高中数学三角函数1.4三角函数的图象与性质教学案新人教A版.docx

1.4 三角函数的图象与性质第1课时正弦函数、余弦函数的图象核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P30P33的内容，回答下列问题(1)观察教材P31图1.43，你认为正弦曲线是如何画出来的？提示：利用单位圆中的正弦线可以作出ysin_x，x0，2的图象，将ysin_x在0，2内的图象左右平移即可得到正弦曲线(2)在作正弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？提示：作正弦函数ysin_x，x0，2的图象时，起关键作用的点有以下五个：(0，0)，(，0)，(2，0)(3)作余弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？提示：作余弦函数ycos_x，x0，2的图象时，起关键作用的点有以下五个：(0，1)，(，1)，(2，1)2归纳总结，核心必记(1)正弦曲线正弦函数ysin x，xR的图象叫正弦曲线(2)正弦函数图象的画法几何法：()利用正弦线画出 ysin x，x0，2的图象；()将图象向左、向右平行移动(每次2个单位长度)五点法：()画出正弦曲线在0，2上的图象的五个关键点(0，0)，(，0)，(2，0)，用光滑的曲线连接；()将所得图象向左、向右平行移动(每次2个单位长度)(3)余弦曲线余弦函数ycos x，xR的图象叫余弦曲线(4)余弦函数图象的画法要得到ycos x的图象，只需把ysin x的图象向左平移个单位长度即可，这是由于cos xsin用“五点法”：画余弦曲线ycos x在0，2上的图象时，所取的五个关键点分别为(0，1)，(，1)，(2，1)，再用光滑的曲线连接问题思考(1)正弦曲线和余弦曲线是向左右两边无限延伸的吗？提示：是(2)余弦曲线与正弦曲线完全一样吗？提示：余弦曲线与正弦曲线形状相同，但在同一坐标系下的位置不同课前反思(1)正弦曲线的定义：；(2)正弦曲线的画法：；(3)余弦曲线的定义：；(4)余弦曲线的画法：讲一讲1用“五点法”作出下列函数的简图：(1)ysin x1，x0，2；(2)y2cos x，x0，2尝试解答(1)列表：x02sin x01010sin x110121描点、连线，如图(2)列表：x02cos x101012cos x32123描点、连线，如图 用“五点法”画函数yAsin xb(A0)或yAcos xb(A0)在0，2上的简图的步骤：(1)列表：x02sin x或cos x0或11或00或11或00或1yy1y2y3y4y5(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y1)，(，y3)，(2，y5)(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来练一练1用“五点法”作出函数y2sin x，x0，2的图象解：列表如下：x02sin x010102sin x21232描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示讲一讲2利用正弦曲线，求满足sin x的x的集合尝试解答首先作出ysin x在0，2上的图象如图所示，作直线y，根据特殊角的正弦值，可知该直线与ysin x，x0，2的交点横坐标为和；作直线y，该直线与ysin x，x0，2的交点横坐标为和.观察图象可知，在0，2上，当x，或x时，不等式sin x成立所以sin x的解集为或.用三角函数图象解三角不等式的步骤(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在0，2上的图象；(2)写出适合不等式在区间0，2上的解集；(3)根据公式一写出定义域内的解集练一练2使不等式2sin x0成立的x的取值集合是()A.B.C.D.解析：选C不等式可化为sin x.法一：作图，正弦曲线及直线y如图(1)所示由图(1)知，不等式的解集为.故选C.法二：如图(2)所示不等式的解集为.故选C.讲一讲3判断方程sin xlg x的解的个数尝试解答建立坐标系xOy，先用五点法画出函数ysin x，x0，2的图象，再依次向左、右连续平移，得到ysin x的图象在同一坐标系内描出，(1，0)，(10，1)并用光滑曲线连接得到ylg x的图象，如图(1)确定方程解的个数问题，常借助函数图象用数形结合的方法求解(2)三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用练一练3已知函数f(x)sin x2|sin x|，x0，2，若直线yk与其仅有两个不同的交点，求k的取值范围解：由题意知f(x)sin x2|sin x|图象如图所示：若函数f(x)的图象与直线yk有且仅有两个不同的交点，则由图可知k的取值范围是(1，3)课堂归纳感悟提升1本节课的重点是“五点法”作正弦函数和余弦函数的图象，难点是图象的应用2本节课要重点掌握正、余弦函数图象的三个问题(1)正、余弦函数图象的画法，见讲1；(2)利用正、余弦函数的图象解不等式，见讲2；(3)正、余弦曲线与其他曲线的交点问题，见讲3.3本节课要牢记正、余弦函数图象中五点的确定ysin x，x0，2与ycos x，x0，2的图象上的关键五点分为两类：图象与x轴的交点；图象上的最高点和最低点其中，ysin x，x0，2与x轴有三个交点：(0，0)，(，0)，(2，0)，图象上有一个最高点，一个最低点；ycos x，x0，2与x轴有两个交点：，图象上有两个最高点：(0，1)，(2，1)，一个最低点(，1)课下能力提升(八)学业水平达标练题组1用“五点法”作简图1用“五点法”作ysin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是()A0，2 B0，C0，2，3，4 D0，解析：选B分别令2x0，2，可得x0，.2函数y1sin x，x0，2的大致图象是()答案：D3函数ysin|x|的图象是()解析：选Bysin|x|作出ysin|x|的简图知选B.4用“五点法”作出函数y12sin x，x0，2的图象解：列表：x02sin x0101012sin x13111在直角坐标系中描出五点(0，1)，(，1)，(2，1)，然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到y12sin x，x0，2的图象题组2利用正、余弦函数的图象解不等式5不等式cos x0，x0，2的解集为()A. B. C. D.解析：选A由ycos x的图象知，在0，2内使cos x0的x的范围是.6函数y的定义域是_解析：要使函数有意义，只需2cos x0，即cos x.由余弦函数图象知(如图)所求定义域为，kZ.答案： ，kZ7求函数y的定义域解：由得2kx2k，kZ，即函数y的定义域为(kZ)题组3正、余弦曲线与其他曲线的交点问题8y1sin x，x0，2的图象与直线y交点的个数是()A0 B1 C2 D3解析：选C画出y与y1sin x，x0，2的图象，由图象可得有2个交点9方程cos xlg x的实根的个数是()A1 B2 C3 D无数解析：选C如图所示，作出函数ycos x和ylg x的图象两曲线有3个交点，故方程有3个实根10判断方程sin x的根的个数解：因为当x3时，y1；当x4时，y1.所以直线y在y轴右侧与曲线ysin x有且只有3个交点(如图所示)，又由对称性可知，在y轴左侧也有3个交点，加上原点(0，0)，一共有7个交点所以方程sin x有7个根能力提升综合练1对余弦函数ycos x的图象，有以下描述：向左向右无限延伸；与ysin x的图象形状完全一样，只是位置不同；与x轴有无数多个交点；关于y轴对称其中正确的描述有()A1个 B2个 C3个 D4个解析：选D由余弦函数的图象知均正确2方程|x|cos x在(，)内 ()A没有根 B有且只有一个根C有且仅有两个根 D有无穷多个根解析：选C在同一坐标系内画出函数y|x|与ycos x的图象，易得两个图象在第一、二象限各有一个交点，故原方程有两个根，选C.3函数ycos x的图象是()解析：选Cy结合选项知C正确4在(0，2)上使cos xsin x成立的x的取值范围是()A. B.C. D.解析：选A以第一、三象限角平分线为分界线，终边在下方的角满足cos xsin x.x(0，2)，cos xsin x的x的范围不能用一个区间表示，必须是两个区间的并集5在(0，2)内使sin x|cos x|的x的取值范围是_解析：三角函数线法，由题意知sin x0，即x(0，)，由三角函数线知满足sin x|cos x|的角x在如图所示的阴影部分内，所以不等式的解集为.答案：6函数y2cos x，x0，2的图象和直线y2围成的一个封闭的平面图形的面积是_解析：如图所示，将余弦函数的图象在x轴下方的部分补到x轴的上方，可得一个矩形，其面积为224.答案：47用五点作图法作出函数ycos，x的图象解：按五个关键点列表：xx02cos10101描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如下图)：8方程sin x在x上有两个实数根，求a的取值范围解：首先作出ysin x，x的图象，然后再作出y的图象，如果ysin x，x与y的图象有两个交点，方程sin x，x就有两个实数根设y1sin x，x，y2.y1sin x，x的图象如图由图象可知，当1，即1a1时，ysin x，x的图象与y的图象有两个交点，即方程sin x在x上有两个实根第2课时正弦函数、余弦函数的性质核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P34P40的内容，回答下列问题(1)观察正弦函数和余弦函数的图象，你认为正弦函数值和余弦函数值有怎样的变化规律？提示：具有“周而复始”的变换规律(2)正弦曲线和余弦曲线各有怎样的对称性？提示：正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于y轴对称(3)诱导公式sin(x)sin x，cos(x)cos x，体现了正弦函数ysin x和余弦函数ycos x的什么性质？提示：正弦函数ysin_x为奇函数，余弦函数ycos_x为偶函数(4)正、余弦函数的定义域、值域各是什么？提示：正、余弦函数的定义域为R，值域为1，1(5)正弦函数在上函数值的变化有什么特点？余弦函数在0，2上函数值的变化有什么特点？提示：ysin x在上，曲线逐渐上升，是增函数，函数值y由1增大到1；在上，曲线逐渐下降，是减函数，函数值y由1减小到1.ycos x在0，上，曲线逐渐下降，是减函数，函数值由1减小到1，在，2上，曲线逐渐上升，是增函数，函数值由1增大到12归纳总结，核心必记(1)函数的周期性对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期记f(x)sin x，则由sin(2kx)sin x(kZ)，得f(x2k)f(x)对于每一个非零常数2k(kZ)都成立，余弦函数同理也是这样，所以正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k(kZ且k0)都是它们的周期，最小正周期为2(2)正、余弦函数的性质函数名称图象与性质ysin xycos x图象定义域RR值域1，11，1周期性最小正周期为2最小正周期为2续表函数名称图象与性质ysin xycos x奇偶性奇函数偶函数单调性在(kZ)上递增；在(kZ)上递减在2k，2k(kZ)上递增；在2k，2k(kZ)上递减对称轴xk(kZ)xk(kZ)对称中心(k，0)(kZ)(kZ)最值x2k，kZ时，ymax1；x2k，kZ时，ymin1x2k，kZ时，ymax1；x2k，kZ时，ymin1问题思考(1)若f(2xT)f(x)恒成立，T是f(x)的周期吗？提示：不是自变量x本身加非零常数T才可以，即f(xT)f(x)(2)周期函数的定义域一定是xR吗？提示：不一定，但周期函数的定义域一定是无限集(3)周期函数的周期是唯一的吗？提示：不唯一，若T是函数的周期，则kT(kZ)也是函数的周期(4)正弦函数和余弦函数的图象都既是中心对称图形又是轴对称图形，它们的对称中心和对称轴有什么关系？提示：正弦函数图象的对称中心、对称轴分别与余弦函数图象的对称轴，对称中心对应课前反思(1)周期及周期函数的定义：；(2)正弦函数和余弦函数的性质：讲一讲1求下列三角函数的周期：(1)y3sin x，xR；(2)ycos 2x，xR；(3)ysin，xR；(4)y|cos x|，xR.尝试解答(1)因为3sin(x2)3sin x，由周期函数的定义知，y3sin x的周期为2.(2)因为cos 2(x)cos(2x2)cos 2x，由周期函数的定义知，ycos 2x的周期为.(3)因为sinsinsin，由周期函数的定义知，ysin的周期为6.(4)y|cos x|的图象如图(实线部分)所示，由图象可知，y|cos x|的周期为.求三角函数最小正周期的常用方法(1)公式法，将函数化为yAsin(x)B或yAcos(x)B的形式，再利用T求得；(2)图象法，利用变换的方法或作出函数的图象，通过观察得到最小正周期练一练1求下列函数的最小正周期：(1)y3sin；(2)ycos|x|.解：(1)由T4，可得函数的最小正周期为4.(2)由于函数ycos x为偶函数，所以ycos|x|cos x，从而函数ycos|x|与ycos x的图象一样，因此最小正周期相同，为2.讲一讲2判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)sin 2x；(2)f(x)sin；(3)f(x)sin |x|；(4)f(x).尝试解答(1)显然xR，f(x)sin(2x)sin 2xf(x)，所以f(x)sin 2x是奇函数(2)显然xR，f(x)sincos ，所以f(x)coscosf(x)，所以函数f(x)sin是偶函数(3)显然xR，f(x)sin|x|sin |x|f(x)，所以函数f(x)sin |x|是偶函数(4)由得cos x1，所以x2k(kZ)，此时f(x)0，故该函数既是奇函数又是偶函数与三角函数奇偶性有关的结论(1)要使yAsin(x)(A0)为奇函数，则k(kZ)；(2)要使yAsin(x)(A0)为偶函数，则k(kZ)；(3)要使yAcos(x)(A0)为奇函数，则k(kZ)；(4)要使yAcos(x)(A0)为偶函数，则k(kZ)练一练2函数ysin(0)是R上的偶函数，则的值是()A0 B. C. D解析：选C由题意得sin()1，即sin 1.因为0，所以.故选C.讲一讲3求函数y2sin的单调区间尝试解答令zx，则y2sin z.zx是增函数，y2sin z单调递增(减)时，函数y2sin也单调递增(减)由z(kZ)，得x(kZ)，即x(kZ)，故函数y2sin的单调递增区间为(kZ)同理可求函数y2sin的单调递减区间为(kZ)求形如yAsin(x)或yAcos(x)的函数的单调区间时，若为负数，则要先把化为正数当A0时，把x整体放入ysin x或ycos x的单调增区间内，求得的x的范围即函数的增区间；整体放入ysin x或ycos x的单调减区间内，可求得函数的减区间当A0时，上述方法求出的区间是其单调性相反的区间练一练3求函数y3sin的单调递减区间解：y3sin3sin，y3sin是增函数时，y3sin是减函数函数ysin x在(kZ)上是增函数，2k2x2k，即kxk(kZ)函数y3sin的单调递减区间为(kZ)讲一讲4求下列函数的值域：(1)ycos，x；(2)ycos2x4cos x5.尝试解答(1)由ycos，x可得x，函数ycos x在区间上单调递减，所以函数的值域为.(2)令tcos x，则1t1.yt24t5(t2)21，t1时，y取得最大值10，t1时，y取得最小值2.所以ycos2x4cos x5的值域为2，10求三角函数值域的常用方法(1)求解形如yasin xb(或yacos xb)的函数的最值或值域问题时，利用正、余弦函数的有界性(1sin x，cos x1)求解，求三角函数取最值时相应自变量x的集合时，要注意考虑三角函数的周期性(2)求解形如yasin2xbsin xc(或yacos2xbcos xc)，xD的函数的值域或最值时，通过换元，令tsin x(或cos x)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可求解过程中要注意tsin x(或cos x)的有界性练一练4求函数f(x)2sin2x2sin x，x的值域解：令tsin x，yf(x)，x，sin x1，即t1.y2t22t21，1y，函数f(x)的值域为.课堂归纳感悟提升1本节课的重点是正弦函数和余弦函数的性质，难点是正、余弦函数的最值问题的求解2理解正、余弦函数的性质，要重点关注以下三点(1)正弦函数(余弦函数)不是定义域上的单调函数另外，说“正弦函数(余弦函数)在第一象限内是增(减)函数”也是错误的，因为在第一象限内，即使是终边相同的角，它们也可以相差2的整数倍(2)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值(3)正弦曲线(余弦曲线)的对称中心一定是正弦曲线(余弦曲线)与x轴的交点，即此时的正弦值(余弦值)为0.3要重点掌握函数性质的应用(1)求正、余弦函数的周期，见讲1；(2)判断正、余弦函数的奇偶性，见讲2；(3)求正、余弦函数的单调区间，见讲3；(4)求正、余弦函数的值域，见讲4.4本节课的易错点有以下两处(1)求函数yAsin(x)的单调区间时，如果0，应先利用诱导公式将其转化为正值，如练3.(2)求函数yAsin2xBsin xC的值域时，易忽视正弦函数ysin x的有界性，如练4.课下能力提升(九)学业水平达标练题组1正、余弦函数的周期性1下列函数中，周期为的是()Aysin Bysin 2xCycos Dycos 4x解析：选D由公式T可得，选D.2函数ycos(k0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是_解析：由T2，解得k4，又kZ，满足题意的最小值是13.答案：13题组2正、余弦函数的奇偶性3函数ysin 2x，xR是()A最小正周期为的奇函数B最小正周期为的偶函数C最小正周期为2的奇函数D最小正周期为2的偶函数解析：选A函数ysin 2x为奇函数，周期T.4函数f(x)的奇偶性为_解析：因为1sin x0，故其定义域不关于原点对称，所以f(x)为非奇非偶函数答案：非奇非偶函数题组3正、余弦函数的单调性5下列函数中，周期为，且在上为减函数的是()Aysin BycosCysin Dycos解析：选A因为函数的周期为，所以排除C、D.又因为ycossin 2x在上为增函数，故B不符只有函数ysin的周期为，且在上为减函数6sin，sin，sin，从大到小的顺序为_解析：，又函数ysin x在上单调递减，sinsinsin.答案：sinsinsin7求函数ysin，x0，的单调递增区间解：由ysin的单调性，得2kx2k，kZ，即2kx2k，kZ.又x0，故x.即单调递增区间为.题组4正、余弦函数的最值问题8函数y|sin x|sin x的值域为()A1，1 B2，2C2，0 D0，2解析：选Dy|sin x|sin x又1sin x1，y0，2，即函数的值域为0，29已知函数yabcos(b0)的最大值为，最小值为.(1)求a，b的值；(2)求函数g(x)4asin的最小值并求出对应x的集合解：(1)cos1，1，b0，b0.a，b1.(2)由(1)知g(x)2sin，sin1，1，g(x)2，2g(x)的最小值为2，此时，sin1.对应x的集合为.能力提升综合练1函数ysin的一个对称中心是()A. B. C. D.解析：选B对称中心为曲线与x轴的交点，将四个点代入验证，只有符合要求2下列关系式中正确的是()Asin 11cos 10sin 168Bsin 168sin 11cos 10Csin 11sin 168cos 10Dsin 168cos 10sin 11解析：选Csin 168sin(18012)sin 12，cos 10cos(9080)sin 80.因为正弦函数ysin x在区间上为增函数，所以sin 11sin 12sin 80，即sin 11sin 168cos 10.3函数ysin x的定义域为a，b，值域为，则ba的最大值和最小值之和等于()A. B. C2 D4解析：选C如图，当xa1，b时，值域为，且ba最大当xa2，b时，值域为，且ba最小最大值与最小值之和为(ba1)(ba2)2b(a1a2)22.4若函数yf(x)同时满足下列三个性质：最小正周期为；图象关于直线x对称；在区间上是增函数，则yf(x)的解析式可以是()Aysin BysinCycos Dycos解析：选A逐一验证，由函数f(x)的周期为，故排除B；又因为coscos0，所以ycos的图象不关于直线x对称，故排除C；若x，则02x，故函数ycos在上为减函数，故排除D；令2x，得x，所以函数ysin在上是增函数5若函数f(x)sin x(0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则_解析：由题意知f(x)的周期T，则.答案：6若yasin xb的最大值为3，最小值为1，则ab_解析：当a0时，得当a0时，得答案：27已知是正数，函数f(x)2sin x在区间上是增函数，求的取值范围解：由2kx2k(kZ)得x(kZ)f(x)的单调递增区间是(kZ)据题意：(kZ)从而有解得0.故的取值范围是.8已知f(x)2asin2ab，x，是否存在常数a，bQ，使得f(x)的值域为y|3y1？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由解：x，2x，1sin.假设存在这样的有理数a，b，则当a0时，解得(不合题意，舍去)；当a0时，解得故a，b存在，且a1，b1.第3课时正切函数的性质与图象核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P42P45的内容，回答下列问题(1)正切函数ytan x的定义域是什么？提示：(2)诱导公式tan(x)tan x说明了正切函数的什么性质？tan(kx)(kZ)与tan x的关系怎样？提示：周期性tan(kx)tan_x(kZ)(3)诱导公式tan(x)tan x说明了正切函数的什么性质？提示：奇偶性(4)从正切线上观察，正切函数值是有界的吗？提示：不是，正切函数没有最大值和最小值(5)从正切线上观察正切函数值，在上是增大的吗？提示：是的2归纳总结，核心必记(1)正切函数的性质函数ytan x定义域值域(，)周期最小正周期为奇偶性奇函数单调性在每个开区间(kZ)上都是增函数(2)正切函数的图象正切函数的图象：正切函数的图象叫做正切曲线正切函数的图象特征：正切曲线是由被相互平行的直线xk，kZ所隔开的无穷多支曲线组成的问题思考(1)正切函数在整个定义域上都是增函数吗？提示：不是正切函数在每一个开区间(kZ)上是增函数但在整个定义域上不是增函数(2)可以怎样快速作出正切函数的图象？提示：正切函数的图象的简图可以用“三点两线法”作出，三点指的是(k，0)，kZ，两线为直线xk和直线xk，其中kZ课前反思(1)正切函数的图象：；(2)正切函数的性质：讲一讲1求下列函数的定义域和值域：(1)ytan；(2)y.尝试解答(1)由xk(kZ)得，xk，kZ，所以函数ytan的定义域为，其值域为(，)(2)由tan x0得，tan x.结合ytan x的图象可知，在上，满足tan x的角x应满足x，所以函数y的定义域为，其值域为0，)求正切函数定义域的方法及求值域的注意点求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数ytan x有意义，即xk，kZ.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解解形如tan xa的不等式的步骤：练一练1函数f(x)的定义域是_解析：若使函数f(x)有意义，需使tan x10，即tan x1.结合正切曲线，可得kxk(kZ)所以函数f(x)的定义域是(kZ)答案：(kZ)讲一讲2(1)求函数ytan的单调区间；(2)比较tan与tan的大小尝试解答(1)由kxk(kZ)得，2kx2k，kZ，所以函数ytan的单调递增区间是(kZ)(2)由于tantantan tan ，tantantan，又0，而ytan x在上单调递增，所以tantan，tantan，即tantan. (1)求函数yAtan(x)(A，都是常数)的单调区间的方法若0，由于ytan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kxk，求得x的范围即可若0，可利用诱导公式先把yAtan(x)转化为yAtan(x)Atan(x)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可(2)运用正切函数单调性比较大小的方法运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内运用单调性比较大小关系练一练2(1)比较tan 1，tan 2, tan 3的大小；(2)求函数y3tan的单调区间解：(1)因为tan 2tan(2)，tan 3tan(3)又因为2，所以20.因为3，所以30.显然231，又ytan x在内是增函数，所以tan(2)tan(3)tan 1，即tan 2tan 3tan 1.(2)y3tan3tan，由k2xk得，x(kZ)，所以y3tan的单调递减区间为(kZ)讲一讲3(1)求f(x)tan的周期；(2)判断ysin xtan x的奇偶性尝试解答(1)tantan，即tantan，f(x)tan的周期是.(2)定义域为，关于原点对称，f(x)sin(x)tan(x)sin xtan xf(x)，它是奇函数正切型函数yAtan(x)的周期性、奇偶性(1)一般地，函数yAtan(x)的最小正周期为T，常常利用此公式来求周期(2)若函数yAtan(x)为奇函数，则k或k(kZ)，否则为非奇非偶函数练一练3关于x的函数f(x)tan(x)有以下几种说法：对任意的，f(x)都是非奇非偶函数；f(x)的图象关于对称；f(x)的图象关于(，0)对称；f(x)是以为最小正周期的周期函数其中不正确的说法的序号是_解析：若取k(kZ)，则f(x)tan x，此时，f(x)为奇函数，所以错；观察正切函数ytan x的图象，可知ytan x关于(kZ)对称，令x得x，分别令k1，2知、正确，显然正确答案：课堂归纳感悟提升1本节课的重点是正切函数的定义域、单调性以及奇偶性和周期性，难点是正切函数单调性的应用2本节课要学会“三点两线法”画正切函数的图象类似于正弦、余弦函数的“五点法”作图，正切曲线的简图可用“三点两线法”作出，这里的三个点分别为(k，0)，其中kZ.两线为直线xk(kZ)，直线xk(kZ)3要掌握与正切函数性质有关的三个问题(1)与正切函数有关的定义域、值域问题，见讲1；(2)正切函数的单调性及应用，见讲2；(3)与正切函数有关的奇偶性、周期性问题，见讲3.4本节课的易错点有两处(1)易忽视正切函数ytan x的定义域为，如讲1的第(1)题(2)易忽视正切曲线只有对称中心而没有对称轴课下能力提升(十)学业水平达标练题组1正切函数的定义域、值域问题1函数y的定义域是()A.B.C.D.解析：选C要使函数有意义，只需logtan x0，即0tan x1.由正切函数的图象知，kxk，kZ.2函数ytan(cos x)的值域是()A. B.Ctan 1，tan 1 D以上均不对解析：选C1cos x1，且函数ytan x在1，1上为增函数，tan(1)tan xtan 1.即tan 1tan xtan 1.3已知x，f(x)tan2x2tan x2，求f(x)的最值及相应的x值解：x，tan x1，f(x)tan2x2tan x2(tan x1)21，当tan x1即x时，f(x)有最小值1，当tan x1即x时，f(x)有最大值5.题组2正切函数的单调性及应用4函数ytan x的单调性为()A在整个定义域上为增函数B在整个定义域上为减函数C在每一个开区间(kZ)上为增函数D在每一个开区间(kZ)上为增函数解析：选C由正切函数的图象可知选项C正确5下列各式中正确的是()Atan 735tan 800 Btan 1tan 2Ctantan Dtantan解析：选D因为tantan，且0，正切函数在上是增函数，所以tantan，故答案D正确，同理根据正切函数的单调性可判断其他答案6已知函数ytan x在内是单调减函数，则的取值范围是_解析：函数ytan x在内是单调减函数，则有0，且周期T，即，故|1，10.答案：1，0)7求函数y3tan的周期和单调区间解：y3tan3tan，T4.由kk(kZ)，得4kx4k(kZ)3tan在(kZ)上单调递增，函数y3tan在(kZ)上单调递减题组3与正切函数有关的奇偶性、周期性问题8下列函数中，同时满足：在上是增函数