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高三总复习 数学 (大纲版) 第三节 统计 高三总复习 数学 (大纲版) 高三总复习 数学 (大纲版) 考纲要求 1.会用随机抽样、系统抽样、分层抽样等常用 的抽样方法从总体中抽取样本 2会用样本频率分布去估计总体分布 3了解正态分布的意义及主要性质 4了解线性回归的方程和简单应 用 考试热点 本节在高考中要求不高,要求掌握一些基础知 识考查时主要以选择题 ,填空题的形式 出现,重点考查抽样方法与总体分布的估计 但应注意利用正态分布曲线性质来分析、 解决正态分布的有关问题,以及利用散点图 来分析解决有关相关关系的问题. 高三总复习 数学 (大纲版) 高三总复习 数学 (大纲版) 1抽样方法 (1) 随机抽样 :设一个总体的个数为N,如果通过 的方法从中抽取一个样本,且每次抽取时每 个个体被抽到的概率 就称这样的抽样为简单 随机 抽样简单随机抽样常用的方法有 和 法 逐个 抽取 相等 抽签随机数表 高三总复习 数学 (大纲版) (2)系统抽样:将总体分成 的几个部分,然后按 照预先定出的规则,从每一部分抽取1个个体,得到所需要 的样本,这种抽样叫做系统抽样,也称为等距抽样 (3)分层抽样:当已知总体是由 的几部分组 成时,常将总体分成几部分,然后按照 进 行抽样,这种抽样叫做分层抽样,其中所分成的各部分叫 做 均匀 差异明显 各部分所占的比 层 高三总复习 数学 (大纲版) 2总体分布的估计 (1) 总体分布:随着试验次数的不断增加,试验结 果 的频率值在相应概率值附近摆动当试验次数无限增大 时,频率值就变成相应的 了此时,随着样本容 量的无限增大,其频率分布也就会排除抽样误差,精确地 反映 分布规律,通常称为总体分布 (2)总体密度曲线:当 无限增大,分组的组 距 时,频率分布直方图就会趋近于一条光滑曲 线 曲线 概率值 总体取值的概率 样本容量 无限缩小 总体密度 高三总复习 数学 (大纲版) (3)正态总体:在连续型总体中,应用最为广泛的是 一种所谓呈 ,简称正态总体正态总体的 概率密度函数是f(x) ,xR,式中的实数, (0)是参数,分别表示总体的 与 正态 总体常记为N(,2),它的密度曲线简称为 正态分布的总体 平均数标准差 正态曲线 高三总复习 数学 (大纲版) (4)正态分布的性质: 曲线在x轴上方,并且关于直线 对称 曲线在x时处于 ,由这一点向左、右 两边延伸时,曲线逐渐降低 曲线的对称轴位置由确定;曲线的形状由确定, 越大,曲线越“ ”;反之,曲线越“ ” 将正态分布N(,2)转化为标准正态分布N(0,1), 并通过查表进行计算 x 最高点 矮胖瘦高 高三总复习 数学 (大纲版) 3线性回归 (1)通过计算和查表对两个变量进行 (2)利用获取的数据,通过计算求出两个变量的 直线方程 相关性检验 回归 高三总复习 数学 (大纲版) 1一个年级有12个班,每个班有50名同学,随机编 号为150号,为了了解他们在课外的兴趣爱好,要求每 班的33号学生留下来参加阅卷调查,这里运用的抽样方法 是 ( ) A分层抽样法 B抽签法 C随机数表法 D系统抽样法 答案:D 高三总复习 数学 (大纲版) 2对总数为N的一批零件抽取一个容量为30的样本 ,若每个零件被抽取的概率为0.25,则N等于 ( ) A150 B200 C120 D100 答案:C 高三总复习 数学 (大纲版) 3如果随机变量N(,2),且E3,D1,则 P(11)等于 ( ) A2(1)1 B(4)(2) C(2)(4) D(4)(2) 解析:对正态分布,E3,2D1, 故P(11)(13)(13) (2)(4)(4)(2) 答案:B 高三总复习 数学 (大纲版) 4为了了解某学校学生的身体发育情况,抽查了该 校100名高中男生的体重情况,根据所得数据画出样本的频 率分布直方图如图1所示,根据此图,估计该校2000名高 中男生中体重大于70.5千克的人数为 ( ) 高三总复习 数学 (大纲版) 图1 A300 B360 C420 D450 高三总复习 数学 (大纲版) 解析:70.5千克以上的人数的频率为(0.040.035 0.015)20.18,70.5千克以上的人数为20000.18360. 答案:B 高三总复习 数学 (大纲版) 5一个总体中有100个个体,随机编号0,1,2,99 ,依编号顺序平均分成10个小组,组号依次为1,2,3, 10.现用系统抽样法抽取一个容量为10的样本,规定如果在 第1组随机抽取的号码为m,那么在第k组中抽取的号码个 位数字与mk的个位数字相同,若m6,则在第7组中抽 取的号码是_ 解析:由题意知第1组抽取为6,第7组号码个位为6 713的个位即为3,又第7组的十位为6,则抽取号码为 63. 答案:63 高三总复习 数学 (大纲版) 高三总复习 数学 (大纲版) 分析 先计算出B层中抽取的样本数,再根据B层中 甲、乙都被抽到的概率值求出B层中的个体数,其5倍即是 总体的个体数 高三总复习 数学 (大纲版) 答案 40 高三总复习 数学 (大纲版) 拓展提升 本题是分层抽样,抽取样本时如果抽取 B层中的个体,一个要以B层中的个体数为计算标准,那么 设出B层中的个体数后就可以按照等可能事件的概率计算 公式计算甲、乙都被抽到的概率了 高三总复习 数学 (大纲版) 甲校有3600名学生,乙校有5400名学生,丙校有1800 名学生,为统计 三校学生某方面的情况,计划采用分层抽 样法,抽取一个容量为90人的样本,应在这三校分别抽取 学生 ( ) A30人,30人,30人 B30人,45人,15人 C20人,30人,10人 D30人,50人,10人 高三总复习 数学 (大纲版) 解析:甲校有3600名学生,乙校有5400名学生,丙校 有1800名学生,为统计 三校学生某方面的情况,计划采用 分层抽样法,抽取一个容量为90人的样本,应在这三校分 别抽取学生30人,45人,15人,选B. 答案:B 高三总复习 数学 (大纲版) 例2 在生产过程中,测得纤维产 品的纤度(表示纤 维粗细的一种量)共有100个数据,将数据分组如下表: 分组频数频率 1.30,1.34)4 1.34,1.38)25 1.38,1.42)30 高三总复习 数学 (大纲版) 分组频数频率 1.42,1.46)0.29 1.46,1.50)10 1.50,1.54)0.02 合计1001.00 高三总复习 数学 (大纲版) (1)完成频率分布表,并在给定的坐标系中画出频率 分布直方图; (2)估计纤度落在1.38,1.50)中的概率及纤度小于1.40 的概率是多少; (3)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值( 例如区间1.30,1.34)的中点值是1.32作为代表),据此,估 计纤度的期望 高三总复习 数学 (大纲版) 解 (1) 分组频数频率 1.30,1.34)40.04 1.34,1.38)250.25 1.38,1.42)300.30 1.42,1.46)290.29 1.46,1.50)100.10 1.50,1.54)20.02 合计1001.00 高三总复习 数学 (大纲版) 图2 高三总复习 数学 (大纲版) 高三总复习 数学 (大纲版) 为了了解某地区高三学生的身体发育情况,抽查了该 地区100名年龄为17.5岁18岁的男生体重(kg),得到频率 分布直方图如图3. 图3 高三总复习 数学 (大纲版) 根据图3可得这100名学生中体重在56.5,64.5)的学生 人数是 ( ) A20 B30 C40 D50 高三总复习 数学 (大纲版) 解析:根据落在各区间内的样本频率等于对应小矩 形的面积求解 体重在56.5,64.5)的矩形面积之和为 (0.030.050.050.07)20.4, 100名学生中体重在56.5,64.5)的学生总数为1000.4 40(人) 答案:C 高三总复习 数学 (大纲版) 例3 在某校举行的数学竞赛中,全体参赛学生的 竞赛成绩近似服从正态分布N(70,100)已知成绩在90分以 上(含90分)的学生有12名 (1)试问此次参赛的学生总数约为多少人? (2)若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生,试 问设奖 的分数线约为 多少分? 高三总复习 数学 (大纲版) 可供查阅的(部分)标准正态分布表(x0)P(xx0) x00123456789 1.2 0.88 4 9 0.88 6 9 0.8 8 8 8 0.8 9 0 7 0.8 9 2 5 0.8 9 4 4 0.8 9 6 2 0.8 9 8 0 0.8 9 9 7 0.9 0 1 5 1.3 0.90 3 2 0.90 4 9 0.9 0 6 6 0.9 0 8 2 0.9 0 9 9 0.9 1 1 5 0.9 1 3 1 0.9 1 4 7 0.9 1 6 2 0.9 1 7 7 1.4 0.91 9 2 0.92 0 7 0.9 2 2 2 0.9 2 3 6 0.9 2 5 1 0.9 2 6 5 0.9 2 7 8 0.9 2 9 2 0.9 3 0 6 0.9 3 1 9 1.9 0.97 1 3 0.97 1 9 0.9 7 2 6 0.9 7 3 2 0.9 7 3 8 0.9 7 4 4 0.9 7 5 0 0.9 7 5 6 0.9 7 6 2 0.9 7 6 7 2.0 0.97 7 2 0.97 7 8 0.9 7 8 3 0.9 7 8 8 0.9 7 9 3 0.9 7 9 8 0.9 8 0 3 0.9 8 0 8 0.9 8 1 2 0.9 8 1 7 2.1 0.98 2 1 0.98 2 6 0.9 8 3 0 0.9 8 3 4 0.9 8 3 8 0.9 8 4 2 0.9 8 4 6 0.9 8 5 0 0.9 8 5 4 0.9 8 5 7 高三总复习 数学 (大纲版) 高三总复习 数学 (大纲版) 高三总复习 数学 (大纲版) 高三总复习 数学 (大纲版) 图4 高三总复习 数学 (大纲版) 解析:根据正态曲线的性质,正态曲线是一条关于x 对称,在x处取得最大值的连续钟 形曲线;越大, 曲线的最高点越低且弯曲越平缓,反过来,越小,曲线 的最高点越高且弯曲越陡峭,可知选A. 答案:A 高三总复习 数学 (大纲版) 例4 针对某工厂某产品产量与单位成本的资料进 行线性回归分析: 月份产量(千件)x单位成本(元/件)yx2xy 12734146 23729216 347116284 43739219 546916276 656825340 合计21426791481 高三总复习 数学 (大纲版) 高三总复习 数学 (大纲版) 高三总复习 数学 (大纲版) 为了研究三月下旬的平均气温(x)与四月二十号前棉花 害虫化蛹高峰日(y)的关系,某地区观察了1996年至2001年 的情况,得到下面的数据: 年份 199 6 199 7 19981999 200 0 2001 x( ) 24.4 29.632.928.730.328.9 y19611018 高三总复习 数学 (大纲版) 高三总复习 数学 (大纲版) 高三总复习 数学 (大纲版) 高三总复习 数学 (大纲

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