高中数学第三章数系的扩充与复数的引入章末分层突破学案新人教A版.docx

第三章 数系的扩充与复数的引入自我校对i21ac，bdabiZ(a，b)ac(bd)i(ac)(bd)i复数的概念及分类1.复数abi(a，bR)2复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部、虚部满足的方程(或不等式)即可当实数a为何值时，za22a(a23a2)i：(1)为实数；(2)为纯虚数；(3)对应的点在第一象限内；(4)对应的点在直线xy0上【精彩点拨】解答本题可根据复数的分类标准，列出方程(不等式)求解【规范解答】(1)由zR，得a23a20，解得a1或a2.(2)z为纯虚数，即故a0.(3)z对应的点在第一象限，则a2.a的取值范围是(，0)(2，)(4)依题得(a22a)(a23a2)0，a2.再练一题1当实数m为何值时，复数z(m22m)i为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数【解】(1)当即m2时，复数z是实数(2)当m22m0，即m0且m2时，复数z是虚数(3)当即m3时，复数z是纯虚数复数的四则运算复数的运算是复数学习的核心，主要有加、减、乘、除运算，加减法是对应实、虚部分别相加减，而乘法类比多项式乘法，除法实质上是分母实数化，可类比分式的分子分母有理化，注意i21.计算：128.【精彩点拨】先由ii，1i(2)，将原式化简，再利用i的特殊性进行求解【规范解答】原式i12121111678i.再练一题2计算：(1)；(2).【解】(1)原式(4)1i.(2)原式iii0.共轭复数与复数的模共轭复数与复数的模是复数中两个重要的概念，在解决有关复数问题时，除用共轭复数定义与模的计算公式解题外，也常用下列结论简化解题过程：(1)|z|1z.(2)zRz.(3)z0，z为纯虚数z.设z是虚数，且|z|1，求证：u为纯虚数【精彩点拨】利用共轭复数的性质证明u0.【规范解答】z为虚数，且|z|1，z1，即.u0，u为纯虚数再练一题3设|z|1，且zi，求证：为实数【证明】由条件可知z0，则z|z|21，所以z1，所以为实数复数的几何意义1.点Z(a，b)或向量称为复数zabi(a，bR)的几何表示，因此复平面的点与复平面的向量是复数的两个几何形象2复数形式的基本轨迹(1)当|zz1|r时，表示复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心，半径为r的圆；单位圆|z|1.(2)当|zz1|zz2|时，表示以复数z1，z2的对应点为端点的线段的垂直平分线(3)|z1z2|表示两点间的距离，即表示复数z1与z2对应点间的距离若zC，且|z22i|1，则|z22i|的最小值是()A2B3C4D5【精彩点拨】常规方法是运用复数的代数形式，把复数最值问题转化为一般函数最值问题再解决，而运用|zz0|的几何意义解决更为简便【规范解答】如图，|z22i|1表示以C(2,2)为圆心，1为半径的圆，则|z22i|的最小值是指点A(2,2)到圆的最短距离，显然|AB|AC|13，即为最小值，故选B.【答案】B再练一题4已知|z|2，则|z1i|的最大值和最小值分别为_. 【导学号：81092053】【解析】设zxyi(x，yR)，则由|z|2知x2y24，故z对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上，又|z1i|表示点(x，y)到点(1，)的距离又因为点(1，)在圆x2y24上，所以圆上的点到点(1，)的距离的最小值为0，最大值为圆的直径4，即|z1i|的最大值和最小值分别为4和0. 【答案】4,01已知z(m3)(m1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A(3,1)B(1,3)C(1，)D(，3)【解析】由题意知即3m1.故实数m的取值范围为(3,1)【答案】A2设(1i)x1yi，其中x，y是实数，则|xyi|()A1B.C.D2【解析】(1i)x1yi，xxi1yi.又x，yR，x1，yx1.|xyi|1i|，故选B.【答案】B3复数()AiB1i CiD1i【解析】方法1：i.方法2：i.【答案】A4已知a，bR，i是虚数单位，若(1i)(1bi)a，则的值为_【解析】因为(1i)(1bi)1b(1b)ia，又a，bR，所以1ba且1b0，得a2，b1，所以2.【答案】25设aR，若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点位于实轴上，则a_.【解析】(1i)(ai)a1(a1)i.其对应点在实轴上，a10，即a1.【答案】1章末综合测评(三)数系的扩充与复数的引入(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设复数z满足zi3i，则()A12iB12iC32iD32i【解析】由zi3i得z32i，32i，故选C.【答案】C2若复数zi(32i)(i是虚数单位)，则()A23iB23iC32iD32i【解析】zi(32i)3i2i223i，23i.【答案】A3若i(xyi)34i(x，yR)，则复数xyi 的模是()A2B3C4D5【解析】由i(xyi)34i，得yxi34i，解得x4，y3，所以复数xyi的模为5.【答案】D4若复数z，其中i为虚数单位，则()A1iB1iC1iD1i【解析】z1i，1i.【答案】B5“m1”是“复数z(1mi)(1i)(mR，i为虚数单位)为纯虚数”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】z(1mi)(1i)1imim(1m)(1m)i，若m1，则z2i为纯虚数；若z为纯虚数，则m1.故选C.【答案】C6设zC，若z2为纯虚数，则z在复平面上的对应点落在() 【导学号：81092054】A实轴上B虚轴上C直线yx(x0)上D以上都不对【解析】设zabi(a，bR)，z2a2b22abi为纯虚数，ab，即z在复平面上的对应点在直线yx(x0)上【答案】C7设复数z满足i，则|1z|()A0B1C.D2【解析】i，zi，|z1|1i|.【答案】C8设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若zi22z，则z()A1iB1iC1iD1i【解析】设zabi(a，bR)，由zi22z，得(abi)(abi)i22(abi)，即(a2b2)i22a2bi，由复数相等的条件得得z1i.【答案】A9若zcos isin (i为虚数单位)，则使z21的值可能是()A.B.C.D.【解析】z2(cos isin )2(cos2sin2)2isin cos cos 2isin 21，22k(kZ)，k(kZ)，令k0知选D.【答案】D10当z时，z100z501的值是()A1B1CiDi【解析】原式10050150251(i)50(i)251i.故应选D.【答案】D11在复平面上，正方形OBCA的三个顶点A，B，O对应的复数分别为12i，2i,0，则这个正方形的第四个顶点C对应的复数是()A3iB3iC13iD13i【解析】正方形的三个顶点的坐标分别是A(1,2)，B(2,1)，O(0,0)，设第四个顶点C的坐标为(x，y)，则，(x2，y1)(1,2)第四个顶点C的坐标为(1,3)【答案】D12复数z(x2)yi(x，yR)在复平面内对应向量的模为2，则|z2|的最大值为()A2B4C6D8【解析】由于|z|2，所以2，即(x2)2y24，故点(x，y)在以(2,0)为圆心，2为半径的圆上，而|z2|xyi|，它表示点(x，y)与原点的距离，结合图形易知|z2|的最大值为4，故选B.【答案】B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在题中横线上)13复数z(12i)(3i)，其中i为虚数单位，则z的实部是_【解析】因为z(12i)(3i)3i6i2i255i，所以z的实部是5.【答案】514复数z12，z22i3分别对应复平面内的点P，Q，则向量对应的复数是_【解析】z121，z22i32i，P(1,0)，Q(2,1)，(3,1)，即对应的复数为3i.【答案】3i15定义运算adbc，则对复数zxyi(x，yR)符合条件32i的复数z等于_ 【导学号：81092055】【解析】由定义运算，得2ziz32i，则zi.【答案】i16复数z(a2)(a1)i，aR对应的点位于第二象限，则|z|的取值范围是_【解析】复数z(a2)(a1)i对应的点的坐标为(a2，a1)，因为该点位于第二象限，所以解得1a2.由条件得|z|，因为1a2，所以|z|.【答案】三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知复数x2x2(x23x2)i(xR)是420i的共轭复数，求实数x的值【解】复数420i的共轭复数为420i，x2x2(x23x2)i420i，x3.18(本小题满分12分)已知复数z(2i)m22(1i)，当实数m取什么值时，复数z是：(1)虚数；(2)纯虚数【解】z(2i)m23m(1i)2(1i)(2m23m2)(m23m2)i，(1)当m23m20，即m2且m1时，z为虚数(2)当即m时，z为纯虚数19(本小题满分12分)设复数z，若z2azb1i，求实数a，b的值【解】z1i.将z1i代入z2azb1i，得(1i)2a(1i)b1i，(ab)(a2)i1i，所以所以20(本小题满分12分)已知等腰梯形OABC的顶点A，B在复平面上对应的复数分别为12i，26i，OABC.求顶点C所对应的复数z.【解】设zxyi，x，yR，因为OABC，|OC|BA|，所以kOAkBC，|zC|zBzA|，即解得或因为|OA|BC|，所以x23，y24(舍去)，故z5.21(本小题满分12分)已知复数z满足|z|13iz，求的值【解】设zabi(a，bR)，而|z|13iz，即13iabi0，则解得，z43i，34i.22(本小题满分12分)已知关于x的方程：x2(6i)x9ai0(aR)有实数根b.(1)求实数a，b的值；(2)若复数z满足|abi|2|z|0，求z为何值时，|z|有最小值，并求出|