届湖南省岳阳市高考数学二模试卷理科解析版.doc

2016年湖南省岳阳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1已知全集U=1，2，3，4，5，6，A=1，2，3，B=2，3，4，则U（AB）=（）A2，3B5，6C1，4，5，6D1，2，3，42已知“aR，则“a=2”是“复数z=（a2a2）+（a+1）i（i为虚数单位）为纯虚数”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3阅读如图程序框图，若输出的数据为30，则判断框中应填入的条件为（）Ai3？Bi4？Ci5？Di6？4如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A6B7C8D95已知函数f（x）=2sin2x+2sinxcosx1的图象关于点（，0）对称，则的值可以是（）ABCD6ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=a，则=（）A2B2CD7若二项式的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为（）A27C93B27C93C9C94D9C948变量x，y满足约束条件则目标函数z=3|x|+|y3|的取值范围是（）AB，6C2，3D1，69正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）AB16C9D10排球比赛的规则是5局3胜制（无平局），甲在每局比赛获胜的概率都相等为，前2局中乙队以2：0领先，则最后乙队获胜的概率是（）ABCD11设F1、F2分别为双曲线C：=1（a0，b0）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M，N两点，且满足MAN=120，则该双曲线的离心率为（）ABCD12定义域为R的函数f（x）对任意x都有f（2+x）=f（2x），且其导函数f（x）满足0，则当2a4，有（）Af（2a）f（log2a）f（2）Bf（log2a）f（2）f（2a）Cf（2a）f（2）f（log2a）Df（log2a）f（2a）f（2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.13若向量，则等于14计算： =15抛掷两颗质地均匀骰子，向上一面的点数之和为X，则X的期望E（X）=16直线3x4y+4=0与抛物线x2=4y、圆x2+（y1）2=1从左至右的交点依次为A，B，C，D，则的值为三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17公差不为零的等差数列an中，a1，a2，a5成等比数列，且该数列的前10项和为100，数列bn的前n项和为Sn，且满足（）求数列an，bn的通项公式；（）令，数列cn的前n项和为Tn，求Tn的取值范围18如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱A1A底面ABCD，ABDC，ABAD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点（）证明B1C1CE；（）求二面角B1CEC1的正弦值（）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长19某公司对新研发的一种产品进行试销，得到如表数据及散点图：利润x（元/kg）102030405060年销量y（kg）115064342426216586Z=2ln（y）14.112.912.111.110.28.9其中z=2ln（y），（）根据散点图判断，y与x、z与x哪一对具有较强线性相关性？（给出判断即可，不必说明理由）（）根据（）的判断结果及数据，建立y关于x的回归方程（方程中的系数均保留两位有效数字）（）利润为多少元/kg时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（xn，yn），其回归直线=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，20已知动点P与双曲线=1的两个焦点F1，F2的距离之和为定值，且cosF1PF2的最小值为（1）求动点P的轨迹方程；（2）若已知D（0，3），M，N在动点P的轨迹上，且=，求实数的取值范围21已知函数g（x）=f（x）+bx，函数f（x）=x+alnx在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直（1）求实数a的值；（2）若函数g（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围；（3）设x1、x2（x1x2）是函数g（x）的两个极值点，若b，求g（x1）g（x2）的最小值选修4-1：几何证明选讲22在ABC中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D（1）求证：；（2）若AC=3，求APAD的值选修4-4：坐标与参数方程23在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），它与曲线C：（y2）2x2=1交于A、B两点（1）求|AB|的长；（2）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为（2，），求点P到线段AB中点M的距离选修4-5：不等式选讲24设函数f（x）=|2x1|x+2|（）解不等式f（x）3；（）存在x0R，使得，求实数m的取值范围2016年湖南省岳阳市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1已知全集U=1，2，3，4，5，6，A=1，2，3，B=2，3，4，则U（AB）=（）A2，3B5，6C1，4，5，6D1，2，3，4【考点】交、并、补集的混合运算【分析】先根据并集的定义求出AB；再结合补集概念即可得到结论【解答】解：因为：全集U=1，2，3，4，5，6，A=1，2，3，B=2，3，4，所以：AB=1，2，3，4；CU（AB）=5，6故选：B2已知“aR，则“a=2”是“复数z=（a2a2）+（a+1）i（i为虚数单位）为纯虚数”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】结合复数的概念，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若复数z=（a2a2）+（a+1）i（i为虚数单位）为纯虚数，则a2a2=0且a+10，解得a=2，当a=2时，复数z=（a2a2）+（a+1）i=3i，（i为虚数单位）为纯虚数，成立，“a=2”是“复数z=（a2a2）+（a+1）i（i为虚数单位）为纯虚数”的充要条件，故选：C3阅读如图程序框图，若输出的数据为30，则判断框中应填入的条件为（）Ai3？Bi4？Ci5？Di6？【考点】程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是利用循环求S的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： S i 是否继续循环循环前 0 1 第一圈 2 2 是第二圈 6 3 是第三圈 14 4 是第四圈 30 5 否所以当i4时输出的数据为30，故选：B4如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A6B7C8D9【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知该几何体是一个由上下两部分组成的：其中下面是一个圆柱，底面直径为2，高为2；上面是一个与圆柱同底的圆锥，其母线长为2据此可计算出表面积【解答】解：由三视图可知该几何体是一个由上下两部分组成的：其中下面是一个圆柱，底面直径为2，高为2；上面是一个与圆柱同底的圆锥，其母线长为2S该几何体=7故选B5已知函数f（x）=2sin2x+2sinxcosx1的图象关于点（，0）对称，则的值可以是（）ABCD【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的对称性【分析】由倍角公式化简f（x）为Asin（x+）的形式，由f（）=0可求得的可能取值【解答】解：f（x）=2sin2x+2sinxcosx1=f（x）的图象关于点（，0）对称，则2=k，=取k=0时，=的值可以是故选：D6ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=a，则=（）A2B2CD【考点】正弦定理；余弦定理【分析】由正弦定理与同角三角函数的平方关系，化简整理题中的等式得sinB=sinA，从而得到b=a，可得答案【解答】解：ABC中，asinAsinB+bcos2A=a，根据正弦定理，得sin2AsinB+sinBcos2A=sinA，可得sinB（sin2A+cos2A）=sinA，sin2A+cos2A=1，sinB=sinA，得b=，可得=故选：C7若二项式的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为（）A27C93B27C93C9C94D9C94【考点】二项式系数的性质【分析】在中，令x=1可得，其展开式各项系数的和，又由题意，可得2n=512，解可得n=9，进而可得其展开式的通项，在其中令x的指数为0，可得r的值为6，即可得其展开式中的常数项，即可得答案【解答】解：在中，令x=1可得，其展开式各项系数的和是2n，又由题意，可得2n=512，解可得n=9，则二项式的展开式的通项为Tr+1=C9r（3x2）9r（）r=（1）rC9r39rx183r，令183r=0可得，r=6，则其展开式中的常数项为第7项，即T7=（1）6C9633=27C93，故选B8变量x，y满足约束条件则目标函数z=3|x|+|y3|的取值范围是（）AB，6C2，3D1，6【考点】简单线性规划的应用【分析】确定不等式表示的区域，化简目标函数，利用图象即可求得结论【解答】解：不等式表示的区域如图所示，三个交点坐标分别为（0，1），（，3），（2，0）目标函数z=3|x|+|y3|=3xy+3，即y=3x+z3，目标函数过（2，0）时，取得最大值为9，过（，3）时，取得最小值为目标函数z=3|x|+|y3|的取值范围是故选A9正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）AB16C9D【考点】球内接多面体；球的体积和表面积【分析】正四棱锥PABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积【解答】解：设球的半径为R，则棱锥的高为4，底面边长为2，R2=（4R）2+（）2，R=，球的表面积为4（）2=故选：A10排球比赛的规则是5局3胜制（无平局），甲在每局比赛获胜的概率都相等为，前2局中乙队以2：0领先，则最后乙队获胜的概率是（）ABCD【考点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式【分析】最后乙队获胜的概率含3种情况：第三局乙胜，第三局甲胜第四局乙胜，第三局和第四局都是甲胜，第五局乙胜，由此能求出最后乙队获胜的概率【解答】解：排球比赛的规则是5局3胜制（无平局），甲在每局比赛获胜的概率都相等为，前2局中乙队以2：0领先，最后乙队获胜的概率：p=故选：C11设F1、F2分别为双曲线C：=1（a0，b0）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M，N两点，且满足MAN=120，则该双曲线的离心率为（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【分析】先求出M，N的坐标，再利用余弦定理，求出a，c之间的关系，即可得出双曲线的离心率【解答】解：不妨设圆与y=x相交且点M的坐标为（x0，y0）（x00），则N点的坐标为（x0，y0），联立y0=x0，得M（a，b），N（a，b），又A（a，0）且MAN=120，所以由余弦定理得4c2=（a+a）2+b2+b22bcos 120，化简得7a2=3c2，求得e=故选A12定义域为R的函数f（x）对任意x都有f（2+x）=f（2x），且其导函数f（x）满足0，则当2a4，有（）Af（2a）f（log2a）f（2）Bf（log2a）f（2）f（2a）Cf（2a）f（2）f（log2a）Df（log2a）f（2a）f（2）【考点】函数的单调性与导数的关系；函数单调性的性质；奇偶函数图象的对称性【分析】先根据条件求出函数的对称轴，再求出函数的单调区间，然后判定2、log2a、2a的大小关系，根据单调性比较f（2）、f（log2a）、f（2a）的大小即可【解答】解：函数f（x）对任意x都有f（2+x）=f（2x），函数f（x）的对称轴为x=2导函数f（x）满足，函数f（x）在（2，+）上单调递减，（，2）上单调递增，2a41log2a242a又函数f（x）的对称轴为x=2f（2）f（log2a）f（2a），故选A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.13若向量，则等于1【考点】平面向量数量积的运算【分析】直接利用向量的数量积的坐标表示，代入即可求解【解答】解：由向量的数量积的 坐标表示可得：故答案为：114计算： =【考点】三角函数的化简求值【分析】将sin20化为：sin（3010），根据两角差的正弦公式，可得答案【解答】解：=，故答案为：15抛掷两颗质地均匀骰子，向上一面的点数之和为X，则X的期望E（X）=7【考点】离散型随机变量的期望与方差【分析】由题意知X的可能取值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，分别求出相应的概率，由此能求出E（X）【解答】解：抛掷两颗质地均匀骰子，向上一面的点数之和为X，由题意知X的可能取值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，P（X=2）=，P（X=3）=，P（X=4）=，P（X=5）=，P（X=6）=，P（X=7）=，P（X=8）=，P（X=9）=，P（X=10）=，P（X=11）=，P（X=12）=，E（X）=2+4+5+7+9+10+11=7故答案为：716直线3x4y+4=0与抛物线x2=4y、圆x2+（y1）2=1从左至右的交点依次为A，B，C，D，则的值为【考点】抛物线的简单性质【分析】由题意可得直线3x4y+4=0过抛物线的焦点（即圆的圆心）F（0，1）点，由求得4y217y+4=0，可得y1+y2=，y1y2=1，由此能够推导出答案【解答】解：由已知圆的方程为x2+（y1）2=1，抛物线x2=4y的焦点为（0，1），直线3x4y+4=0过（0，1）点，则|AB|+|CD|=|AD|2，由求得4y217y+4=0设A（x1，y1），D（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=1y1=，y2=4，=，故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17公差不为零的等差数列an中，a1，a2，a5成等比数列，且该数列的前10项和为100，数列bn的前n项和为Sn，且满足（）求数列an，bn的通项公式；（）令，数列cn的前n项和为Tn，求Tn的取值范围【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（）通过等差数列an的公差d0，利用=a1（a1+4d）可知d=2a1，通过a1+（a1+99d）=2计算可知an=；通过在中令n=1可知首项b1=1，当n2时利用bn=SnSn1化简可知bn=2bn1，进而可知bn=2n1；（）通过（I）可知cn=+，利用错位相减法计算可知数列的前n项和，利用等比数列的求和公式计算可知数列的前n项和，进而可知Tn=，通过函数f（x）=（x0）的单调性计算即得结论【解答】解：（）依题意，等差数列an的公差d0，a1，a2，a5成等比数列，=a1a5，即=a1（a1+4d），整理得：d2=2da1，即d=2a1，又等差数列an的前10项和为100，=100，即a1+（a1+99d）=2，整理得：a1=，d=，an=+（n1）=；，b1=2b11，即b1=1，当n2时，bn=SnSn1=（2bn1）（2bn11）=2bn2bn1，即bn=2bn1，数列bn是首项为1、公比为2的等比数列，bn=2n1；（）由（I）可知=+，记数列的前n项和为Pn，数列的前n项和为Qn，则Qn=1，Pn=1+2+n， Pn=1+2+（n1）+n，Pn=+n，Pn=1+n=n=2n=2（n+2），Tn=Pn+Qn=2（n+2）+（1）=，记f（x）=，则f（x）=0，故数列随着n的增大而减小，又T1=， Tn=，Tn18如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱A1A底面ABCD，ABDC，ABAD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点（）证明B1C1CE；（）求二面角B1CEC1的正弦值（）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角【分析】（）由题意可知，AD，AB，AA1两两互相垂直，以a为坐标原点建立空间直角坐标系，标出点的坐标后，求出和，由得到B1C1CE；（）求出平面B1CE和平面CEC1的一个法向量，先求出两法向量所成角的余弦值，利用同角三角函数基本关系求出其正弦值，则二面角B1CEC1的正弦值可求；（）利用共线向量基本定理把M的坐标用E和C1的坐标及待求系数表示，求出平面ADD1A1的一个法向量，利用向量求线面角的公式求出直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值，代入求出的值，则线段AM的长可求【解答】（）证明：以点A为原点建立空间直角坐标系，如图，依题意得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B1（0，2，2），C1（1，2，1），E（0，1，0）则，而=0所以B1C1CE；（）解：，设平面B1CE的法向量为，则，即，取z=1，得x=3，y=2所以由（）知B1C1CE，又CC1B1C1，所以B1C1平面CEC1，故为平面CEC1的一个法向量，于是=从而=所以二面角B1CEC1的正弦值为（）解：，设01，有取为平面ADD1A1的一个法向量，设为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则=于是解得所以所以线段AM的长为19某公司对新研发的一种产品进行试销，得到如表数据及散点图：利润x（元/kg）102030405060年销量y（kg）115064342426216586Z=2ln（y）14.112.912.111.110.28.9其中z=2ln（y），（）根据散点图判断，y与x、z与x哪一对具有较强线性相关性？（给出判断即可，不必说明理由）（）根据（）的判断结果及数据，建立y关于x的回归方程（方程中的系数均保留两位有效数字）（）利润为多少元/kg时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（xn，yn），其回归直线=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，【考点】线性回归方程【分析】（）根据散点图得出，z与x对应的散点图基本都在一条直线附近，线性相关性更强些；（）根据公式计算出回归方程的系数，即可写出回归方程；（）根据回归方程求出年利润函数p=xy，利用导数求出函数p取最大值时x的值即可【解答】解：（）根据散点图判断，z与x对应的散点图基本都在一条直线附近，相对y与x具有较强的线性相关性；（）=0.10，=11.55（0.10）35=15.0515，即关于x的回归方程是z=0.10x+15；（）z=2lny，y=，年利润函数p=xy=x，求导得p=（1x），令p=0，解得x=20；当0x20时，P0，函数p是单调增函数，当x20时，P0，函数p是单调减函数，当x=20时年利润函数p的值最大，即利润为20元/kg时，年利润的预报值最大20已知动点P与双曲线=1的两个焦点F1，F2的距离之和为定值，且cosF1PF2的最小值为（1）求动点P的轨迹方程；（2）若已知D（0，3），M，N在动点P的轨迹上，且=，求实数的取值范围【考点】双曲线的简单性质【分析】（1）根据椭圆定义可知，所求动点P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆，再结合余弦定理和基本不等式，求出椭圆中的a，b的值即可得到轨迹方程；（2）设N（s，t），M（x，y），利用=，求出坐标之间的关系，根据M，N在动点P的轨迹C上，消去一个参数，即可求实数的取值范围【解答】解：（1）双曲线=1的a=，b=，可得c=设|PF1|+|PF2|=2t（常数t0），2t2c=2，a，P的轨迹为椭圆设|PF1|=m，|PF2|=n，由余弦定理有cosF1PF2=1，mn（）2=t2，当且仅当m=n时，mn取得最大值t2此时cosF1PF2取得最小值1，由题意1=，解得t2=9，故椭圆的长轴长为6，短轴长为4，P点的轨迹方程为+=1；（2）设N（s，t），M（x，y），=，（x，y3）=（s，t3），x=s，y=3+（t3），M，N在动点P的轨迹C上，+=1， +=1，消去s可得=12，解得t=，|t|2，|2，解得5实数的取值范围为，521已知函数g（x）=f（x）+bx，函数f（x）=x+alnx在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直（1）求实数a的值；（2）若函数g（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围；（3）设x1、x2（x1x2）是函数g（x）的两个极值点，若b，求g（x1）g（x2）的最小值【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）由f（x）=1+，利用导数的几何意义能求出实数a的值；（2）由已知得g（x）=+x（b1）=，x0，由题意知g（x）0在（0，+）上有解，即x+1b0有解，由此能求出实数b的取值范围；（3）由g（x）=+x（b1）=，x0，由题意知g（x）0在（0，+）上有解，x0，设（x）=x2（b1）x+1，由此利用构造成法和导数性质能求出g（x1）g（x2）的最小值【解答】解：（1）f（x）=x+alnx，f（x）=1+，f（x）在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直，k=f（x）|x=1=1+a=2，解得a=1（2）g（x）=lnx+x2（b1）x，g（x）=+x（b1）=，x0，由题意知g（x）0在（0，+）上有解，即x+1b0有解，定义域x0，x+2，x+b1有解，只需要x+的最小值小于b1，2b1，解得实数b的取值范围是b|b3（3）g（x）=lnx+x2（b1）x，g（x）=+x（b1）=，x0，由题意知g（x）0在（0，+）上有解，x1+x2=b1，x1x2=1，x0，设（x）=x2（b1）x+1，则（0）=ln（x1+x12（b1）x1lnx2+x22（b1）x2=ln+（x12x22）（b1）（x1x2）=ln+（x12x22）（x1+x2）（x1x2）=ln（），0x1x2，设t=，0t1，令h（t）=lnt（t），0t1，则h（t）=（1+）=0，h（t）在（0，1）上单调递减，又b，（b1）2，由x1+x2=b1，x1x2=1，可得t+，0t1，由4t217t+4=（4t1）（t4）0得0t，h（t）h（）=ln（4）=2ln2，故g（x1）g（x2）的最小值为2ln2选修4-1：几何证明选讲22在ABC中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D（1）求证：；（2）若AC=3，求APAD的值【考点】相似三角形的性质；相似三角形的判定【分析】（1）先由角相等CPD=ABC，D=D，证得三角形相似，再结合线段相等即得所证