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一、高斯公式 二、通量与散度 10.6 高斯公式 通量与散度 一、高斯公式 v定理1 设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成 函数 P(x y z)、Q(x y z)、R(x y z)在上具有一阶连续偏导数 则有 这里是的整个边界的外侧 cos、cos、cos是在点 (x y z)处的法向量的方向余弦 其中为柱面x2y21及平面z0 z3所围成的空间闭区域的 整个边界曲面的外侧 这里P(yz)x Q0 Rxy 解 由高斯公式 有 Gauss公式 为锥面x2y2z2介于平面z0及zh(h0)之 间的部分的下侧 cos、cos、cos是上 点(x, y, z)处的法向量的方向余弦 设1为zh(x2y2h2)的上侧 为 与1所围成的空间闭区域 则 解 例3 设函数u(x, y, z)和v(x, y, z)在闭区域上具有一阶及二阶 连续偏导数 是的整个边界曲面 n是的外法线方向 证明 说明 Gauss公式 例3 设函数u(x, y, z)和v(x, y, z)在闭区域上具有一阶及二阶 连续偏导数 是的整个边界曲面 n是的外法线方向 证明 设与n同向的单位向量为(cos cos cos) 则 证 将上式右端第二个积分移至左端便得所要证明的等式 Gauss公式 二、通量与散度 v高斯公式的物理意义 高斯公式 其中vnvnPcosQcosRcos 可以简写成 公式的右端可解释为单位时间内离开闭区域的流体的 总质量 左端可解释为分布在内的源头在单位时间内所产生 的流体的总质量 Gauss公式 提示 其左端表示内源头在单位时间单位体积内所产生的 流体质量的平均值 提示 其左端表示流体在点M的源头强度单位时间单位 体积分内所产生的流体质量 称为v在点M的散度 v散度 由积分中值定理得 设的体积为V 由高斯公式得 令缩向一点M(x y z)得 Gauss公式 v散度 设某向量场由A(x y z)P(x y z)iQ(x y z)jR(x y z)k 给出 其中P Q R具有一阶连续偏导数 则称 为向量场A的散度记作divA 即 Gauss公式 v通量 向量场A(x y z)P(x y z)iQ(x y z)jR(x y z)k的散度 设是场内的一片有向曲面 n是上点(x y z)处的单位法 向量 则称 为向量场A通过曲面向着指定侧的通量(或流量) v散度 Gauss公式 v通量 向量场A(x y z)P(x y z)iQ(x y z)jR(x
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