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2.4 向量的数量积课堂导学三点剖析1.平面向量数量积的概念及其运算律【例1】 已知|a|=4,|b|=3,若:(1)ab;(2)ab;(3)a与b的夹角为60,分别求ab.思路分析:本题运用数量积的定义求数量积.已知|a|与|b|,a与b的夹角,由定义可求ab.解:(1)当ab时,若a与b同向,则它们的夹角=0,ab=|a|b|cos0=431=12;若a与b反向,则a与b的夹角=180,ab=|a|b|cos180=43(-1)=-12.(2)当ab时,a与b的夹角为90,ab=|a|b|cos90=0,(3)当a与b的夹角=60时,ab=|a|b|cos60=43=6.温馨提示 利用定义计算a与b的数量积,关键是确定两向量的夹角.当ab时,a与b的夹角可能是0,也可能为180,解题时容易遗漏180的情形.2平面向量数量积的应用【例2】已知|a|=,|b|=3,a与b的夹角为45,求使向量a+b与a+b的夹角为锐角时,的取值范围.解:设a+b与a+b的夹角为.则cos=0,即(a+b)(a+b)0,展开得,a2+(2+1)ab+b20.|a|=2,|b|=3,ab=|a|b|cos45=3,2+3(2+1)+90,即32+11+30.或.另外=0时,=1.故1.(-,)(,1)(1,+).温馨提示 求夹角时,注意与三角函数、不等式等知识相结合,但要注意角的范围.3.平面向量数量积的运算律同实数的运算律的比较【例3】 已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角为120,求:(1)ab;(2)(a+b)2;(3)a2-b2;(4)(2a-b)(a+3b).思路分析:由于向量的数量积满足乘法对加法的分配律,因此向量的数量积运算可类似于多项式的乘法运算,如(a+b)2=(a+b)(a+b)=(a+b)a+(a+b)b=aa+ba+ab+bb=a2+2ab+b2.解:(1)ab=|a|b|cos120=54(-)=-10;(2)(a+b)2=a2+2ab+b2=|a|2+2ab+|b|2=25-210+16=21;(3)a2-b2=|a|2-|b|2=25-16=9;(4)(2a-b)(a+3b)=2a2+5ab-3b2=2|a|2+5ab-3|b|2=225+5(-10)-316=-48.温馨提示(1)在进行向量数量积运算时,应严格按运算律进行;(2)由于向量数量积满足乘法对加法的分配律,故向量数量积中也有类似多项式乘法的公式:(ab)2=a22ab+b2,(a+b)(a-b)=a2-b2,(a+b+c)=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.因此,有的同学会相当然的用(ab)c=a(bc),这是错误的.各个击破类题演练1已知|a|=2,|b|=5,且=45,求ab.解:由数量积的定义,a、b=|a|b|cos=25cos45=.变式提升1已知ABC中,a=5,b=8,C=60,求.解:因为|=a=5,|=b=8,=180-C=180-60=120,所以=|cos=58cos120=-20.类题演练2已知a=(m+1,3),b=(1,m-1),且a与b的夹角为钝角.若(2a+b)与(a-3b)垂直,求a与b夹角的余弦.解析:(2a+b)(a-3b),2a2-5ab-3b2=0.即2(m+1)2+9-5m+1+3(m-1)-31+(m-1)2=0,整理得m2+10m-24=0,m=2或m=-12.a与b的夹角为钝角,m=2舍去.设a与b夹角为,则cos=.变式提升2(2006全国高考,文1)已知向量a、b满足|a|=1,|b|=4,且ab=2,则a与b的夹角为( )A. B. C. D.解析:cos=.a与b的夹角为,故选C.答案:C类题演练3已知|a|=|b|=5,=,求|a+b|,|a-b|.解:因为a2=|a|2=25,b2=|b|2=25,ab=|a|b|cos=55cos=.所以|a+b|=(a+b)2=同样可求|a-b|=变式提升3(1)若向量a与b夹角为30,且|a|=,|b|=1,则向量p=a+b与q=a-b的夹角的余弦为_.思路分析:本题可利用cos=,由两向量的数量积和模求夹角余弦值.解:pq=(a+b)(a-b)=a2-b2=3-1=2,又|p|=|a+b|=,|q|=|a-b|=cos=.答案:(2)若非零向量、满足|+|=|-|,求与所成的角.思
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