高中教学课件《几种常见函数的导数.ppt

1.导数的概念 前课复习前课复习 2、函数在一区间上的导数： 如果函数 f(x)在开区间 (a,b) 内每一点都可导，就说f(x)在开区间 (a,b)内可导这时，对于开区间 (a,b)内每一个确定的值 x0，都对应着 一个确定的导数 f (x0)，这样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数 ，我们把这一新函数叫做 f(x) 在开区间(a,b)内的导函数，简称为导数 ，记作 即 前课复习前课复习 3.求函数的导数的方法是: 说明:在这种方法中 把x换x0即为求函数 在点x0处的导数. 5.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在 点P(x0 ,f(x0)处的切线的斜率. 6.求切线方程的步骤： （1）求出函数在点x0处的变化率 ，得到曲线在点 (x0,f(x0)的切线的斜率。 （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即 前课复习前课复习 4.函数f(x)在点x0处的导数 就是导函数 在x=x0处的 函数值,即 .这也是求函数在点x0 处的导数的方 法之一。 根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式. 公式1: 公式2: 请注意公式中的条件是 ,但根据我们所掌握的知识,只能 就 的情况加以证明.这个公式称为幂函数的导数公式. 事实上n可以是任意实数. 新课教学新课教学 你能否用二项展开式的性质与导数的定义对其加以证明？ 新课教学新课教学 公式2: 公式3: 要证明这个公式,必须用到一个常用极限 公式4: 练习：课本P115 练习1,2 练习:曲线y=sinx在点P( )处的切线的倾斜角为 _. 新课教学新课教学 例1:求过曲线y=cosx上点P( )且与过这点的切线垂直的 直线方程. 注:满足条件的直线称 为曲线在P点的法线. 例2:已知直线m与曲线 在点P(1,1)处的切线平行且距离等于 ,求直线m的方程. 设直线m的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公式得: 故所求的直线m的方程为3x+y+6=0或3x+y-14=0. 例题讲解例题讲解 例3:求双曲线 与抛物线 交点处切线的夹角. 例题讲解例题讲解 例4:已知两条曲线y=sinx,y=cosx,问是否存在这两条曲线 的一个公共点,使在这一点处,两条曲线的切线互相垂直?并 说明理由. 解:设存在一个公共点P(x0,y0)满足题设条件. 由两条曲线的切线在点P互相垂直, 则cosx0(-sinx0)=-1,得sinx0cosx0=1,即sin2x0=2. 这不可能,所以不存在满足题设条件的一个点. 例题讲解例题讲解 1.要切实掌握四种常见函数的导数公式:(1) (c为常 数;(2) ;(3) ; (4) 2.对于简单函数的求导,关键是合理转化函数关系式为可以 直接应用公式的基本函数的模式. 3.能结合直线的知识来解决一些与切线有关的较为综合性问题 . 课堂小结课堂小结 附录：基本初等函数求导公式: 例:求过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程. 说明:曲线上求在点P处的切线与求过点P的切线有区别.在点P 处的切线,点P必为切点,求过点P的切线,点P未必是切点.应注 意概念的区别,其求法也有所不同. 解:设所求切线的切点在A(x0,y0). 因为A是曲线y=x2上的一点,所以,y0=x02 . 又因为函数y=x2的导数为 所以过点A(x0,y0)的 切线的斜率为 由于所求切线过P(3,5)和A(x0,y0)两点,故其斜率又 应为 . 联立,解得: 补充习题补充习题 故切点分别为(1,1)或(5,25). 当切点为(1,1)时,切线的斜率为k1=2x0=2; 当切点为(5,25)时,切线的斜率为k2=2x0=10; 所以所求的切线有两条,方程分别为:y-1=2(x-1) 或y-25=10(x-5),即y=2x-1或y=10x-25. 练习:若直线y=3x+1是曲线y=ax3的切线,试求a的值. 解:设直线y=3x+1与曲线y=ax3相切于点P(x0,y0), 则有:y0=3x0+1,y0=a