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高考二轮数学(文科) 专题七 概率与统计、推理与证 明、算法初步、框图、复数 第三讲 推理与证明 高考二轮数学(文科) 考点整合 高考二轮数学(文科) 合情推理问题 考纲点击 了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的 推理,了解合情推理在数学发展中的作用。 高考二轮数学(文科) 基础梳理 一、合情推理 1归纳推理 (1)归纳推理是由某类事物的_具有某些特征,推 出该类事物的_具有这些特征的推理,或者由个别事 实概括出_的推理 (2)归纳推理的思维过程如下: 2类比推理 (1)类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类 对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推 理 (2)类比推理的思维过程如下: 高考二轮数学(文科) 答案:1.(1)部分对象 全部对象 一般结论 高考二轮数学(文科) 整合训练 1(1)对于平面几何中的命题:“夹在两条平行直线之 间的平行线段相等”,在立体几何中,类比上述命题,可以 得到命题:“_”,这个类比 命题的真假性是_ (2)(2010年福建卷)对于平面上的点集,如果连接中 任意两点的线段必定包含于,则称为平面上的凸集,给 出平面上4个点集的图形如下(阴影区域及其边界): 其中为凸集的是_(写出所有凸集相应图形的序号 ) 高考二轮数学(文科) 答案: (1)夹在两个平行平面之间的平行线段相等 真命题 (2) 高考二轮数学(文科) 考纲点击 演绎推理问题 1了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本形式, 并能运用它们进行一些简单推理 2了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异 高考二轮数学(文科) 基础梳理 二、演绎推理 1“三段论”是演绎推理的一般模式,包括: (1)大前提已知的一般性原理 (2)小前提所研究的特殊情况 (3)结论根据一般原理,对特殊情况做出的判断 2合情推理与演绎推理的区别 归纳和类比是常用的合情推理,从推理形式上看,归纳 是由部分到整体、个别到一般的推理;类比是由特殊到特殊 的推理;而演绎推理是由一般到特殊的推理从推理所得的 结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待进一步证明; 演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下,得 到的结论一定正确 高考二轮数学(文科) 整合训练 2有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面,则平 行于平面内所有直线;已知直线b平面,直线a平面, 直线b平面,则直线b直线a,的结论显然是错误的,这 是因为( ) A大前提错误 B小前提错误 C推理形式错误 D非以上错误 答案:A 高考二轮数学(文科) 考纲点击 直接证明问题 了解直接证明和两种方法分析法和综合法;了解分 析法和综合法的思考过程、特点 高考二轮数学(文科) 基础梳理 三、直接证明 1综合法 用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示 所要证明的结论,则综合法可用框图表示为: 2分析法 用Q表示要证明的结论,则分析法可用框图表示为: P Q1Q1 Q2 Q P1 Q2 Q3 Qn Q P1 P2P2 P3 得到一个明显 成立的条件 高考二轮数学(文科) 整合训练 3(2010年湖北卷)记实数x1,x2,xn中的最大数为 maxx1,x2,xn最小数为minx1,x2,xn已知 ABC的三边边长为a、b、c(abc),定义它的倾斜度为l 则“l1”是“ABC为等边三 解形”的( ) A充分而不必要的条件 B必要而不充分的条件 C充要条件 D既不充分也不必要的条件 答案:B 高考二轮数学(文科) 考纲点击 间接证明问题 1了解间接证明的一种基本方法反证法 2了解反证法的思考过程、特点 高考二轮数学(文科) 基础梳理 四、间接证明 反证法的证明过程可以概括为“否定推理否定” ,即从否定结论开始,经过正确的推理,导致逻辑矛盾,从而 达到新的否定(即肯定原命题)的过程用反证法证明命题“若 p则q”的过程可以用如下图所示的框图表示 表示条件p 否定结论q 导致 逻辑 矛盾 “既p又 q” 为假 “若p则q” 为真 高考二轮数学(文科) 整合训练 4. 用反证法证“至多有两个解”,应假设( ) A有一个解 B有两个解 C至少有三个解 D至少有两个解 答案:C 高考二轮数学(文科) 高分突破 高考二轮数学(文科) 合情推理 观察下列等式: 高考二轮数学(文科) 可以推测,当k2(kN*)时, 思路点拨:当k2、3、4、5、6时,写出ak1,ak2的 值,通过观察归纳可得 高考二轮数学(文科) 高考二轮数学(文科) 跟踪训练 1我们知道,在边长为a的正三角形内任一点到三边的 距离之和为定值 类比上述结论,在边长为a的正四面体内 任一点到其四个面的距离之和为定值( ) 答案:A 高考二轮数学(文科) 演绎推理 已知数列an中,a11,a22,且an1(1q)an qan1(n2,q0) (1)设bnan1an(nN*),证明bn是等比数列; (2)求数列an的通项公式; (3)若a3是a6与a9的等差中项,求q的值,并证明:对任 意的nN*,an是an3与an6的等差中项 思路点拨:解答本题第(1)问可根据bnan1 an(nN*)将已知等式变形构造出bn与bn1的关系式第(2) 问可用叠加法求an,第(3)问先由a3是a6与a9的等差中项求出 q,并利用an的通项公式和q的值,推证anan3an6 an(nN*) 高考二轮数学(文科) 解析:(1)证明:由题设an1(1q)an qan-1(n2), 得an1anq(anan1), 即bnqbn1(n2) 又b1a2a11,q0,所以bn是首项为1,公比为q的 等比数列 (2)由(1), a2a11, a3a2q, anan1qn2(n2) 将以上各式相加,得ana11qqn2(n2), 高考二轮数学(文科) 所以当n2时, 上式对n1显然成立 (3)由(2),当q1时,显然a3不是a6与a9的等差中项, 故q1, 由a3a6a9a3可得q5q2q2q8, 由q0得,q311q6 整理得(q3)2q320, 解得q32或q31(舍去),于是q , 另一方面, 高考二轮数学(文科) 由可得anan3an6an,nN*, 所以对任意的nN*, an是an3与an6的等差中项 高考二轮数学(文科) 跟踪训练 2在数列an中a12,an14an3n1,nN*. (1)证明数列ann是等比数列; (2)求数列an的前n项和Sn; (3)证明不等式Sn14Sn,对任意nN*皆成立 解析:(1)由题设an14an3n1,得 an1(n1)4(ann),nN*. 又a111,所以数列ann是首项为1,且公比为4的 等比数列 (2)由(1)可知ann4n1,于是数列an的通项公式为 an4n1n. 所以数列an的前n项和 高考二轮数学(文科) (3)对任意的nN*, 所以不等式Sn14Sn,对任意nN*皆成立 高考二轮数学(文科) 直接证明与间接证明 已知数列an和bn满足:a1,an1 ann4, bn(1)n(an3n21),其中为实数,n为正整数 (1)对任意实数,证明数列an不是等比数列; (2)试判断数列bn是否为等比数列,并证明你的结论 思路点拨:(1)第1问用反证法;(2)第2问用综合法 解析:(1)证明:假设存在一个实数,使an是等比数 列,则有 a1a3,即 90,矛盾,所以an不是等比数列 (2)因为bn1(1)n1an13(n1)21 高考二轮数学(文科) 又b1(18),所以 当18时,bn0(nN*),此时bn不是等比数列; 当18时,b1(18)0,由bn1 bn, 可知bn0,所以 (nN*) 故当18时,数列bn是以(18)为首项, 为公比的等比数列 高考二轮数学(文科) 跟踪训练 3等差数列an的前n项和为Sn,a11 ,S39
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