高中数学第二章随机变量及其分布2.4正态分布学案新人教A版选修2_32.docx

24正态分布学习目标1利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义2了解变量落在区间(，(2，2，(3，3的概率大小3会用正态分布去解决实际问题知识链接1在频率分布直方图中，纵坐标的含义是，用小矩形的面积表示数据落在该组中的频率，在折线图中，随着分组越来越多，其越来越接近于一条光滑的曲线2正态曲线，(x)e，xR中的参数，有何意义？答可取任意实数，表示平均水平的特征数，E(X)；0表示标准差，D(X)2.一个正态曲线方程由，唯一确定，和e为常数，x为自变量，xR.3若随机变量XN(，2)，则X是离散型随机变量吗？答若XN(，2)，则X不是离散型随机变量，由正态分布的定义：P(aXb)，(x)dx可知，X可取(a，b内的任何值，故X不是离散型随机变量，它是连续型随机变量预习导引1正态曲线函数，(x)e，x(，)，其中实数和(0)为参数，(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线2正态分布如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aXb)，(x)dx，则称随机变量X服从正态分布正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作N(，2)，如果随机变量X服从正态分布，则记为XN(，2)3正态曲线的性质正态曲线，(x)e，xR有以下性质：(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线x对称；(3)曲线在x处达到峰值；(4)曲线与x轴之间的面积为1；(5)当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移，如图；(6)当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图.4正态总体在三个特殊区间内取值的概率值P(X)0.682_6；P(2X2)0.954_4；P(31230B01212130D01213答案D2把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线b.下列说法中不正确的是()A曲线b仍然是正态曲线B曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等C以曲线b为概率密度曲线的总体的均值比以曲线a为概率密度曲线的总体的均值大2D以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为概率密度曲线的总体的方差大2答案D3正态分布N(0，1)在区间(2，1)和(1，2)上取值的概率为P1，P2，则二者大小关系为()AP1P2 BP1P2CP1P2 D不确定答案A解析根据正态曲线的特点，图象关于x0对称，可得在区间(2，1)和(1，2)上取值的概率P1，P2相等4一批灯泡的使用时间X(单位：小时)服从正态分布N(10 000，4002)，求这批灯泡中“使用时间超过10 800小时”的概率解依题意104，400.P(104800X104800)P(2104800)故2P(X10 800)P(10480010 800)0.022 8，故使用时间超过10 800小时的概率为0.022 8.1理解正态分布的概念和正态曲线的性质2正态总体在某个区间内取值的概率求法：(1)熟记P(X)，P(2X2)，P(3X3)的值(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1.正态曲线关于直线x对称，从而在关于x对称的区间上概率相等P(Xa)1P(Xa)，P(Xa)P(Xa)，若b，则P(Xb).一、基础达标1设某长度变量XN(4，16)，则下列结论正确的是()AE(X)D(X) BD(X)CE(X) DE(X)D(X)答案C2已知随机变量服从正态分布N(2，2)，P(4)0.84，则P(4)0.16.P(4)0.16.3 设随机变量X服从正态分布，且相应的概率密度函数为(x)e，则()A2，3 B3，2C2， D3，答案C解析由(x)e，得2，.故选C.4若随机变量X服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是(10，)，则该随机变量的方差等于()A10 B100 C. D.答案C解析由正态分布密度曲线上的最高点为(10，)知，D(X)2.5如果N(，2)，且P(3)P(1)成立，则_.答案2解析N(，2)，故正态密度函数关于直线x对称，又P(3)，从而2，即的值为2.6对于标准正态分布N(0，1)的概率密度函数f(x)e，下列说法正确的有_f(x)为偶函数；f(x)的最大值是；f(x)在x0时是单调递减函数，在x0时是单调递增函数；f(x)关于x1对称答案7已知某种零件的尺寸X(单位：mm)服从正态分布，其正态分布曲线在(0，80)上是增函数，在(80，)上是减函数，且f(80).(1)求正态分布的概率密度函数的解析式；(2)估计尺寸在7288 mm(不包括72 mm，包括88 mm)间的零件大约占总数的百分比解(1)正态分布曲线在(0，80)上是增函数，在(80，)上是减函数正态分布曲线关于直线x80对称，且在x80处达到峰值，80.又，8，故正态分布的概率密度函数的解析式为，(x)e.(2)由80，8，得80872，80888.零件的尺寸X位于区间(72，88内的概率为0.682 6.故尺寸在7288 mm(不包括72 mm，包括88 mm)间的零件大约占总数的68.26%.二、能力提升8已知一次考试共有60名学生参加，考生的成绩XN(110，52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内？()A(90，110 B(95，125C(100，120 D(105，115答案C解析XN(110，52)，110，5.因此考试成绩在区间(105，115，(100，120，(95，125上的概率分别应是0.682 6，0.954 4，0.997 4.由于一共有60人参加考试，故成绩位于上述三个区间的人数分别是600.682 641(人)，600.954 457(人)，600.997 460(人)9若随机变量服从正态分布N(0，1)，已知P(1.96)0.025，则P(|1.96)等于()A0.025 B0.050 C0.950 D0.975答案C解析由随机变量服从正态分布N(0，1)，得P(1.96)1P(1.96)所以P(|1.96)P(1.961.96)P(1.96)P(1.96)12P(1.96)120.0250.950.10为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(，22)，且正态分布密度曲线如图所示，若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数约为_答案683解析依题意可知，60.5，2，故P(58.5X62.5)P(X)0.682 6，从而属于正常情况的人数为1 0000.682 6683.11一台机床生产一种尺寸为10 mm的零件，现在从中抽测10个，它们的尺寸分别如下(单位：mm)：10.2，10.1，10，9.8，9.9，10.3，9.7，10，9.9，10.1.如果机床生产零件的尺寸服从正态分布，求的正态分布密度函数解依题意得(10.210.1109.89.910.39.7109.910.1)10.2(10.210)2(10.110)2(1010)2(9.810)2(9.910)2(10.310)2(9.710)2(1010)2(9.910)2(10.110)20.03.即10，20.03.所以的正态分布密度函数为f(x)e.12某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N(70，102)，如果规定低于60分为不及格，求：(1)成绩不及格的人数占总人数的比例；(2)成绩在8090内的学生占总人数的比例解(1)设学生的得分为随机变量X，XN(70，102)，则70，10.分数在6080之间的学生的比例为P(7010X7010)0.682 6，所以不及格的学生的比例为(10.682 6)0.158 7，即成绩不及格的学生占总人数的15.87%.(2)成绩在8090内的学生的比例为P(70210X70210)P(7010X7010)(0.954 40.682 6)0.135 9.即成绩在8090内的学生占总人数的比例为13.59%.三、探究与创新13(2013湖北理)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800，502)的随机变量记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.(1)求p0的值；(2)某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的运营成本分别为1600元/辆和2400元/辆公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的运营成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？解(1)由于随机变量X服从正态分布N(800，502)，故有800，50，P(700X900)0.954 4.由正态分布的对称性，可得p0P(X900)P(X800)P(800X900)P(700X900)0.977 2.(2)设A型、B型车辆的数量分别为x，y辆，则相应的营运成本为1 600x2 400y.依题意，x，y还需满足：xy21，yx7，P(X36x60y)p0.由(1)知，