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9.5 绝对收敛级数和条件收敛 级数的性质 定理1 对于级数 ,将它的所有正项保留而将 负项换为0,组成一个级数记为 .将它的所以负项 变号(乘上因子-1)而将正项换为0,也组成一个正项级 数记为 亦即 那么 (i)若级数 绝对收敛,则级数 和级数 都收敛; (ii)若级数 条件收敛,则级数 和级数 都发散 证明 (i)若级数 绝对收敛,由于 按比较判别法,级数 和级数 都收敛. (ii)若 为条件收敛,用反证法证明定理的第二结论. 假设级数 和级数 中至少有一个是收敛的,不妨 假设 为收敛级数,那么,由于 于是得知 亦必为收敛.又由于 ,所以 得知级数 绝对收敛,此与已知条件矛盾,因此证明了 两个级数 和 都发散. 定理2 绝对收敛级数 的更序级数 仍为绝 对收敛,且其和相同, 证明 (i)我们先证明当 为收敛的正项级数的情形 . 考虑更序级数 的部分和 .因为 所以,取 大于所有下标 后,显然有 又由于正项级数 ,于是对一切 成立 按照正项级数收敛的基本定理,更序级数 亦收敛, 设其和为 ,故有 ,另一方面级数 也可视为级 数 的更序级数故又有 ,得知 (ii)再来证明 为任意绝对收敛级数的情形. 仍旧记级数 和 分别为 的所有正项和所 有组成的级数.由定理1知道,这两个级数都收敛,设它们的 和分别是 和 ,则有 由(i)中的结论知道, 的更序级数 成立着 这就表明了更序级数 是绝对收敛的. 再设 和 分别为级数 和 的更序级数 .由(i)的结论知道 而 ,所以 这样就证明了定理. 注意：这个定理对条件收敛级数而言，却不一定成 立，例如莱布尼兹型级数 定理3(柯西定理) 若级数 和 都绝对收敛, 其和分别为 和 ,则它们各项之积 按照任何方法排列所构成的级数绝对收敛,且其和为 . (证明略） 例如：级数 绝对收
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