高中数学椭圆题型归纳.doc

高中数学椭圆题型归纳一椭圆的标准方程及定义1已知椭圆+=1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为（）A2B3C5D72、已知椭圆的标准方程为，并且焦距为6，则实数m的值为3求满足下列条件的椭圆的标准方程（1）焦点分别为（0，2），（0，2），经过点（4，） （2）经过两点（2，），（）4求满足下列条件的椭圆方程：（1）长轴在x轴上，长轴长等于12，离心率等于；（2）椭圆经过点（6，0）和（0，8）；（3）椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为10和45设F1，F2分别是椭圆+=1的左，右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为（6，4），则|PM|+|PF1|的最大值为二、离心率1、已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，F1PF2=90，则椭圆离心率的取值范围是2设F1、F2是椭圆E：+=1（ab0）的左右焦点，P是直线x=a上一点，F2PF1是底角为30的等腰三角形，则椭圆E的离心率为（）ABCD3已知点F1、F2是双曲线C：=1（a0，b0）的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|=2|OP|，|PF1|3|PF2|，则双曲线C的离心率的取值范围为（）A（1，+）B，+）C（1，D（1，三、焦点三角形1、已知椭圆+=1左，右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上一点，且F1PF2=60求PF1F2的周长求PF1F2的面积2已知点（0，）是中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的一个顶点，离心率为，椭圆的左右焦点分别为F1和F2（1）求椭圆方程；（2）点M在椭圆上，求MF1F2面积的最大值；（3）试探究椭圆上是否存在一点P，使=0，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由四、弦长问题1、已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m（1）当直线与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围（2）求被椭圆截得的最长弦的长度2、设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1斜率为1的直线与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列（1）求E的离心率；（2）设点P（0，1）满足|PA|=|PB|，求E的方程五、中点弦问题1、 已知椭圆+=1的弦AB的中点M的坐标为（2，1），求直线AB的方程，并求AB的长六、定值、定点问题1、已知椭圆C：9x2+y2=m2（m0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由七、对称问题1已知椭圆方程为，试确定m的范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线y=4x+m对称高中数学椭圆题型归纳参考答案与试题解析一选择题（共3小题）1（2016春马山县期末）已知椭圆+=1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为（）A2B3C5D7【分析】先根据条件求出a=5；再根据椭圆定义得到关于所求距离d的等式即可得到结论【解答】解：设所求距离为d，由题得：a=5根据椭圆的定义得：2a=3+dd=2a3=7故选D【点评】本题主要考查椭圆的定义在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口2（2015秋友谊县校级期末）设F1、F2是椭圆E：+=1（ab0）的左右焦点，P是直线x=a上一点，F2PF1是底角为30的等腰三角形，则椭圆E的离心率为（）ABCD 【分析】利用F2PF1是底角为30的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=a上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率【解答】解：F2PF1是底角为30的等腰三角形，|PF2|=|F2F1|P为直线x=a上一点2（ac）=2ce=故选：B【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题3（2016衡水模拟）已知点F1、F2是双曲线C：=1（a0，b0）的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|=2|OP|，|PF1|3|PF2|，则双曲线C的离心率的取值范围为（）A（1，+）B，+）C（1，D（1，【分析】由直角三角形的判定定理可得PF1F2为直角三角形，且PF1PF2，运用双曲线的定义，可得|PF1|PF2|=2a，又|PF1|3|PF2|，可得|PF2|a，再由勾股定理，即可得到ca，运用离心率公式，即可得到所求范围【解答】解：由|F1F2|=2|OP|，可得|OP|=c，即有PF1F2为直角三角形，且PF1PF2，可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，由双曲线定义可得|PF1|PF2|=2a，又|PF1|3|PF2|，可得|PF2|a，即有（|PF2|+2a）2+|PF2|2=4c2，化为（|PF2|+a）2=2c2a2，即有2c2a24a2，可得ca，由e=可得1e，故选：C【点评】本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用双曲线的定义和直角三角形的性质，考查运算能力，属于中档题二填空题（共3小题）4已知椭圆的标准方程为，并且焦距为6，则实数m的值为4或【分析】由题设条件，分椭圆的焦点在x轴上和椭圆的焦点在y轴上两种情况进行讨论，结合椭圆中a2b2=c2进行求解【解答】解：椭圆的标准方程为，椭圆的焦距为2c=6，c=3，当椭圆的焦点在x轴上时，25m2=9，解得m=4；当椭圆的焦点在y轴上时，m225=9，解得m=综上所述，m的取值是4或故答案为：4或【点评】本题考查椭圆的简单性质，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的合理运用5（2016漳州一模）设F1，F2分别是椭圆+=1的左，右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为（6，4），则|PM|+|PF1|的最大值为15【分析】由椭圆的定义可得，|PM|+|PF1|=2a+|PM|PF2|2a+|MF2|，由此可得结论【解答】解：由题意F2（3，0），|MF2|=5，由椭圆的定义可得，|PM|+|PF1|=2a+|PM|PF2|=10+|PM|PF2|10+|MF2|=15，当且仅当P，F2，M三点共线时取等号，故答案为：15【点评】本题考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题6已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，F1PF2=90，则椭圆离心率的取值范围是【分析】根据题意，点P即在已知椭圆上，又在以F1F2为直径的圆上因此以F1F2为直径的圆与椭圆有公式点，所以该圆的半径c大于或等于短半轴b的长度，由此建立关于a、c的不等式，即可求得椭圆离心率的取值范围【解答】解P点满足F1PF2=90，点P在以F1F2为直径的圆上又P是椭圆上一点，以F1F2为直径的圆与椭圆有公共点，F1、F2是椭圆的焦点以F1F2为直径的圆的半径r满足：r=cb，两边平方，得c2b2即c2a2c22c2a2两边都除以a2，得2e21，e，结合0e1，e1，即椭圆离心率的取值范围是，1）故答案为：，1）【点评】本题在已知椭圆上一点对两个焦点张角等于90度的情况下，求椭圆的离心率，着重考查了椭圆的基本概念和解不等式的基本知识，属于中档题三解答题（共9小题）7（2013秋琼海校级月考）已知椭圆+=1左，右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上一点，且F1PF2=60求PF1F2的周长求PF1F2的面积【分析】根据椭圆的方程求得c，利用PF1F2的周长L=2a+2c，即可得出结论；设出|PF1|=t1，|PF2|=t2，利用余弦定理可求得t1t2的值，最后利用三角形面积公式求解【解答】解：a=5，b=3，c=4PF1F2的周长L=2a+2c=18；设|PF1|=t1，|PF2|=t2，则由椭圆的定义可得：t1+t2=10在F1PF2中F1PF2=60，t12+t222t1t2cos60=28，可得t1t2=12，=3【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆的标准方程、椭圆的定义，熟练利用解三角形的一个知识求解问题8（2015秋揭阳月考）已知点（0，）是中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的一个顶点，离心率为，椭圆的左右焦点分别为F1和F2（1）求椭圆方程；（2）点M在椭圆上，求MF1F2面积的最大值；（3）试探究椭圆上是否存在一点P，使=0，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）由题意设出椭圆标准方程，根据顶点的坐标和离心率得b=，根据a2=b2+c2求出a的值，即求出椭圆标准方程；（2）根据（1）求出的椭圆标准方程，求出点M纵坐标的范围，即求出三角形面积的最大值；（3）先假设存在点P满足条件，根据向量的数量积得，根据椭圆的焦距和椭圆的定义列出两个方程，求出S的值，结合（2）中三角形面积的最大值，判断出是否存在点P【解答】解：（1）由题意设椭圆标准方程为+=1，由已知得，b=（2分）则e2=1=，解得a2=6（4分）所求椭圆方程为+=1（5分）（2）令M（x1，y1），则S=|F1F2|y1|=2|y1|=|y1|（7分）点M在椭圆上，y1，故|y1|的最大值为，（8分）当y1=时，S的最大值为（9分）（3）假设存在一点P，使=0，（10分）PF1F2为直角三角形，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4 （11分）又|PF1|+|PF2|=2a=2（12分）2，得2|PF1|PF2|=20，|PF1|PF2|=5，（13分）即S=5，由（1）得S最大值为，故矛盾，不存在一点P，使=0（14分）【点评】本题考查了椭圆方程的求法以及椭圆的性质、向量数量积的几何意义，利用a、b、c、e几何意义和a2=b2+c2求出a和b的值，根据椭圆上点的坐标范围求出相应三角形的面积最值，即根据此范围判断点P是否存在，此题综合性强，涉及的知识多，考查了分析问题和解决问题的能力9（2015秋葫芦岛校级月考）求满足下列条件的椭圆的标准方程（1）焦点分别为（0，2），（0，2），经过点（4，） （2）经过两点（2，），（）【分析】（1）设出椭圆的标准方程，代入点的坐标，结合c=2，即可求得椭圆的标准方程；（2）设出椭圆的标准方程，代入点的坐标，即可求得椭圆的标准方程【解答】解：（1）依题意，设所求椭圆方程为=1（ab0）因为点（4，3），在椭圆上，又c=2，得 ，解得a=6，b=4（10分）故所求的椭圆方程是=1；（2）设椭圆方程为mx2+ny2=1，则经过两点（2，），（），n=，椭圆方程为=1【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查学生的计算能力，属于基础题10（2012秋西安期末）求满足下列条件的椭圆方程：（1）长轴在x轴上，长轴长等于12，离心率等于；（2）椭圆经过点（6，0）和（0，8）；（3）椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为10和4【分析】（1）设椭圆方程为+=1（ab0），运用离心率公式和a，b，c的关系，解得a，b，即可得到椭圆方程；（2）设椭圆方程为mx2+ny2=1，（m，n0），由题意代入点（6，0）和（0，8），解方程即可得到椭圆方程；（3）讨论椭圆的焦点的位置，由题意可得ac=4，a+c=10，解方程可得a，c，再由a，b，c的关系解得b，即可得到椭圆方程【解答】解：（1）设椭圆方程为+=1（ab0），由题意可得，2a=12，e=，即有a=6，=，即有c=4，b=2，即有椭圆方程为+=1；（2）设椭圆方程为mx2+ny2=1，（m，n0），由题意代入点（6，0）和（0，8），可得36m+0=1，且0+64n=1，解得m=，n=，即有椭圆方程为+=1；（3）当焦点在x轴上时，可设椭圆方程为+=1（ab0），由题意可得ac=4，a+c=10，解得a=7，c=3，b=2，即有椭圆方程为+=1；同理，当焦点在y轴上时，可得椭圆方程为+=1即有椭圆方程为+=1或+=1【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的方程的正确设法，以及椭圆性质的运用，属于基础题11（2010宁夏）设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1斜率为1的直线与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列（1）求E的离心率；（2）设点P（0，1）满足|PA|=|PB|，求E的方程【分析】（I）根据椭圆的定义可知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，进而根据|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数表示出|AB|，进而可知直线l的方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），代入直线和椭圆方程，联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2进而根据，求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，离心率可得（II）设AB的中点为N（x0，y0），根据（1）则可分别表示出x0和y0，根据|PA|=|PB|，推知直线PN的斜率，根据求得c，进而求得a和b，椭圆的方程可得【解答】解：（I）由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得，l的方程为y=x+c，其中设A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B两点坐标满足方程组化简的（a2+b2）x2+2a2cx+a2（c2b2）=0则因为直线AB斜率为1，|AB|=|x1x2|=，得，故a2=2b2所以E的离心率（II）设AB的中点为N（x0，y0），由（I）知，由|PA|=|PB|，得kPN=1，即得c=3，从而故椭圆E的方程为【点评】本题主要考查圆锥曲线中的椭圆性质以及直线与椭圆的位置关系，涉及等差数列知识，考查利用方程思想解决几何问题的能力及运算能力12（2014春广水市校级月考）已知椭圆+=1的弦AB的中点M的坐标为（2，1），求直线AB的方程，并求AB的长【分析】首先，根据椭圆的对称轴，得到该直线的斜率存在，设其方程为y1=k（x2），然后联立方程组，利用一元二次方程根与系数的关系，并且借助于中点坐标公式，确定斜率k的值，然后，利用两点间的距离公式或弦长公式，求解AB的长【解答】解：当直线AB的斜率不存在时，不成立，故直线AB的斜率存在，设其方程为y1=k（x2），联立方程组，消去y并整理，得（1+4k2）x2+8k（12k）x+4（12k）216=0，x1+x2=，2k（2k1）=1+4k2，k=，直线AB的方程：x+2y4=0将k=代人（1+4k2）x2+8k（12k）x+4（12k）216=0，得x24x=0，解得x=0，x=4，A（0，），B（4，），|AB|=AB的长2【点评】本题属于中档题，重点考查了椭圆的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系、弦长公式、两点间的距离公式等知识，属于高考的热点和重点问题13（2015新课标）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由【分析】（1）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论（2）四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP=2xM，建立方程关系即可得到结论【解答】解：（1）设直线l：y=kx+b，（k0，b0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），将y=kx+b代入9x2+y2=m2（m0），得（k2+9）x2+2kbx+b2m2=0，则判别式=4k2b24（k2+9）（b2m2）0，则x1+x2=，则xM=，yM=kxM+b=，于是直线OM的斜率kOM=，即kOMk=9，直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值（2）四边形OAPB能为平行四边形直线l过点（，m），由判别式=4k2b24（k2+9）（b2m2）0，即k2m29b29m2，b=mm，k2m29（mm）29m2，即k2k26k，则k0，l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k0，k3，由（1）知OM的方程为y=x，设P的横坐标为xP，由得，即xP=，将点（，m）的坐标代入l的方程得b=，即l的方程为y=kx+，将y=x，代入y=kx+，得kx+=x解得xM=，四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP=2xM，于是=2，解得k1=4或k2=4+，ki0，ki3，i=1，2，当l的斜率为4或4+时，四边形OAPB能为平行四边形【点评】本题主要考查直线和圆锥曲线的相交问题，联立方程组转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键综合性较强，难度较大14（2013秋阜城县校级月考）已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m（1）当直线与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围（2）求被椭圆截得的最长弦的长度【分析】（1）当直线与椭圆有公共点时，直线方程与椭圆方程构成的方程组有解，等价于消掉y后得到x的二次方程有解，故0，解出即可；（2）设所截弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），由（1）