高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二绝对值不等式2绝对值不等式的解法学案含解析.docx

2绝对值不等式的解法1|axb|c，|axb|c(c0)型不等式的解法只需将axb看成一个整体，即化成|x|a，|x|a(a0)型不等式求解|axb|c(c0)型不等式的解法：先化为caxbc，再由不等式的性质求出原不等式的解集不等式|axb|c(c0)的解法：先化为axbc或axbc，再进一步利用不等式性质求出原不等式的解集2|xa|xb|c和|xa|xb|c型不等式的解法利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想确定各个绝对值符号内多项式的正、负性，进而去掉绝对值符号是解题关键通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考查函数的增减性)是解题关键|axb|c与|axb|c(c0)型的不等式的解法解下列不等式：(1)|5x2|8；(2)2|x2|4.利用|x|a及|x|0)型不等式的解法求解(1)|5x2|85x28或5x28x2或x，原不等式的解集为.(2)原不等式价于由得x22，或x22，x0或x4.由得4x24，2x6.原不等式的解集为x|2x0或4x6|axb|c和|axb|c型不等式的解法：当c0时，|axb|caxbc或axbc，|axb|ccaxbc.当c0时，|axb|c的解集为R，|axb|c的解集为.当c0时，|axb|c的解集为R，|axb|c的解集为.1解下列不等式：(1)|32x|x23x4；(3)|x23x4|x1.解：(1)|32x|9，|2x3|9.92x39.即62x12.3x6.原不等式的解集为x|3x0，|xx22|x2x2|x2x2.故原不等式等价于x2x2x23x4x3.原不等式的解集为x|x3(3)不等式可转化为x23x4x1或x23x40或x22x35或x1或1x3，不等式的解集是(5，)(，1)(1,3)2已知常数a满足1a1，解关于x的不等式：ax|x1|1.解：若x1，则axx11，即(a1)x0.因为1a1，所以x0.又x1，所以1x0.若x1，则axx11，即(a1)x2.因为1a1，所以x.因为1a1，所以(1)0.所以x1.综上所述，x0.故不等式的解集为.|xa|xb|c和|xa|xb|c型不等式的解法解不等式|x3|x1|1.解该不等式，可采用三种方法：(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用各绝对值的零点分段讨论；(3)构造函数，利用函数图象分析求解法一：在数轴上1,3，x对应的点分别为A，C，P，而B点对应的实数为，B点到C点的距离与到A点的距离之差为1.由绝对值的几何意义知，当点P在射线Bx上(不含B点)时不等式成立，故不等式的解集为.法二：原不等式或或的解集为，的解集为，的解集为x|x3综上所述，原不等式的解集为.法三：将原不等式转化为|x3|x1|1时，有y0，即|x3|x1|10)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图象法和几何法分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况3解不等式|2x1|3x2|8.解：当x时，|2x1|3x2|812x(3x2)85x9x，x；当xm.(1)若不等式有解；(2)若不等式解集为R；(3)若不等式解集为，分别求出m的取值范围解答本题可以先根据绝对值|xa|的意义或绝对值不等式的性质求出|x2|x3|的最大值和最小值，再分别写出三种情况下m的取值范围法一：因|x2|x3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(2)，B(3)距离的差即|x2|x3|PA|PB|.又(|PA|PB|)max1，(|PA|PB|)min1.即1|x2|x3|1.(1)若不等式有解，m只要比|x2|x3|的最大值小即可，即mm时，分别求出m的取值范围解：|x2|x3|(x2)(x3)|1，即|x2|x3|1.(1)若不等式有解，m为任何实数均可，即mR；(2)若不等式解集为R，即m(，1)；(3)若不等式解集为，这样的m不存在，即m.课时跟踪检测(五)1不等式|x1|3的解集是()Ax|x2 Bx|4x2Cx|x4或x2 Dx|4x3，则x13或x13，因此x2.2满足不等式|x1|x2|5的所有实数解的集合是()A(3,2) B(1,3) C(4,1) D.解析：选C|x1|x2|表示数轴上一点到2，1两点的距离和，根据2，1之间的距离为1，可得到2，1距离和为5的点是4,1.因此|x1|x2|5解集是(4,1)3不等式1|2x1|2的解集为()A. B.C. D.解析：选D由1|2x1|2，得12x12或22x11，因此x0或1x.4若关于x的不等式|x1|xm|3的解集为R，则实数m的取值范围是()A(，4)(2，) B(，4)(1，)C(4,2) D解析：选A由题意知，不等式|x1|xm|3恒成立，即函数f(x)|x1|xm|的最小值大于3，根据绝对值不等式的性质可得|x1|xm|(x1)(xm)|m1|，故只要满足|m1|3即可，所以m13或m13，解得m2或m4，故实数m的取值范围是(，4)(2，)5不等式|x2|x|的解集是_解析：不等式两边是非负实数，不等式两边可以平方，两边平方，得(x2)2x2，x24x4x2，即x1，原不等式的解集为x|x1答案：x|x16不等式|2x1|x1的解集是_解析：原不等式等价于|2x1|x1x12x1x10x2.答案：x|0x27已知函数f(x)|x1|x2|a22a|，若函数f(x)的图象恒在x轴上方，则实数a的取值范围为_解析：因为|x1|x2|x1(x2)|3，所以f(x)的最小值为3|a22a|.由题意，得|a22a|3，解得1a3.答案：(1,3)8解不等式：|x22x3|3x1|.解：原不等式(x22x3)2(3x1)20(x2x2)(x25x4)0x25x40(因为x2x2恒大于0)1x4.所以原不等式的解集是x|1x49解关于x的不等式|2x1|2m1(mR)解：若2m10，即m，则|2x1|0，即m，则(2m1)2x12m1，所以1mx时，原不等式的解集为x|1mx0，ab5，则的最大值为_解析：令t，则t2a1b32929a1b313ab13518，当且仅当a1b3时取等号，此时a，b.tmax3.答案：33(重庆高考)若函数f(x)|x1|2|xa|的最小值为5，则实数a_.解析：由于f(x)|x1|2|xa|，当a1时，f(x)作出f(x)的大致图象如图所示，由函数f(x)的图象可知f(a)5，即a15，a4.同理，当a1时，a15，a6.答案：6或44.(全国乙卷)已知函数f(x)|x1|2x3|.(1)画出yf(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|1的解集解：(1)由题意得f(x)故yf(x)的图象如图所示(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，当f(x)1时，可得x1或x3；当f(x)1时，可得x或x5.故f(x)1的解集为x|1x3，f(x)1的解集为.5(江苏高考)设a0，|x1|，|y2|，求证：|2xy4|a.证明：因为|x1|，|y2|，所以|2xy4|2(x1)(y2)|2|x1|y2|2a.6(全国丙卷)已知函数f(x)|2xa|a.(1)当a2时，求不等式f(x)6的解集；(2)设函数g(x)|2x1|.当xR时，f(x)g(x)3，求a的取值范围解：(1)当a2时，f(x)|2x2|2.解不等式|2x2|26得1x3.因此f(x)6的解集为x|1x3(2)当xR时，f(x)g(x)|2xa|a|12x|3，即.又min，所以，解得a2.所以a的取值范围是“acbd”是“ab且cd”的()A必要不充分条件 B充分不必要条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件易得ab且cd时必有acbd.若acbd时，则可能有ab且cd.A基本不等式的应用利用基本不等式求最值问题一般有两种类型：和为定值时， 积有最大值；积为定值时，和有最小值，在具体应用基本不等式解题时， 一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”已知x，y，zR，x2y3z0，则的最小值为_由x2y3z0，得y，则3，当且仅当x3z时，等号成立3设a，b，c为正实数，求证：abc2.因为a，b，c为正实数，由平均不等式可得3.即，当且仅当abc时，等号成立所以abcabc，而abc22.所以abc2，当且仅当abc时，等号成立.含绝对值的不等式的解法1.公式法|f(x)|g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)；|f(x)|g(x)g(x)f(x)|g(x)|22.3零点分段法含有两个以上绝对值符号的不等式，可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间上的符号，转化为不含绝对值的不等式去解解下列关于x的不等式：(1)|x1|x3|；(2)|x2|2x5|2x.(1)法一：|x1|x3|，两边平方得(x1)2(x3)2，8x8.x1. 原不等式的解集为x|x1法二：分段讨论：当x1时，有x1x3，此时x；当1x3，即x1，此时13时，有x1x3成立，x3.原不等式的解集为x|x1(2)分段讨论：当x2x，解得x2x，解得x2时，原不等式