2013届高考数学一轮复习讲义：第二章2.3函数的单调性与最值.ppt

一轮复习讲义一轮复习讲义 函数的单调性与最值 忆 一 忆 知 识 要 点 上升的 下降的 忆 一 忆 知 识 要 点 增函数 减函数 函数单调性的判断及应用函数单调性的判断及应用 求函数的单调区间求函数的单调区间 抽象函数的单调性及最值抽象函数的单调性及最值 函数的单调性与不等式 设函数yf(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的 某个区间D内的任意两个自变量x1、x2,当x1f(x2) , 那么就说f(x)在区间D上是增函数. 忆 一 忆 知 识 要 点 任取x1, x2D,且x10时，f(x)1,且对任意的a,bR, f(a+b)= f(a) f(b). (1)求f(0)的值； (2)判断f(x)的单调性. 一、抽象函数的单调性与最值 解: (1)令 a = b = 0, 则 任取x1, x2R，且x10 恒成立.由于当 x 0 时，f (x) 1, 则 f(x2)=f(x2-x1)+x1 f( x1). 即 f(x2)f(x1). f(x) 是 R 上 的增函数. =f(x2- x1)f(x1) f(x2- x1)1. 【1】若对一切实数x, y 都有 (1)求f(0)的值; (2)判定f(x)的奇数偶性. 令 x = y = 0, 则 令y = -x , 则 故 f (x)是奇函数. 解:因为对于任何实数 x, y 都有 证明: 任取 x1, x2R，且 x10, f(x2- x1)1. =f(x2- x1)-1. f(x2)-f(x1)0， 即 f(x2)f(x1). f(x) 是 R 上 的增函数. 【2】若函数 f(x) 对任意 a, b R 都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1, 并且当x0 时, 有 f(x)1. 求证: f(x) 是 R 上 的增函数. f(x2- x1)-10. =f(x2- x1)+f(x1) -1- f(x1) 【3】已知函数 f (x) 对于任何实数 x, y 都有 f (x+y)+f(x-y)=2f (x) f (y) 且 f (0)0 求证: f (x) 是偶函数. 令 x = y = 0, 则 令 x = 0 , 则 故 f (x)是偶函数. 解：已知函数 f (x) 对于任何实数 x, y 都有 f (x+y)+f(x-y)=2f (x) f (y)， 例2.判断函数 在区间(-1,1)上的单调性. 解:设 则 f(x1)f(x2) 1x1x21,1+x1x20,x2x10, f(x1)f(x2)0 . 即 f(x1)f(x2) . 故此函数在(-1,1)上是减函数. 二、函数单调性的判定及证明 例3. 设 为奇函数,且定义域为R. (1)求b的值； (2)判断函数f(x)的单调性； (3)若对于任意t R, 不等式 恒成立，求实数k的取值范围 解: (1)由 f ( x ) 是奇函数, 则 f(-x )=-f (x), 整理, 得 证明: (2) 任取 x1, x2 , 且x1 x2 , 则 所以函数 f(x) 在R内是减函数. 所以实数k的取值范围是 解: (3) 因为 f(x)定义域为R的奇函数,且是减函数, 从而判别式 所以对任意t R, 不等式 恒成立. 从而不等式 等价于 所以实数k的取值范围是 设 所以对任意t R, 恒成立. 从而不