2018届高三数学二轮复第四篇考前冲刺跳出10个解题陷阱理.docx

跳出10个解题陷阱“陷阱”,顾名思义,它是指人们在认识事物的过程中因认识的片面性而不知不觉地陷入其中的一种情况.数学中的陷阱题,往往针对某些概念、定理的掌握及运算中的薄弱环节,在考生容易出现错误的地方着手编拟,或是针对考生思维的惯性或弱点来设计障碍,或是针对考生解决某些问题的方法上的缺陷设置问题.这些问题像现实生活中的陷阱那样,难以识别,可以有效地暴露与检测出考生数学知识掌握的缺陷.陷阱一混淆概念理解概念抓本质例1若z=sin -+i是纯虚数,则tan的值为 ()A.-7B.-C.7D.-7或-易错分析本题易混淆复数的相关概念,忽视虚部不为零的限制条件,导致所求tan的值为多解,从而错选D.答案A正确解析由纯虚数的概念,可知由,得sin =,故cos =,而由,可得cos ,故cos =-,所以tan =-.而tan=-7.故选A.跳出陷阱在解答概念类试题时,一定要仔细辨析所求的问题,在明确概念的前提下再解答.本题要搞清楚虚数,纯虚数,实数与复数的概念.跟踪集训已知R是实数集,集合P=x|y=log2 (-x2+2x+3),Q=y|y=log2(-x2+2x+3),则PQ=()A.(-1,3)B.(0,3)C.(-1,2D.-1,2陷阱二错用结论公式定理要记准例2函数g(x)=4sin xcos x的图象向左平移个单位,再把所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数f(x)的图象,则f =()A.B.C.D.易错分析该题易出现的问题有两个:一是不能确定函数解析式的变换与图象平移方向之间的关系;二是记错函数图象上点的横坐标的伸缩变化与函数解析式变换之间的对应关系.答案D正确解析函数g(x)=4sin xcos x=2sin 2x的图象向左平移个单位得到函数y=2sin 2=2sin的图象,该函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)所得图象对应的函数为f(x)=2sin=2sin.所以f=2sin=2=2=.故选D.跳出陷阱三角函数图象的平移与伸缩变换问题,关键是把握变换前后两个函数解析式之间的关系,熟记相关的规律.如函数y=f(x)的图象向左平移m(m0)个单位,得到函数y=f (x+m)的图象;若向右平移m(m0)个单位,得到函数y=f(x-m)的图象.若函数y=f(x)的图象上的点的横坐标变为原来的(0)倍,则得到函数y=f 的图象.跟踪集训函数y=sin的图象向右平移个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的,所得图象对应的函数解析式为()A.y=sinB.y=sinC.y=sinD.y=sin陷阱三忽视验证特例情况要谨记例3已知椭圆+=1的半焦距为c,曲线上任一点(x,y)(x0)到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大c.(1)求曲线的方程;(2)直线l过点F,交曲线于A,B两点,过A,B分别作曲线的切线,交于点P,判断 是否为定值.若是,请给予证明并求出该定值;若不是,请说明理由.易错分析直线l过点F交曲线于A,B两点,经常设直线l的方程为y=k(x-1),k0,漏掉了过点F的直线l与x轴垂直这一特殊情况,导致错误.正确解析(1)因为椭圆+=1的半焦距为c,所以c=1,因为曲线上任一点(x,y)(x0)到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,所以曲线上任一点(x,y)(x0)到定点F(1,0)的距离等于到直线x=-1的距离.根据抛物线的定义,知曲线的轨迹为抛物线.设抛物线的方程为y2=2px(p0),所以=1,解得p=2,所以曲线的方程为y2=4x.(2)为定值0.证明如下:当过点F的直线l与x轴垂直时,则直线l的方程为x=1,根据抛物线的对称性知,点P在x轴上,所以PFAB,所以=0.当过点F的直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为y=k(x-1),k0,由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,所以=(2k2+4)2-4k4=16k2+160,设A(x1,y1),B(x2,y2),P(xP,yP),y10,y20),得y=2,y=,所以过点A的切线PA的方程为y-y1=(x-x1),即y=+.由y2=4x(y0),得y=-2,y=-,所以过点B的切线PB的方程为y-y2=-(x-x2),即y=-;由得即P.所以直线PF的斜率kPF=-,所以kPFk=-k=-1,所以PFAB.综上所述,为定值,且定值为0.跳出陷阱破解椭圆、抛物线、直线、平面向量的综合问题需注意:一是活用定义可加快求解速度,还可避开烦琐的运算;二是注意特殊情况,如用点斜式设直线方程时,应注意直线斜率不存在的特殊情形;三是注意适时转化,如例3,将判断是否为0转化为判断两直线斜率的积是否为-1.跟踪集训已知等比数列an的前n项和为Sn=a2n+b(a0),且a1=3.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=,求数列bn的前n项和Tn.陷阱四讨论漏解参数标准要恰当例4已知函数f(x)=ln x-ax+-1(aR).(1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)当0a0,此时f (x)0,函数f(x)单调递减;当x(1,+)时,g(x)0,函数f(x)单调递增.当0a10,所以当x(0,1)时,g(x)0,此时f (x)0,函数f(x)单调递减;当x时,g(x)0,函数f(x)单调递增;当x时,g(x)0,此时f (x)0,函数f(x)单调递减.综上,当a=0时,函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增;当0a时,函数f(x)在(0,1),上单调递减,在上单调递增.跳出陷阱含参函数单调性的分析是一个难点,易出现的问题是对参数分类的标准不清楚,导致分类混乱.明确标准,合理分类是解决此类问题的关键,讨论含参函数单调性的问题,对参数进行分类讨论的基本顺序为最高次幂系数是否为0;方程f (x)=0是否有解;解是否在定义域内;解之间的大小关系.分类后确定导函数的符号,应画出导函数的图象,根据图象与x轴的相对位置确定导函数的符号,进而写出单调区间.跟踪集训已知函数f(x)=ax-1-ln x(aR).(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数;(2)若函数f(x)在x=1处取得极值,x(0,+),f(x)bx-2恒成立,求实数b的取值范围.陷阱五条件遗漏细心审题不遗漏例5用1,2,3,4,5,6组成各位数字不重复的六位数,满足1不在左、右两端,2,4,6三个偶数中有且只有两个偶数相邻,则这样的六位数的个数为()A.432B.288C.216D.144易错分析该题易出现的问题是不注意审题,导致漏掉或错用题中的限制条件.答案B正确解析解法一:先考虑只有2,4相邻,可以用2,4相邻的个数减去2,4与6相邻的个数.2,4相邻,把2,4捆绑在一起,与另外4个数排列(相当于5个元素排列),1不在左、右两侧,则这样的六位数的个数为2!34!=144.同理,2,4与6相邻的六位数的个数为2!223!=48.所以只有2,4相邻的六位数的个数为144-48=96,则全部符合条件的六位数的个数为963=288.故选B.解法二:只有两个偶数相邻的情况:第一步,选出两个偶数相邻(捆绑法),不同的方法有种;第二步,1,3,5全排列,不同的方法有种;第三步,两组偶数插空(1,3,5全排列后形成4个空),不同的方法有种.由分步乘法计数原理可得,满足只有两个偶数相邻的排法种数有=432.其中1在左、右两端的情况:第一步,选出两个偶数相邻(捆绑法),不同的方法有种;第二步,1,3,5排列,且1在两端,不同的方法有种;第三步,两组偶数插空(1在两端,两组偶数只能插在1,3,5排好后形成4个空中的3个),不同的方法有种.故1在左、右两端的排法种数有=144.所以满足条件的排法种数有432-144=288.即满足题意的六位数的个数为288.故选B.跳出陷阱排列组合的实际应用题中限制条件较多,如何处理这些限制条件是解决问题的关键.一般来说要遵循排列组合的基本策略:先组后排,特殊优先.组合中要注意均分问题,记住相应的规律,如本题有两个偶数相邻捆绑法;只有两个相邻,即与第三个偶数不相邻插空法,明确处理此类问题的基本顺序,然后逐步求解即可.跟踪集训在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=15,b=10,A=60,则cos B=()A.B.C.D.陷阱六推理不当归纳类比要合理例6我国齐梁时代的数学家祖暅发现了一条原理:幂势既同,则积不容异.这句话的意思是:夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平行平面的任何平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.设由曲线x2=4y和直线x=4,y=0所围成的平面图形绕y轴旋转一周所得到的旋转体为1,由同时满足x0,x2+y216,x2+(y-2)24,x2+(y+2)24的点(x,y)构成的平面图形绕y轴旋转一周所得到的旋转体为2,根据祖暅原理,通过类比2可以得到1的体积为.易错分析该题易出现的问题是不能准确理解祖暅原理,只关注两个平面图形形状的差异性,找不出共性,导致错误类比.答案32正确解析如图(1)和图(2),设图(1)中的阴影部分绕y轴旋转一周得到的旋转体的体积为V,则V=2,两图形绕y轴旋转所得的旋转体夹在两个相距为8的平行平面之间,用任意一个与y轴垂直的平面截这两个旋转体,设截面与原点的距离为|y|,则所得截面面积S1=(42-4|y|),S2=(42-y2)-4-(2-|y|)2=(42-4|y|),所以S1=S2,由祖暅原理知,与2的体积相等.因为2由同时满足x0,x2+y216,x2+(y-2)24,x2+(y+2)24的点(x,y)构成的平面图形绕y轴旋转一周所得的旋转体,所以它应该为一个大的球体减去两个半径一样的小的球体,体积为43-223=64,所以1的体积为32.跳出陷阱类比推理的关键在于“类”,即找到两类事物的共性,这是类比推理的基础,在此基础上才能进行由此及彼的相关性质研究,如该题中两个截面面积相等是类比两个几何体体积相等的关键.跟踪集训如图所示,坐标纸上的每个单元格的边长为1,由下往上的六个点:1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列an(nN*)的前12项,如下表所示:a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6按此规律,则a2 015+a2 016+a2 017=.陷阱七画图不准数化“形”要准确例7已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x)+f(2-x)=0;f(x-2)=f(-x);在-1,1上的表达式为f(x)=则函数f(x)与函数g(x)=的图象在区间 -3,3上的交点个数为()A.5B.6C.7D.8易错分析该题易出现的错误是不能准确作出函数图象,导致无法判断两个函数图象交点的个数.答案B正确解析由f(x)+f(2-x)=0可得f(1-x)+f(1+x)=0,即f(x)的图象关于(1,0)对称;由f(x-2)=f(-x)可得f(x-1)=f(-x-1),即f(x)的图象关于直线x=-1对称.如图,先作出函数y=f(x)在-1,1上的图象,然后作出其关于直线x=-1对称的图象,即得函数在-3,-1上的图象,最后作其关于(1,0)对称的图象,即得函数在1,3上的图象.再作出函数y=g(x)的图象,由图象可知两函数的图象在-3,3上有6个交点.故选B.跳出陷阱该题是利用函数图象的直观性解决两函数图象的交点问题,利用函数的性质准确画出函数图象是解决此类问题的关键.要熟练掌握函数的一些基本性质,如函数的奇偶性、周期性与单调性等.如该题中的函数y=f(x),根据题意知,该函数图象既有对称中心,又有对称轴,所以该函数也具有周期性其周期就是对称中心到相邻对称轴距离的4倍,所以该函数的周期为T=24=8.所以,可以利用周期性作出函数在已知区间之外的图象.跟踪集训已知平面直角坐标系xOy内的区域D由不等式组给定.若M(x,y)为区域D上一动点,点A的坐标为(,1),则z=|cos的最大值为()A.4B.3C.(2+)D.3陷阱八计算跳步步骤过程要合理例8如图所示的四棱锥 A-BCDE,四边形BCDE是边长为3的正方形,AE平面BCDE,AE=3,P是边DE上的一个动点,连接PA,PC.(1)若点Q为棱AC的中点,是否存在点P,使得 PQ平面AEB?若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由;(2)当EP=ED时,求平面AEB和平面APC所成二面角的正弦值.易错分析求平面法向量时,常因点的坐标、向量的坐标或平面向量的数量积运算出错,导致所求的法向量有误;求平面AEB和平面APC所成二面角的正弦值时,易与求直线与平面所成角相混淆,导致所求的结果出错.正确解析(1)当P为DE的中点时,PQ平面AEB.理由如下:取AB的中点M,连接EM,QM,如图所示.由Q为AC的中点,得MQBC,且MQ=BC,四边形BCDE是正方形,DEBC,DE=BC.PEBC,PE=BC,PEMQ,PE=MQ,四边形PEMQ为平行四边形,故EMPQ.又PQ平面AEB,ME平面AEB,PQ平面AEB.(2)因为AE平面BCDE,BEDE,所以以E为原点,EB,ED,EA所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,因为四边形BCDE是边长为3的正方形,EP=ED,AE=3,所以B(3,0,0),A(0,0,3),P(0,2,0),C(3,3,0).所以=(3,1,0),=(0,-2,3).易知平面AEB的一个法向量为n1=(0,1,0),设平面APC的法向量为n2=(x,y,z),由得取y=3,得平面APC的一个法向量为n2=(-1,3,2),所以|cos|=,设平面AEB和平面APC所成的二面角为,则sin =,所以平面AEB和平面APC所成二面角的正弦值为.跳出陷阱求两个平面所成角的正弦值需注意两处运算:一是求平面法向量,此时一定要认真求出点的坐标,利用“终减起”,求出向量的坐标,再通过联立方程,求出法向量的坐标;二是求两个平面所成角的正弦值,先计算两个平面所成角的余弦值,再利用同角三角函数的基本关系式,即可得结论.跟踪集训某小学对五年级的学生进行体能测试,已测得五年级一班30名学生的跳远成绩(单位:cm),用茎叶图统计如图.男生成绩在175 cm以上(包括175 cm)定义为“合格”,成绩在175 cm以下(不包括175 cm)定义为“不合格”.女生成绩在165 cm以上(包括165 cm)定义为“合格”,成绩在165 cm以下(不包括165 cm)定义为“不合格”.男女7155789998161245898653170245764211801119(1)求男生跳远成绩的中位数;(2)如果用分层抽样的方法,从男、女生中共抽取5人,求抽取的5人中女生的人数;(3)若从男、女生测试成绩“合格”的学生中选取2名参加复试,用X表示男生被选中的人数,求X的分布列和数学期望.陷阱九转化不当由此及彼要等价例9f(x)=x2-2aln x+(a-2)x,aR.(1)当a=1时,求函数f(x)在点(1, f(1)处的切线方程;(2)当aa恒成立?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.易错分析该题易出现的问题是直接把题中a转化为该函数的导数值的范围,即f (x)a,导致错解.正确解析f (x)=x-+a-2=(x0),(1)当a=1时,f(1)=-, f (x)=,f (1)=-2,所以所求的切线方程为y-=-2(x-1),即4x+2y-3=0.(2)当-a=2,即a=-2时,f (x)=0,f(x)在(0,+)上单调递增.当-a2,即-2a0时,因为0x2时, f (x)0;-ax2时, f (x)2,即a-2时,因为0x-a时, f (x)0;当2x-a时, f (x)0,所以f(x)在(0,2),(-a,+)上单调递增,在(2,-a)上单调递减.(3)假设存在这样的实数a满足条件,不妨设x1a恒成立,知f(x2)-ax2f(x1)-ax1恒成立.令g(x)=f(x)-ax=x2-2aln x-2x,则函数g(x)在(0,+)上单调递增,所以g(x)=x-20,即2ax2-2x=(x-1)2-1在(0,+)上恒成立,所以a-,故存在这样的实数a满足题意,其取值范围为.跳出陷阱条件的合理转化是将复杂、陌生的问题转化为简单、熟悉的问题的关键,在转化过程中一定要对式子进行等价变形,如该题中的第(3)问探究性问题中的“”,其几何意义是曲线上两点(x1,f(x1)与(x2,f(x2)连线的斜率,但如果直接利用导数的几何意义将该直线的斜率转化为函数图象上某点处的切线斜率,则求解较为复杂,应该通过代数式的等价变换,转化为函数y=f(x)-ax的单调性问题求解.跟踪集训已知an是递增数列,且对任意的自然数n(n1),都有an=n2+n恒成立,则实数的取值范围为.陷阱十新定义不明用新定义要明确例10定义:用x(xR)表示不超过x的最大整数,用x)(xR)表示超过x的最小整数.例如1.2=1,-0.3=-1,-1.5)=-1.给出下列结论:函数f(x)=sin x是奇函数;2是函数f(x)=sin x的周期;若x(1,2),则不等式(x)-x)x)x的解集为;函数g(x)=sin x+cos x)的值域是2,1,0,-1.其中正确的是.(填上所有正确结论的编号)易错分析未读懂新定义“x(xR)”与“x)(xR)”的含义,导致判断结论是否正确时出错.答案正确解析对于,因为f =0.5=0, f=-0.5=-1,所以f -f ,所以函数f(x)=sin x不是奇函数,所以错.对于,因为f(x)=sin x=(kZ).数形结合可知,2是函数f(x)=sin x的周期,所以正确.对于,当x(1,2)时,x)=2,由(x)-x)x)x,得解得x0,即x2-2x-30,亦即(x+1)(x-3)0,解得-1x0时,由f (x)0得0x0得x,f(x)在上递减,在上递增,即f(x)在x=处有极小值.当a0时,f(x)在(0,+)上没有极值点,当a0时, f(x)在(0,+)上有一个极值点.(2)函数f(x)在x=1处取得极值,a=1,f(x)bx-21+-b,令g(x)=1+-,则g(x)=.令g(x)=0,得x=e2,则g(x)在(0,e2)上递减,在(e2,+)上递增,g(x)min=g(e2)=1-,即b1-,即实数b的取值范围为.陷阱五条件遗漏细心审题不遗漏跟踪集训A由正弦定理可得=,所以sin B=,因为ab,所以AB,所以角B为锐角,所以cos B=.陷阱六推理不当归纳类比要合理跟踪集训答案1 008解析数列an中,a1=1,a2=1,a3=-1,a4=2,a5=2,a6=3,a7=-2,a8=4,这个数列的规律是奇数项为1,-1,2