1,g(y)=p y y ,=p f(x) y ,=f (y)= y，,即y的分布函数是,=p f-1 f(x)f-1 (y) ,=p xf-1 (y) ,y 的密度函数,故, y 服从0，1上的均匀分布。,下面给出一个定理，当定理的条件满足时，可直接求随机变量函数的概率密度 。,定理的证明与前面的解题思路类似。,其中 x = h(y) 是 y = g(x) 的反函数，,定理1: 设 x是一个取值于区间a, b, 具有概率密度 fx(x)的连续型随机变量, 又设 y= g(x)处处可导的严格单调函数, 记 (, ) 为g(x)的值域，则随机变量y = g(x)是连续型随机变量，概率密度为,例6：设随机变量x在 (0,1) 上服从均匀分布，求 y=-2ln x 的概率密度。,解：在区间 (0, 1) 上，函数 ln x 0，,故 y = -2ln x 0,于是 y = -2ln x 在区间 (0,1) 上单调下降， 有反函数,由前述定理，得,注意取 绝对值,已知 x 在 (0,1) 上服从均匀分布，,代入 的表达式中,得,即y 服从参数为1/2的指数分布。,本