高中数学第一章三角函数1.4.3单位圆与诱导公式教案北师大版.docx

1.4.3 单位圆与诱导公式整体设计教学分析 本节教学内容的安排是学生学过的三角函数定义等知识的延续和拓展.根据上一节任意角的正弦、余弦函数的定义，我们知道某角的三角函数值是由该角的终边上点的坐标给出的.我们根据这一点，即三角函数的定义，结合角的终边与角+，-，-的终边的对称性，找出这些角的三角函数值与角的三角函数值之间的关系，并利用这些关系求一些角的三角函数值，化简一些三角函数式，即我们不仅要探索出这些关系式，还要掌握并能利用它们解决一些简单的问题. 诱导公式是求三角函数值的基本方法，求三角函数值是三角函数中的重要问题之一.诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0-90角的三角函数值问题.诱导公式的推导过程，体现了数学的数形结合和归纳转化的思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式，这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力、,掌握数学的思想方法具有重大的意义. 在本节诱导公式的学习中，关键是紧紧抓住单位圆这一图形工具，充分利用数形结合思想，将化归思想贯穿始终，这些典型的数学思想，无论在本节中的分析导入,还是利用诱导公式将求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值，都清晰地得到体现.在教学中注意数学思想渗透于知识的传授之中，让学生了解化归思想，形成初步的化归意识，特别是在本课时的几个转化问题引入后，为什么确定180+角为第一研究对象，-角为第二研究对象，正是化归思想的运用.本节内容的重点是诱导公式的推导及运用，在公式的推导中，首先确定180+角、-角的终边与角的终边有何位置关系，找出它们与单位圆交点的坐标，由正弦函数、余弦函数的定义得出结论.另外，运用公式进行一般的化简，实际上也是熟悉公式、巩固公式的一种方法，因此它同样属于本课时的重点之一. 本节课教学方法主要采用了引导、观察、分析、归纳、讨论、类比发现法，在教案设计过程中，一是立足于知识的发生、发展形成过程，不断创设问题情境，让学生从已有的知识及感知中去观察、分析、总结公式的特点提炼公式的含义；二是力求以学生为主体，对课本上内容进行重新处理，特别是通过设疑和学生间互相讨论，以及画图思考来引导学生发展思维，获取新知识，形成技能.这样既注重学生的认知结构培养，也体现数学教学是数学思维活动过程的教学；三是注重数学思想方法，如数形结合、化归、类比等数学思想方法，把握数学中最本质的东西，为学生进一步学习数学奠定坚实的基础.三维目标1.通过学生的探究，明确三角函数的诱导公式的来龙去脉，理解诱导公式的推导过程；培养学生的逻辑推理能力及运算能力，渗透转化及分类讨论的思想.2.通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式，并通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力.3.通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识及学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辩证唯物主义思想，提高分析问题和解决问题的能力,体会数学式子的简洁美、对称美以及数学式子变化的无穷魅力.重点难点教学重点：诱导公式的推导及灵活运用，如三角函数式的求值、化简和证明等.教学难点：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课 思路1.(复习引入)我们前面利用单位圆得到了任意角的正弦、余弦函数，周期函数，最小正周期等概念.它在转化任意角的三角函数中所起的作用是什么呢？从周期函数的概念中我们知道正弦、,余弦函数值每隔2就会重复出现，那么在单位圆中是怎样体现的呢？有什么内在的联系呢？由此引入新课. 思路2.在单位圆中，216角的终边OP在第三象限内，将OP反向延长，与单位圆交于P点，则在090之间找到一个角=216-180=36.由于OPMOPM，所以有MP=MP.又因为sin216=MP，sin36=MP，而MP与MP的长度相同、方向相反，所以有sin216=-sin36.这样便把求sin216的值的问题，转化为可查表的36角的三角函数求值问题.你能把以上几何变换的过程，用三角关系式表示出来吗？由此引入新课.或者从猜想中引入：比如学生根据上节所求，会得到以下结果：sinsin，cos-cos-；sinsin，cos-cos-,等等. 教师由此发问:观察角与角的关系会得到什么结论？把角、放到单位圆中又有什么发现呢？让学生在强烈的探求欲望中展开新课，这也是一种很不错的选择.推进新课新知探究提出问题让学生回忆任意角的正弦、余弦函数是怎样定义的？观察单位圆，角与-的正弦、余弦函数值具有怎样的关系？观察单位圆，角与-，2-的正弦、余弦函数值具有怎样的关系？观察单位圆，角与+的正弦、余弦函数值具有怎样的关系？活动:教师在唤起学生对任意角的正弦、余弦函数定义的回忆后，指导学生画出单位圆，并在单位圆中画出角、，思考分析它们的关系.图1教师与学生一起观察图1，MOP=,MOP=,在直角坐标系的单位圆中，点P与点P关于y轴对称，它们的坐标分别为(，)、(-，)，即它们的纵坐标相等，横坐标的绝对值相等且符号相反.sinsin，cos-cos.这很自然地引起学生的猜想：对任意的角与-是否也具有这种关系呢？教师引导学生做进一步探究.教师出示课件，将的终边绕单位圆一周，让学生在动态中思考与-的关系.让学生观察图2，或由学生在单位圆中，作MOP=,MOP-.不难看出，点P(a,b)和点P(-a,b)关于y轴对称.因此，它们的纵坐标相等，横坐标的绝对值相等且符号相反，即sin(-)=sin,cos（-)=-cos.图2 有了上述探究过程的经历，学生会想到用类比的思想方法来进一步探究角与-，2-的正弦、余弦函数值的关系.教师演示课件，让学生在动态中感知与-的位置关系(如图4).在引导学生观察图3时，可让学生自己独立探究、归纳发现公式，体验在自己的发现中成功的愉悦感，以提高数学学习的自信心和进一步探究的欲望.事实上，在单位圆中，作MOP=,MOP-(或2-)，不难看出，点P(a,b)和P(a,-b)关于x轴对称.因此，它们的横坐标相等，纵坐标的绝对值相等且符号相反,即sin(-)=-sin,sin(2-)=-sin,cos(-)=cos,cos(2-)=cos.图3图4 同样学生可自主探究角与+的正弦、余弦函数值的关系.教师演示课件，动态的表示出与+的位置关系(如图6).然后引导学生观察图5，在单位圆中，作MOP,MOP+，不难看出，点P(a,b)和P(-a,-b)关于原点对称.因此，它们的横坐标绝对值相等且符号相反，纵坐标绝对值相等且符号相反,即sin(+)=-sin,cos（+)=-cos.图5图6 通过以上探究，我们得到了三组公式，这给我们的三角函数求值、化简、证明带来了极大便利.教师与学生一起观察分析公式的结构特征，找出记忆的诀窍，强调无论是锐角还是任意角，公式均成立；可以这样概括说明记忆：-,2-的三角函数值等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号.或者进一步简记为：“函数名不变，符号看象限”，点拨、引导学生注意公式中的任意性.讨论结果:略.应用示例例1 求下列各角的三角函数值：(1)sin(-); (2)cos; (3)cos(-).活动:本例是直接运用公式的题目，目的是让学生熟悉公式，初步体会公式的简单应用.通过练习,加深对公式的理解，逐步达到正确熟练的公式应用.解答时可让学生观察题目中角的范围，对照公式找出哪个公式适合解决这个问题，可让学生独立解答，对个别有困难的学生教师对其适时的点拨引导.解:(1)sin(-)=-sin=-sin(2-)=-(-sin)=sin=(2)cos=cos（-)=-cos=-（3)cos(-)=cos=cos（4+)=cos（+)=-cos=-. 点评:利用公式可把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，一般可按下列步骤进行：任意负角的三角函数任意正角的三角函数0-2三角函数锐角三角函数，这种变化体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法.教师应提醒学生注意：这仅仅是一种转化模式或求解思路，不要记诵这个步骤.在实际解题中只要灵活地应用公式求解，明确先用哪个公式、后用哪个公式是没有什么固定要求的，否则就违背了学习的本质要义，解题就成了死解题、解死题，可谓题目解了千千万万，一到考试不得分，其学习当然也就成了死学习，越学越不得要领，结果把自己本来的灵活学成了呆板.如本例(1)完全可以这样来解：sin(-)=sin(-2+)=sin=.变式训练 利用公式求下列三角函数值：(1)cos(-51015); (2)sin(-).解:(1)cos(-51015)= cos51015=cos(360+15015)=cos15015=cos(180-2945)=-cos2945=-0.868 2.(2)sin(-)=sin(-32)=sin=例2 化简活动:教师引导学生认真仔细观察题目，题中四个三角函数是对诱导公式进一步的复习和巩固，重点训练学生对知识的掌握程度和应用的灵活程度.可适时地提醒学生注意，利用诱导公式时尽可能将角统一，从而达到化简的目的.本例可由学生自己完成，教师也可在学生解完此题后让学生变化题目，进行一题多变.如可在180及360的前面添加偶数n或奇数n或整数(此时需要分类讨论)n；亦或将角前面的“+、-”进行变化，这样可达到一题多用的目的，提高学生的兴趣，长此以往学生就能达到解一题会一片，就能融会贯通而灵活多变，达到我们常说的“越学越省劲,越学越聪明”的境界.解:sin(-180)=sin-(180+)=sin(180+)=-(-sin)=sin,cos(-180-)=cos-(180+)=cos(180+)=-cos,cos(180+)=-cos,sin(360+)=sin.所以，原式=1.点评:运用诱导公式时可首先将负角化为正角，这有利于解题的简洁.变式训练 化简cos315+sin(-30)+sin225+cos480.解:cos315+sin(-30)+sin225+cos480=cos(360-45)-sin30+sin(180+45)+cos(360+120)=cos(-45)-sin45+cos120=cos45-+cos(180-60)=-cos60=-1.3.已知函数f(x)=asin(x+)+bcos(x+).其中a,b,都是非零实数，又知f(2 003)=-1，求f(2 004)的值.活动:解决本题的关键是寻求f(2 003)=-1与f(2 004)之间的联系，这个联系就是我们解答问题的钥匙.显然通过诱导公式，我们可以将f(x)的表达式化为只有,的代数式.然后逐步转化利用条件解之，教师可让学生独立探究，适时地给以点拨.解:f(2 003)=asin(2 003+)+bcos(2 003+)=asin(2 002+)+bcos(2 002+)=asin(+)+bcos(+)=-asin-bcos=-(asin+bcos),f(2 003)=-1,asin+bcos=1.f(2 004)=asin(2 004+)+bcos(2 004+)=asin+bcos=1.点评:解决问题的实质就是由未知向已知转化的过程，在这个过程中一定要抓住关键和要害，注意“整体代入”这一思想的应用.解答本题的关键就是求得式子asin+bcos=1，它是联系已知和未知的纽带.知能训练课本练习1、2.课堂小结 由学生回顾本节课的学习过程，归纳总结本节课所学到的数学知识及数学思想方法.本节的重点是公式的推导过程及应用.在突出重点的同时，要抓住公式结构特点，善于记忆公式.如本节公式：-,2-的三角函数值等于它的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号，也可简单记忆为：“函数名不变，符号看象限”；切实掌握利用单位圆探究问题的数形结合思想，掌握由未知向已知转化的化归思想,并且在合作探究中学会交流，提高我们的合作意识和探究能力.作业课本习题14 4、5、6.设计感想 本课的教学设计是依据新课程标准和学生已有知识水平和思维能力，按照“教师为主导，学生为主体，思维为主线”的原则而设计的.教师的主导作用在于激发学生的求知欲，为学生创设探索的情境，指引探索的途径，引导学生不断地提出新问题，解决新问题. 本教案的设计思路是：采用问题设疑，观察演示，步步深入，层层引发，引导联想、类比，进而发现、归纳的探究式思维训练教学方法.旨在让学生充分感受和理解知识的产生和发展过程.在教师适时的启发点拨下，学生在类比、归纳的过程中积极主动地去探索、发现数学规律(公式)，培养学生的创新意识、创新精神和灵活思维能力.第2课时导入新课 思路1.首先让学生回忆上一节课探究诱导公式的过程与方法，是怎样借助单位圆导出的？利用的是单位圆的哪些几何性质？并让学生默写上节课所学公式.在此基础上,教师提出可否借助单位圆找出与+或-的关系？由此展开新内容的探究，揭示课题. 思路2.通过计算猜想引入，让学生计算，的正弦、余弦值，并引导学生观察结果.sin=,cos=-,这里+,sin=,cos,这里+.sin=,cos=,这里+，sin=,cos=,这里+.猜想：sin(+)=cos,cos(+)=-sin.由此在单位圆中进一步去探寻验证，在学生急欲探究的欲望中展开新课，这样引入很符合新课程理念，也是一个不错的选择.推进新课新知探究提出问题以下按两种思路来探究与+或-的关系.思路1.先得出与-的关系.先计算sin、cos、sin、cos的值(、,)，你有什么猜想结论？怎样验证探究与-的关系呢？在单位圆中，让学生画出终边与角的终边关于直线y=x对称的角，观察它们有什么样的位置关系？如何由与-的关系，得到与+的关系？图7活动:学生很容易得到如下猜想：cos(-)=sin,sin(-)=cos.这时教师适时点拨，以上猜测是正确的，但还要小心求证.没有大胆猜测，就没有事物的发展和进步(鼓励猜想)，没有经过严格证明的结论总还是猜想,不一定正确.为了得到进一步的证明，教师引导学生画出单位圆及角、-,探究终边与角的终边关于直线y=x对称的角的数量关系.先让学生充分探究，启发学生借助单位圆的几何性质，点拨学生从终边关于直线y=x对称的两个角之间的数量关系，关于直线y=x对称的两个点的坐标之间的关系进行探究(如图7).设任意角-的终边与单位圆的交点P1(x,y)，由于角的终边与角-的终边关于直线y=x对称，角-的终边与单位圆的交点P2与点P1关于直线y=x对称，因此点P2的坐标是(y,x)，于是，我们有sin=y, cos=x, cos（-)=y, sin(-)=x.从而得到我们的猜想，也就是如下公式：sin(-)=cos,cos（-)=sin.教师进一步引导学生，因为+可以转化为-(-).所以求+角的正弦、余弦问题就转化利用上节课所学公式进行变形的问题，由此易得sin(+)=cos,cos（+)=-sin.讨论结果:略.思路2.先得出与+的关系.图8 教师引导学生观察图8，设任意角的终边与单位圆交于点P(a,b)，则角+的终边与单位圆交于点P1.由平面几何知识,可知RtOPMRtP1OM1，不难证明，点P1的坐标为(-b，a)，且a=cos, b=sin.所以点P的横坐标cos与点P1的纵坐标sin(+)相等，即sin(+)cos.点P的纵坐标sin与点P1的横坐标cos（+)的绝对值相等且符号相反，由此得到公式sin(+)=cos,cos（+)=-sin. 教师进一步引导学生，因为-=-(+)，所以求-角的正弦、余弦问题就转化为利用上节课所学公式进行变形的问题，由此易得sin(-)=cos,cos（-)=sin.至此，我们得到了任意角的三角函数公式sin(k2+)=sin，cos（k2+)=cos.sin(-)=-sin，cos（-)=cos.sin(-)=sin，cos（-)=-cos.sin(+)=-sin，cos（+)=-cos.sin(+)=cos,cos(+)=-sinsin(-)=cos,cos（-)=sin. 以上公式分别叫作正弦函数、余弦函数的诱导公式.2k+(kZ)，-，2-的正(余)弦函数值，等于的相应的正(余)弦函数值，前面加上把看成锐角时原函数值的符号；的正(余)弦函数值，等于的相应的余(正)弦函数值，前面加上把看成锐角时这些角所在象限的正(余)弦函数值的符号. 教师与学生共同进一步归纳总结：以上诱导公式又可以概括为：(kZ)的三角函数值，当k为偶数时，得角的同名函数值；当k为奇数时，得相应的余弦函数值.然后前面加上把看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为：“奇变偶不变，符号看象限”.这里特别要弄清“把看成锐角”的含义，不管是字母还是数值，不管其多大，仅是“看成”而已.以上公式就这样记忆非常方便，这个规律可以扩展，用在选择题、填空题上也很方便.应用示例1.求下列函数值：(1)sin(+);(2)sin(-);(3)sincos（-)+sincos.活动:本例是让学生熟悉刚刚学过的诱导公式，让学生自己探究.由于考虑问题的视角不同会有不同的切入方式，这对学生灵活理解公式很有好处.解:(1)sin(+)sin(+)=cos=.(2)sin(-)=-sin=-sin(8+)-sin=-sin(+)=sin=(3)sincos（-)+sincos=sin()cos+sin(2-)cos(+)=sincos+(-sin)(-cos)=+.点评:解完本例后教师引导学生反思总结，对于学生不同的转化方式，教师都应给予鼓励.比如(2)第一步也可这样转化：sin(-)=sin(-10+).以此活化学生的思路.例2 化简：活动:本例属于化简求值一类，这种题目要求学生正确灵活地运用诱导公式，教师提醒学生特别注意各式符号的确定.教学时要让学生充分探究，合作交流，通过不同的切入方式获得问题的解决，要充分利用本例的训练价值，达到活跃学生思维的目的.解:原式 =1.点评:化简求值题需充分利用公式变形，而公式变形中可以充分体现数学公式的转化和简化功能，充分体现数学思想和方法，因而备受高考命题人的青睐，成为出题频率较多的题型.解完本例后，教师要引导学生对其探究过程进行反思与总结.变式训练1.求sin(-870)的值.解法一:sin(-870)=-sin870=-sin(2360+150)=-sin150=-sin(180-30)=-sin30=-.解法二:sin(-870)=sin(-1090+30)=-sin30-点评:以上两种解法中，解法一是按我们常规思路来解的，解法二是按本节介绍的记忆口诀来解的.这样做的目的不是提倡学生寻求奇妙解法，而是想说明对诱导公式的深刻理解及灵活运用，不要死板记忆公式的形式，孤立地记忆这么多诱导公式，要记忆公式的特征、规律等共同的本质的东西.如本例解法二，这里k=-10是偶数，所以得到同名函数，得到右边的符号是正弦在第三象限(-870)的符号，为负值.当然，这个方法要求学生的口算能力很好，能很快算出角在第几象限；当然，根据规律，也可以这样：sin(-870)=sin(-990-60)=-cos(-60)-cos60-2.已知cos(-)=m(|m|1),求sin(-)的值.解:-(-)=,-=+(-).sin(-)=sin+(-)=cos(-)=m.点评:(1)当两个角的和或差是的整数倍时，它们的三角函数值可通过诱导公式联系起来；(2)化简已知与所求，然后探求联系，这是解决问题的重要思想方法.3.(1)已知f(cosx)=cos17x,求证:f(sinx)=sin17x;(2)对于怎样的整数n,才能由f(sinx)=sinnx推出f(cosx)=cosnx?(1)证明:f(sinx)=fcos(-x)=cos17(-x)=cos(8+-17x)=cos(-17x)=sin17x,即f(sinx)=sin17x.(2)解:f(cosx)=fsin(-x)=sinn(-x)=sin(-nx)=故所求的整数n=4k+1(kZ).点评:正确合理地运用公式是解决问题的关键所在.对诱导公式的应用需要较多的思维空间，要善于观察题目特点，灵活变形.观察本例条件与结论在结构上类似,差别在于一个含余弦,一个含正弦,注意到正弦、余弦转化可借助sinx=cos(-x)或cosx=sin(-x).要善于观察条件和结论的结构特征,找出它们的共性与差异;要注意诱导公式可实现角的形式之间及互余函数名称之间的转移.知能训练课本练习2 14.课堂小结 先由学生回顾本节进程，然后教师与学生一起归纳总结：本节与上节一样，都是利用单位圆推导诱导公式，并应用这些公式进行三角函数的求值、化简及证明的.这里诱导公式比较多，不可死记硬背，要通过练习来记忆它，再结合公式特征，利用歌诀记忆法记忆诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”，角的运算总原则是：“负化正，大化小、化到锐角再查表”.作业1.课本习题14 A组7、8.2.B组1、2、3.设计感想 根据本节教学内容的结构特征和学生学习数学的心理规律，本节教案的设计思路是“问题、类比、发现、猜想、归纳、论证”的探究式教学方法.这种设计模式符合本册课程标准的教学要求及实验教材的新教学理念，符合中学生的认知特点.通过课件的演示，为教学内容的鲜活注入了新的活力.使学生在动态的过程中，愉快地探究新知识，闪现智慧的灵感，使学生身心得以健康发展. 首先利用学生已有知识提出新的问题，创设问题情境，引起学生学习兴趣，激发学生的求知欲，达到以旧拓新的目的.学生对“为任意角”的认识更具完备性，通过联想、引导学生进行问题类比、方法迁移，猜想任意角与的数量关系，进而借助单位圆探求出严格的证明，旨在让学生充分感受和理解知识的产生和发展过程.最后师生一起总结、归纳寻找公式的特征等规律性的东西，在应用中进一步拓展.本节把归纳推理和演绎推理有机地结合起来，开阔了学生的视野，发展了学生的思维能力，也提升了学生的思维层次.备课资料一、备用习题1.sin(-)的值等于( )A. B- C. D.-2.已知sin(+)=，是第四象限角，则cos(-2)的值是( )A. B- C D.3.cos(-660)+sin(-330)的值是 ( )A.1 B.-1 C.0 D.4.已知f(cosx)=cos3x，则f(sin30)的值为_.5.若是三角形的一个内角，且cos(+)=，则=_.6.化简(1)(kZ);(2)sin+cos-(nZ).7.若函数f(n)=sin(nZ)，则f(1)+f(2)+f(3)+f(102)=_.8.已知sin是方程5x2-7x-6=0的根，且为第三象限角，求的值.参考答案:1.A 2.A 3.C4.-15.30或1506.解:(1)当k为偶数时，原式=-1；当k为奇数时,同理可得，原式=-1，故当kZ时，原式=-1.(2)原式=sinn-(+)+cosn+(-).当n为奇数时，设n=2k+1(kZ)，则原式=sin2k+-(+)+cos2k+(-)=sin(+)-cos(-)=cos(-)-cos(-)=0.当n为偶数时，设n=2k(kZ)，同理可得原式=0.7.解析:sin=sin(+2)=sin,f(n)=f(n+12),从而有f(1)+f(2)+f(3)+f(12)=0.f(1)+f(2)+f(3)+f(102)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=2f(1)+f(2)+f(3)=2+.答案:2+8.解:5x2-7x-6=0的两根x=2或x=-,-1x1,sin=-,又为第三象限角，cos=-=-.tan=.原式=点评:综合运用相关知识解决综合问题.二、关于数学公式的变形与数学公式的记忆1.数学公式变形