总复习总24(6.17).ppt

线线 性性 代代 数数 总总 复复 习习 第一章教学要求： 1了解行列式的概念，掌握行列式的性质。 2会应用行列式的性质和行列式按行（列 ）展开定理计算行列式。 3理解克莱姆法则及其应用。 n阶行列式的计算方法很多，除直接按 定义计算外，一般还有下列方法： 1利用行列式的性质化为三角形行列式计 算法 2. 降阶展开法 行列式的计算 第二章教学要求： 1理解矩阵的概念。 2了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称 矩阵，以及它们的性质。 3掌握矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算规律， 了解方阵的幂、方阵乘积的行列式。 4理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的 充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求矩阵的逆 。 5掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概 念，掌握用初等变换求逆矩阵的方法；及求矩阵的秩的方法。 6了解分块矩阵及其运算。 第三章教学要求： 1了解n维向量的概念。 2理解向量组线性相关、线性无关的定义，了解并会用有关 向量组线性相关、线性无关的重要结论。 3了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，理解矩 阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和求向量组的极大 线性无关组及秩。 4 了解向量组等价的概念，了解向量组 的秩与矩阵秩的关系。 重要结论2 重要结论1 5理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非 齐次线性方程组有解的充分必要条件。 6理解齐次线性方程组的基础解系、通解的概念及 求法。 3理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念。 4掌握用行初等变换求非齐次线性方程组通解的方 法。 Ax=b r(A)=r(A,b)=n 有唯一解 r(A) r(A,b)无解 齐次方程的基础解系 克拉默法则， r(A)=r(A,b) 整体相关 缩短不变性 若向量组中 向量个数 向量维数 必线性相关 线性无关 整体无关 = 部分无关 加长不变性 R n 中，任一无关组 向量个数 向量维数 n 向量组 a1 , a2 , am 线性无关， 而添加 形成的向量组 a1 , a2 , am , 线性相关， 则 可由 a1 , a2 , am 线性表示，且表示唯一。 结论1结束 计算问题 1）怎样求矩阵 A 的秩？- 行、列 则 秩（A） 行阶梯形矩阵中非零行的行数 最常用 2）怎样求向量组 的秩？ - 行、列 以向量组 中各向量作为列向量， 构成矩阵 A ； 求出矩阵 A 的秩，也即原向量组的秩 3）怎样判断向量组 的相(无)关性？ - 行、列 求出秩（ ） r 比较 r 与 s 的大小 r = s 线性无关 r s 线性相关 当向量个数向量维数时 求 D 0 线性无关 D= 0 线性相关 4）怎样求向量组 的一个极大无关组？ - 行 以向量组 中各向量作为列向量， 构成矩阵 A ； 则 B 中各首非零元所在列对应的 A 的部分向 量组就为 向量组 的极大线性无关组。 5）怎样利用 4) 中求出的极大无关组表示其余向量？ - 行 求出向量组 的极大无关组； (2)解非齐次线性方程组即可。 “关于矩阵的秩” 怎样的情况下矩阵的秩不变？ 初等变换不改变矩阵的秩 矩阵等价 矩阵转置 乘可逆矩阵 矩阵的秩不变 矩阵运算对秩的影响？ r ( A+（）B ) r ( A) + r (B) ; r ( AB ) min r ( A ) ，r ( B ) . 行秩列秩矩阵的秩 方阵的秩与行列式的关系 A是可逆矩阵 称A是可逆，非奇异，非退化，满秩的 。 A是不可逆矩阵 称A是不可逆，奇异，退化，不满秩的 。 设A是 n 阶方阵 返回 (2) 方阵 A 的属于不同特征值的特征向量线性无关. (3) 设 是 n 阶方阵 A 的一个 k 重特征值，则 A 的属于特 征值 的特征向量中，极大线性无关组包含的向量个数不多 于 k 个。亦即齐次线性方程组 的基础解系包 含的向量个数最多有 k 个。 (4) 设 A 是一个 n 阶实对称矩阵，则 向量个数恰有 k 个. 求正交矩阵Q的步骤 (1)求出A的特征多项式 的全部不同 的根 ，即为A的全部不同的特征值 ； (2)对每个特征值 ，解齐次 线性方程组 求出它的一个基础解系 (3) 将 正交化、单位化，得到一个 正交单位向量组 是属于特征值 的一组