高数一第一次辅导讲义.ppt

高等数学(一)学习辅导 第一部分：内容提要和考试要求 一、 函数、极限与连续 （1）理解函数的概念，理解函数的两个要素：函数的 定义域与函数的对应法则 （2）理解函数的奇偶性和单调性，了解函数的有界性 和周期性 （3）了解反函数的概念，会求单调函数的反函数 （4）理解和掌握函数的四则运算和复合运算，熟练掌 握复合函数的复合过程 （5）掌握基本初等函数的简单性质及其图象，了解初 等函数的概念 （6）了解函数极限的直观概念. （7）理解函数在一点处左、右极限的概念，理解函 数在一点处极限存在的充分必要条件. （8）熟练掌握用两个重要极限求极限的方法. （9）掌握极限的四则运算法则. （10）理解无穷小量概念，了解无穷大量概念，掌 握无穷小量性质.了解无穷小量的阶的概念. （11） 理解函数在一点连续与间断的概念，掌握 判断简单函数（含分段函数）在一点连续的方法. （12）了解在闭区间上连续函数的性质 （13）理解初等函数在其定义区间上性质.并会利用 函数连续性求极限. 二、 一元函数微分学 （1）理解导数的概念及其几何意义. （2）会求曲线上一点处的切线方程. （3）熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及 复合函数的求导方法. （4）掌握隐函数的求导法. （5）了解高阶导数的概念，会求函数的二阶导数. （6）理解微分的概念.会求函数的一阶微分. （7）熟练掌握用洛必达法则求 、 、 、 、 型未定式的极限方法. （8）掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单 调增、减区间的方法，会利用函数的增减性证明简单 的不等式 （9）理解函数极值的概念，掌握求函数的极值、最 大值与最小值的方法，并会求解简单的应用问题 （10）会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点 三、一元函数积分学 （1）理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握 不定积分的性质 （2）熟练掌握不定积分的基本公式 (3)理解定积分的概念、基本性质、定积分中值定理 (4)掌握微积分基本定理（即变上限积分定理）和微积 分基本公式（即牛顿-莱布尼兹公式）. (5)运用定积分的换元法和分部积分法计算定积分. (6)运用定积分求平面曲线围成图形的面积和简单 立体的体积. 第二部分：解题方法和典型例题 一、求极限的主要方法 1.利用各极限定理与性质（包括左右极限定理、单调 有界定理、夹逼准则等）. 2.运用四则运算公式与连续性求定式的极限. 3.求未定式的极限，常用如下方法： （1）未定式变形法，即运用初等变形（通分、约分、 同乘同除、有理化分母与分子、求数列之和、用恒等 式或三角公式变形、换元法、取对数等）化未定式为 定式，再求出极限. （2）利用重要极限与常用极限公式，利用等价无穷小 求极限. （3）利用洛必达法则求极限（作为导数的应用）. 例1 求 解：题目含 和 ，需用左、右极限来求. 左极限= 右极限= 所以原极限=1. 例2 求 解 ：题目比较复杂，可用等价无穷小替换变简单. 原式= 例3 设 ，求 解 先证数列 存在极限.易知 当 时， .假设 时， ，则当 时， ，所以 ， 即 是有界数列. 由于 ，所以 ，从而 ， 则 ，故 是单调增加数列，从而数 列 必定存在极限. 设 ，对等式 两边取极限， 得 ，从而 （ 舍去 ）. 例4 已知 ，求 解 因为 ，所以 ， 从而 .以 代入原式得 原式= 所以 . 二、一 元函数微分法 1. 要求掌握导数、微分及高阶导数的定义和几何意义. 2.熟练掌握计算导数、导函数、微分及高阶导数的各种 方法，特别是复合函数、隐函数求导公式、对数求导法 等. 例5 设 ，求 和 解: 当 时， 当 时， 由于 不存在极限 ， 所以 在 处不连续，故 在 不可导，即 不存在. 例6 求二次曲线 上任一点 处切线方程. 解: 由隐函数求导法，将方程两边对 求导得， , 从而 切线斜率 故切线方程为 例7 求函数 的 阶导数. 解 例8 设 对任何 都满足 ，且 （常数），求 解 令 ，则 ，从而 三、微分中值定理与导数的应用 1.掌握罗尔定理、拉格朗日定理的条件、结论、几何意 义、相互关系. 2.熟练运用洛必达法则求各种未定式的极限（包括 七种类型）. 3.利用导数研究函数的各种性态（包括单调性、极值、 最值及应用题、凹凸性及拐点）. 例9 设 ，其中 有二阶连 续导数，且 . （1）确定 的值，使 在点 处连续. （2）求 . （3）讨论 在点 处的连续性. 解 （1）利用洛必达法则求极限： 所以当 时， ，这时 在点 处连续. （2） 时， 时，用定义求导数： （3） 所以 在 处连续. 四、计算不定积分的方法 主要有：直接积分法、两个换元积分法、分部积分法 、有理函数及可化为有理函数的积分法等，其中换元 法和分部积分法是常用的两个主要方法. 例10 已知 的一个原函数为 ，求 . 解 因为 ，即 ，所以 例11 已知 ，求 . 解 令 ，则 ，从而 ，所以 考虑到上式中 的 ，且题目设 时 所以应取 ，从而应舍去 ，故 例12 求 解 若先让 凑成 ，计算将很复杂，应优先化简 分母. 原式 例13 求 解 原式 五、定积分及其应用 1.理解定积分的概念、基本性质、定积分中值定理. 2.掌握微积分基本定理（即变上限积分定理）和微积 分基本公式（即牛顿-莱布尼兹公式），利用求原函数 （或不定积分）和牛顿-莱布尼兹公式计算定积分. 3.运用定积分的换元法（包括第一类和第二类）和分 部积分法计算定积分. 4.运用定积分求平面曲线围成图形的面积以及简单立 体的体积. 例14 设函数 在0，1上连续，在（0，1）内可导 ， ，求证在（0，1）内至少存在一 点 ，使 . 证明 由已知 的条件， 满足定积分中值定理的 条件，所以存在 ，使 ， 从而 ，再由罗尔定理，存在 ， 使 . 例15 已知 ，求证 . 分析：被积函数 在 处不连续，所以不能应用 积分上限求导公式，而要用分部积分法将 改造成 在 处连续的另一函数，问题即可解决. 证明 其中约定 于是新的被积函数 在 处连续，从而 另设 ，则 所以 例16 求 分析：对于被积函数含根式、绝对值或分段函数的积 分，应设法去掉根号、绝对值或分段来计算，应注意 被积函数在不同部分区间所取的正负号或不同的表达 式. 另设 ， 则 所以 例16 求 分析：对于被积函数含根式、绝对值或分段函数 的积分，应设法去掉根号、绝对值或分段来计算 ，应注意被积函数在不同部分区间所取的正负号 或不同的表达式. 解：原式 例17：设 在 上连续，在 内可导,且 令 ， 求证在 内 . 证明 由定积分中值定理，存在 ，使 从而 ,又因为 ,所以 单调减少，从而 ，又 ，从 而 例18 设曲线 , 轴和 轴所 围区域被曲线 分成面积相等的两部分，其 中 为常数，试求 的值. 解：由 ， 求得交点坐标为 分别记上、下两块的面积为 和 ，则 而 ， 从而 ，故 . 例19 计算下列定积分 解 （1）原式 （2）令 ，则 ，从而 移项得 （3） 原式 例20：设 在 上连续，且 求证 (1) (2)方程 在 内有且仅有一个根 . 证明（1）由积分变上限函数的性质知 （2） 又知 在 上连续，所以由零点存在定理， 方程 在 内至少有一个根.又因 ，所以 在 上严格单调增加 ，从而方程 在 内仅有一个根. 例21 设 ，求 解：设 ，则 原式 例22 求下列极限： （1） （2） 解:(1) 原式= （2） 例23 求下列极限： （1） （2） 解（1） 原式= （2） 例24 求下列极限： （1） （2） 解：（1）当 时， 所以 （2） 例25 求下列函数极限： （1） （2） 解（1） （2） 例26求下列极限： （1） ,（2） 解（1）原式= （2） 另求下列极限： （3） （4） 解（3） （4） 或（4） 例27：求下列极限： (1) （2） 解（1）因 所以 （2）因 所以 例28求下列函数在分段点处的极限： （1） （2） 解：(1) 即 故 （2） 即 故 不存在. 例29 已知 ，求 的值. 解：因当 时， ，由此及已 知，可得必有 （否则，将与已知矛盾）, 即 从而有 即 或由已知，必有 即 ，由 比较两端系数，得 例30：若 , 求 的值 解：此为“ ”型极限，即 因分母为 的一次二项式，分子必为常 数，即 例31判断函数的连续性 (1) (2) 解:(1)当 时， 处处连续，在分段 点处， 即 。从而 在 不连续 （2）当 时， 处处连续，分段点 为 ， 即 所以 ，且 ， 即 ，所以函数在 也连续，从而 在 上连续. 例32：求函数 的间断点. 解：函数在 处没定义， 因此 为间断点. 例33 求函数 的间断点 解： 为分段函数，分段点为 对 ，有 ，即左、右极 限存在但不相等，故其为间断点 对 从而有 ，又 从而 为连续点，故 只有 为 间断点. 有 例34设函数 在 处可导， 且 ，求 解：由导数定义可知 例35讨论 在 处的可导性. 解： = = 虽然左、右导数都存在，但不相等，所以在 处不可导. 例36 求下列函数的导数 （1） （2） （3） （4） 解:(1)函数是由 复合 而成的，于是 (2)函数 是由 复合而成的，于是 (3) (4) . 例37求函数 的极值. 解：函数 的定义域为 , 函数的 导数为 = 令 ,得驻点 .且 是不可导 点.列表讨论 的极值如下: 由上表可知，在 处，函数 取得极 小值 ； 在 处，取得极大值 不存在 极大值0 例38要造一圆柱形油桶，体积为V，问如 何设计底半径R和高 ,才能使用料最省？此 时，底直径与高的比是多少？ 解：依题意 ，桶的表面积为 ,令 ,解得驻点 , 而 ，