理论力学机械工业出版社第十一章动量矩定理习题解答.doc

- 1 - 习习 题题 11-111-1 质量为m的质点在平面Oxy内运动，其运动方程为：。其中a、btbytax2sin,cos 和 w 均为常量。试求质点对坐标原点O的动量矩。 taxvxsin tbyvy2cos2 xmvymvL yxO )cos2cos22sinsin(tatbtbtam )cos2cos22sin(sinttttmab )cos2cos2cossin2(sintttttmab )2cos(sincos2 2 tttmab tmab 3 cos2 11-211-2 C、D两球质量均为m，用长为 2 l的杆连接，并将其中点固定在轴AB上，杆CD与 轴AB的交角为 ，如图 11-25 所示。如轴AB以角速度 w 转动，试求下列两种情况下，系统对 AB轴的动量矩。 （1）杆重忽略不计；（2）杆为均质杆，质量为 2m。 图 11-25 (1) 222 sin2)sin(2mllmJz 22 sin2lmLz (2) 22 0 2 sin 3 2 d)sin(2mlxx l m J l z 杆 22 sin 3 8 mlJz 22 sin 3 8 lmLz 11-311-3 试求图 11-26 所示各均质物体对其转轴的动量矩。各物体质量均为m。 图 11-26 - 2 - (a) 2 3 1 mlLO (b) 222 9 1 ) 6 ( 12 1 ml l mmlJO 2 9 1 mlLO (c) 222 24 5 23 1 212 1 mll m l m JO 2 24 5 mlLO (d) 222 2 3 2 1 mRmRmRJO 2 2 3 mRLO 11-411-4 如图 11-27 所示，均质三角形薄板的质量为m，高为h，试求对底边的转动惯量Jx。 图 11-27 面密度为 bh m A 2 在y处 b h y byyy h m yb h y bh m yb bh m Am yA d 2 d 2 d 2 dd 2 微小区域对于z轴的转动惯量 yyhy h m myhJzd)( 2 d)(d 2 2 2 hh z mhyyhyyh h m yyhy h m J 00 2322 2 2 2 ) 4 1 3 2 2 1 (2d)2( 2 d)( 2 2 6 1 mh 11-511-5 三根相同的均质杆，用光滑铰链联接，如图 11-28 所示。试求其对与ABC所在平面 垂直的质心轴的转动惯量。 图 11-28 3) 3 1 ( 12 1 22 hmmlJzlh 2 3 2222 2 1 3) 12 1 12 1 (3) 2 3 3 1 ( 12 1 mlmllmmlJz 11-611-6 如图 11-29 所示，物体以角速度 w 绕O轴转动，试求物体对于O轴的动量矩。(1) - 3 - 半径为R，质量为m的均质圆盘，在中央挖去一边长为R的正方形，如图 11-32a 所示。(2) 边长为 4a，质量为m的正方形钢板，在中央挖去一半径为a的圆，如图 11-32b 所示。 图 11-29 (1) 2 1 2 6 1 2 1 RmmRJC 2 2 1 m m R R m 222 6 13 6 1 2 1 mRR m mRJC ) 1( mm mm 2222 6 79 ) 1( 6 13 mRR m mRRmJJ CO 2 6 97 mRJL OO (2) 2 1 2 2 1 )4( 6 1 amamJCmm a a m 16 16 2 2 1 222 96 3256 16 2 1 3 8 mamamaJC mmmm 16 16 16 2222 96 488963256 8 16 16 96 3256 )22(mRammaamJJ CO 2 96 511024 mR 2 96 102451 mRJL OO 11-711-7 如图 11-30 所示，质量为m的偏心轮在水平面上作平面运动。轮子轴心为A，质心 为C，ACe；轮子半径为R，对轴心A的转动惯量为JA；C、A、B三点在同一直线上。试求下 列两种情况下轮子的动量和对地面上B点的动量矩：(1)当轮子只滚不滑时，已知v vA；(2)当轮 子又滚又滑时，已知v vA、w。 图 11-30 )()()( 2 meJeRmvJeRmvL AcCCB - 4 - (1) R vA )(eRvC R v eRmmeJ R v meJ R v eRmL A A A A A B )()()( 2222 (2) evv AC CAB JeRevmL)( )()()( 2 meJeRmeveRm AA )()(meRJveRm AA 11-811-8 曲柄以匀角速度 w 绕O轴转动，通过连杆AB带动滑块A与B分别在铅垂和水平滑道 中运动，如图 11-31 所示。已知OCACBCl，曲柄质量为m，连杆质量为 2m，试求系统在 图示位置时对O轴的动量矩。 图 11-31 (顺时针) AB ABOCO LLL 2 3 1 mlLOC 2222 3 4 3 2 2)()2)(2( 12 1 2mlmlmllmlmvL ABCAB 2 3 5 mlLOC 11-911-9 如图 11-32 所示的小球A，质量为m，连接在长为l的无重杆AB上，放在盛有液体 的容器中。杆以初角速度 w0绕O1O2轴转动，小球受到与速度反向的液体阻力Fkmw，k为比 例常数。问经过多少时间角速度 w 成为初角速度的一半？ 图 11-32 2 mlLzkmlMz z z M t L d d - 5 - 得 l k t d d t t l k 0 d d 0 t l k 0 ln 0 ln k l t 2ln k l t 11-1011-10 水平圆盘可绕z轴转动。在圆盘上有一质量为m的质点M作圆周运动，已知其速 度大小v0=常量，圆的半径为r，圆心到z轴的距离为l，M点在圆盘上的位置由 f 角确定，如 图 11-33 所示。如圆盘的转动惯量为J，并且当点M离z轴最远（在点M0）时，圆盘的角速度 为零。轴的摩擦和空气阻力略去不计，试求圆盘的角速度与 f 角的关系。 图 11-33 0 z M常常 z L )( 00 rlmvLzcos)cos2( 00 22 lmvrmvlrrlmJL zz )(cos)cos2( 000 22 rlmvlmvrmvlrrlmJz )cos2( )cos1 ( 22 0 lrrlmJ vml z 11-1111-11 两个质量分别为m1、m2的重物M1、M2分别系在绳子的两端，如图 11-34 所示。两绳 分别绕在半径为r1、r2并固结在一起的两鼓轮上，设两鼓轮对O轴的转动惯量为JO，试求鼓轮 的角加速度。 图 11-34 222111 rvmrvmJL Oz 11 rv 22 rv )( 2 22 2 11 rmrmJL Oz 2211 grmgrmMz - 6 - z z M t L d d 2211 2 22 2 11 )(grmgrmrmrmJO 2 22 2 11 2211 rmrmJ grmgrm O 11-1211-12 如图 11-35 所示，为求半径R0.5m 的飞轮A对于通过其重心轴的转动惯量，在飞 轮上绕以细绳，绳的末端系一质量为m18kg 的重锤，重锤自高度h2m 处落下，测得落下时 间t116s。为消去轴承摩擦的影响，再用质量为m24kg 的重锤作第二次试验，此重锤自同 一高度落下的时间t225s。假定摩擦力矩为一常数，且与重锤的重量无关，试求飞轮的转动 惯量和轴承的摩擦力矩。 图 11-35 v R mRJ mvR R v JmvRJLz)()()( 2 mgRMM z f z z M t L d d f 2 )(MmgRa R mRJ RMmgRamRJ)()( f 2 RMmgR t h mRJ)( 2 )( f 2 2 h RtMmgR mRJ 2 )( 2 f 2 第一次试验 22 165 . 0)5 . 08( 5 . 08 2 f 2 Mg J (1)4(322 f MgJ 第二次试验 22 255 . 0)5 . 04( 5 . 04 2 f 2 Mg J - 7 - (2)2(125.781 f MgJ (1)-(2) f 125.4625.281Mg mN0238. 6 f M 由(1)得 2 f mkg 6 . 10592)4(32MgJ 11-1311-13 通风机风扇的叶轮的转动惯量为J，以初角速度 w0绕其中心轴转动，见图 11- 36。设空气阻力矩与角速度成正比，方向相反，即Mkw，k为比例系数，试求在阻力作用 下，经过多少时间角速度减少一半？在此时间间隔内叶轮转了多少转？ 图 11-36 刚体定轴转动微分方程 kM t J d d t J k d d t t J k 0 2 d d 0 0 t J k 2 1 ln 2ln k J t 11-1411-14 两均质细杆OC和AB的质量分别为 50kg 和 100kg，在C点互相垂直焊接起来。若 在图 11-37 所示位置由静止释放，试求释放瞬时铰支座O的约束力。铰O处的摩擦忽略不计。 图 11-37 ggggmgmMJ e zO 125)10025(15 . 0)()( 21 F 150100 3 100 3 50 11002100 12 1 150 3 1 222 O J g g 6 5 150 125 - 8 - 质心运动定理 125)10025(5 . 0 212211 mmamamma yCyCCy 0 Cx ma e xCx Fma e yCy Fma Ox F0 21 125WWFOy 0 Ox FgmgmFg Oy21 6 5 125 N449 6 275 6 5 125150gggFOy 11-1511-15 质量为 100kg、半径为 1m 的均质圆轮，以转速n=120r/min 绕O轴转动，如图 11- 38 所示。设有一常力F F作用于闸杆，轮经 10s 后停止转动。已知摩擦因数0.1，试求力F F 的大小。 图 11-38 杆 05 . 35 . 10 N FFMO N 7 3 FF 圆轮 RFJO d R J F O dNd FF Rt J R JF F OO d N t mRnn Rt mR Rt J FF O 140 30 7 2 1 3 7 3 7 3 2 N N28.269 101 . 0140 1201100 11-1611-16 如图 11-39 所示的带传动系统，已知主动轮半径为R1、质量为m1，从动轮半径为 R2、质量为m2，两轮以带相连接，分别绕O1 和O2轴转动，在主动轮上作用有力偶矩为M的主 - 9 - 动力偶，从动轮上的阻力偶矩为。带轮可视为均质圆盘，带质量不计，带与带轮间无滑动。 M 试求主动轮的角加速度。 图 11-39 主动轮 MRFFJO 11T2T1 )()( 1 从动轮 MRFFJO 22T1T2 )()( 2 即 (1) 11T2T1 2 11 )( 2 1 RFFMRm (2)MRFFRm 21T2T2 2 22 )( 2 1 因 1 2 2 1 R R 式(1)R2+(2) R1 1221 2 2212 2 11 2 1 2 1 RMMRRRmRRm 1212 2 1212 2 11 2 1 2 1 RMMRRRmRRm 1212 2 121 )( 2 1 RMMRRRmm 2 2 121 12 1 )( )(2 RRmm RMMR 11-1711-17 如如图 11-40 所示，电绞车提升一质量为m的物体，在其主动轴上作用有一矩为M的 主动力偶。已知主动轴和从动轴连同安装在这两轴上的齿轮以及其它附属零件的转动惯量分别 为J1 和J2 ；传动比 z2:z1i；吊索缠绕在鼓轮上，鼓轮半径为R。设轴承的摩擦和吊索的质 量均略去不计，试求重物的加速度。 图 11-40 主动轴 MRFJ 1t11 )( 1t21 RFMiJ (1) 1t 1 RFMa R iJ - 10 - 从动轴连重物 v R mRJ mvR R v JmvRJL O )( 2 2 222 2 mgRRFMO 2t 2 2 2 d d O M t LO (2)mgRRFa R mRJ 2t 2 2 式(1)R2+(2) R1 121 2 2 2 1 mgRRMRaR R mRJ aR R iJ 上式除以R1 mgRMia R mRJiJ 2 2 2 1 2 2 1 2 )( JiJmR RmgRMi a 11-1811-18 半径为R、质量为m的均质圆盘，沿倾角为 的斜面作纯滚，如图 11-41 所示。不 计滚动阻碍，试求：(1)圆轮质心的加速度；(2)圆轮在斜面上不打滑的最小静摩擦因数。 图 11-41 (1) 圆盘的平面运动微分方程 )( e CC e yCy e xCx MJ Fma Fma F (1)FmgmaCsin (2)cos0 N mgF (3)FrJC (4)raC - 11 - 由式(3)、(4)得 C maF 2 1 代入式(1) sin 3 2 gaC 由式(2) cos N mgF (2) cossin 3 1 sNs mgFmgF tan 3 1 s tan 3 1 mins 11-1911-19 均质圆柱体A的质量为m，在外圆上绕以细绳，绳的一端B固定不动，如图 11-42 所示。圆柱体因解开绳子而下降，其初速度为零。试求当圆柱体的轴心降落了高度h时轴心的 速度和绳子的张力。 图 11-42 (1) T FmgmaA RFJC T )( RF R a mR A T 2 2 1 (2) T 2 1 FmaA 由式(1)、(2)得 gaA 3 2 mgF 3 1 T ghhghav AA 3 3 2 3 2 22 11-2011-20 如图 11-43 所示，有一轮子，轴的直径为 50mm，无初速地沿倾角的轨道滚 20 下，设只滚不滑，5 秒内轮心滚过距离s=3m。试求轮子对轮心的回转半径。 图 11-43 与习题 11-18 类似，此处 2 mJC (1)FmgmaCsin - 12 - (2)cos0 N mgF (3)FrJC (4)raC 由式(3)、(4)得 2 2 r a mF C 代入式(1) 22 /1 sin r g aC 而 2 2 1 tas C 24 . 0 5 322 22 t s aC 即 24 . 0 /1 20sin 22 r g ) 1 24 . 0 20sin ( 22 g r mm02.909658.12251 24 . 0 20sin8 . 9 251 24 . 0 20sin g r 11-2111-21 重物A质量为m1，系在绳子上，绳子跨过不计质量的固定滑轮D，并绕在鼓轮B 上，如图 11-44 所示。由于重物下降，带动轮C沿水平轨道滚动而不滑动。设鼓轮半径为r， 轮C的半径为R，两者固连在一起，总质量为m2，对于其水平轴O的回转半径为。试求重物 A的加速度。 图 11-44 重物A T11 Fgmam A (1) A amgmF 11T 鼓轮B和轮C FRrFJ OO T )( (2)FRrF rR a m A T 2 2 - 13 - FFam O T2 (3)FFR rR a m A T2 由式(2)、(3)消去F得 RFrFR rR a m rR a m AA TT 2 2 2 2 )( T 22 2 rRF rR R am A 将式(1)代入上式 )( 11 22 2 rRamgm rR R am AA )()( 11 22 2 rRgmrRam rR R am AA )()( )( 22 2 2 1 2 1 RmrRm rRgm aA 11-2211-22 半径为r的均质圆柱体质量为m，放在粗糙的水平面上，如图 11-45 所示。设其中 心C的初速度为v v0，方向水平向右，同时圆柱如图所示方向转动，其初角速度为 w0，且有 rw0v0。如圆柱体与水平面的摩擦因数为，问经过多少时间，圆柱体才能只滚不滑地向前运 动，并求该瞬时圆柱体中心的速度。 图 11-45 由 mgFFmaC N 得 gaC 由 FrJC )(mgrmr 2 2 1 得 r g 2 gtvtavv CC 00 t r g t 2 00 纯滚时 rvC 即 gtrgtv2 00 gtrv3 00 - 14 - g rv t 3 00 3 2 00 0 rv gtvvC 11-2311-23 如图 11-46 所示，长为l，质量为m的均质杆AB一端系在细索BE上，另一端放在 光滑平面上，当细索铅直而杆静止时，杆对水平面的倾角 f45，现细索突然断掉，试求杆A 端的约束反力。 图 11-46 细索突然断掉瞬时 0 质心运动守恒，C点沿铅垂线向下运动 基点法(以A为基点，分析C点) n CACAAC aaaa 0 n CA a CAAC aaa (1)cos CAC aa 平面运动微分方程 (2) C maGF N (3)cos 2 )( 12 1 N 2 l Fml 由式(1)代入式(2)得 cos 2 N l mmgF 再代入式(3)得 l g l gl )cos31 ( cos6 )cos 4 1 12 1 ( cos 2 2 22 由(3)得 2 N cos31cos6 mgml F 当时， 45mgF 5 2 N 11-2411-24 如图 11-47 所示的均质长方体质量为 50kg，与地面间的动摩擦因数为 0.2，在力 - 15 - F F作用下向右滑动。试求：(1)不倾倒时力F F的最大值；(2)此时长方体的加速度。 图 11-47 长方体平动 0 平面运动微分方程 (1) C maFF d 5 4 (2)0 5 3 N mgFF (3)150(300150 5 3 300 5 4 0 Nd dFFFF ) 5 3 ( Nd FmgFF 临界状态 0d 由式(3)得 0150300150 Nd FFF 02 Nd FFF 0)21 ( N FF 0) 5 3 )(21 (FmgF 0)21 ( 5 3 )21 (1 mgF N18.216 36 . 1 6 . 0 5 3 )4 . 01 (1 )4 . 01 ( 5 3 )21 (1 )21 ( mgmgmg F 此时 ) 5 3 ( d FmgF 由式(1)得 50 8 . 9502 . 0 2 . 21692 . 0 2 . 092 . 0 ) 5 3 ( 5 4 5 4 d m mgF m FmgF m FF aC 2 m/s02 . 2 C a 11-2511-25 如图 11-48 所示的均质长方形板放置在光滑水平面上。若点B的支承面突然移开， 试求此瞬时点A的加速度。 - 16 - 图 11-48 点B的支承面突然移开 0 质心运动守恒，C点沿铅垂线向下运动 基点法(以A为基点，分析C点) n CACAAC aaaa 0 n CA a CAAC aaa cos CAC aa ACaCA 故 (1) 2 cos l ACaC 平面运动微分方程 (2) AC Fmgma (3) 2 )( 12 1 22 l Fblm A 由式(1)代入式(2)得 2 l mmgFA 再代入式(3)得 2 ) 2 ()( 12 1 22 ll mmgblm 22 2224 6 4 1 )( 12 1 2 bl gl mlblm mgl 22 2 4 3 2bl gll aC 2222 2 4 3 4 3 tan bl glb l b bl gl aa CA 11-2611-26 均质细长杆AB，质量为m，长为l，CDd，与铅垂墙间的夹角为 ，D棱是光滑的。 在图 11-49 所示位置将杆突然释放，试求刚释放时，质心C的加速度和D处的约束力。 图 11-49 - 17 - (1) e xCx Fmacos DCx Fma (2) e yCy FmamgFma DCy sin (3)( e CC MJFdFml D 2 12 1 基点法(以D为基点，分析C点) () n DCDDCDCDC aaaaaa0 n DC a (4)cossin CDDCx aaa (5)sincos CDDCy aaa 由(3)得 (6) d ml FD 12 2 将式(4)、(5)、(6)代入(1)、(2) cos 12 )cossin( 2 d ml aam CDD mg d ml aam CDD sin 12 )sincos( 2 即 cos 12 )cossin( 2 d ml aam CDD mg d ml aam CDD sin 12 )sincos( 2 (7) cot 12 cot 2 d l aa CDD (8) cos tan 12 tan 2 g d l aa CDD (7)+(8)得 cos )cot(tan 12 )cot(tan 2 g d l aCD daCD 222 12 sin12 )cot)(tan 12 ( cos ld dg d l d g 代入(3)得 22 2 12 sin ld mgl FD - 18 - 由(1)得 22 2 12 cossincos ld gl m F a D Cx 由(2)得 g ld ld m mgF a D Cy 22 222 12 cos12sin 11-2711-27 均质圆柱体A和B的质量均为m，半径均为r，一绳缠在绕固定轴O转动的圆柱A 上，绳的另一端绕在圆柱B上，如图 11-50 所示。摩擦忽略不计。试求：(1)圆柱体B下落时 质心的加速度；(2)若在圆柱体A上作用一逆时针转向，矩为M的力偶，试问在什么条件下圆 柱体B的质心加速度将向上。 图 11-50 (1) 圆柱体A rFJ AOT )( rF r a mr A T 2 2 1 (1) T 2 1 FmaA 圆柱体B rFJ BBT )( rF r aa mr AB T 2 2 1 (2) T )( 2 1 Faam AB (3) T FmgmaB 式(1)+(2)，得 T 2 2 1 FmaB 4 T B ma F 代入式(3)，得 - 19 - gaB 5 4 (2) 圆柱体A rFMJ AOT rFM r a mr A T 2 2 1 (1