数学毕业论文--数形结合思想在数学教学中的应用.doc

15数形结合思想在数学教学中应用 目 录摘要3关键词3前言41.数形结合在概念教学中的应用51.1代数概念教学中的数形结合51.2几何概念教学中的数形结合72.数形结合在解题教学中的应用82.1数形结合解方程82.2数形结合解决不等式问题102.3数形结合解决数列问题102.4数形结合求参数112.5数形结合求概率122.6数形结合求解平面向量问题122.7数形结合求最值132.8数形结合解决复数问题132.9数形结合在集合问题中的应用143.小结154.致谢155.参考文献16数形结合思想在数学教学中的应用摘 要 ： 数形结合反映数学问题与结论之间的内在联系。本文结合高中数学教学，在数学概念与解题教学两个方面对数形结合的应用进行了较为系统、深入的探讨。关键词： 数形结合；数学概念；解题教学Application of the Combination of Quantities and Spatial Forms in Mathematics Teaching Student：Zuo Yang Instructor: Ping Jing Shui Department of Mathematics and computer science ，Huai Nan Normal UniversityAbstract: The combination of quantities and spatial forms reflects the intrinsic link between mathematical problems and conclusions. In this paper, we make some discussions the use of combination of quantities and spatial forms in mathematics concept and the teaching of problem solving.Key words: combination of quantities and spatial forms; Mathematical concepts, problem solving instruction前言所谓数形结合是指数与形之间一一对应的关系，根据数学问题的题设与结论之间的内在联系，既分析其数量关系又揭示其几何直观，将抽象的数学语言和数量关系与直观形象的几何图形结合起来，使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，从而优化解决问题的途径。数形结合思想应用的实质在两个方面，1、以数辅形，就是通过具体的数量关系来确定和规范几何图形；2、以形助数，通过形象直观的图形来反映精确的数量关系。因此，数形结合的研究对象很明了：数与形。总而言之，数形结合就是数与形之间的相互取长补短。数形结合思想作为一个重要的基本数学思想贯穿整个数学教育过程中，教师应该从一开始的函数体系中的数形结合慢慢渗透，培养学生建立起这种思想，提高学生分析问题和解决问题的能力。在运用数形结合的过程中我们应当注意：1，彻底了解一些概念和运算的几何意义和图形的数量特征；2、正确使用参数，建立合理的关系，做好数与形之间的相互转换；3、精确确定参数的取值范围。总之，要切实把握好等价性原则。我国著名数学家华罗庚先生曾经说过，“数缺形时少直观，形缺数时难入微”。那么我们就从两个方面来探究数形结合思想在数学教学中的应用，也是对华罗庚先生的话的理解。1 数形结合思想在数学概念教学中的应用每一个新概念的形成都必须经历一个由具体的直观形象思维逐步发展为抽象概括思维的过程。那么在教学中运用数形结合思想来揭示概念的内涵，可加深学生对概念的理解，激发学生学习，接受新概念的主观能动性。数学概念是对现实世界的数量关系和空间形式的概括反映，它是用数学语言和符号揭示事物本质属性的思维形式， 因而更具有抽象性。通过数形结合，巧妙找寻学生现实起点；数形结合，促进学生理解概念的本质； 数形结合， 让学生感受数学之美感. 从而为建构数学概念奠定扎实的基础。1.1 代数概念教学中的数形结合代数概念就有高度的抽象性，学生理解起来相当的有困难，因此借助数形结合帮助学生理解，如下例：例1 数列极限的概念数列极限的概念抽象难懂，它是由有限过渡到无限的转折点，学好它对于师范专科学生正确地建立无限的概念、导数的概念和今后进一步学习高等数学有着极其重要的意义。教学时先复习数列的概念： 数列是按照一定顺序排列的一列数。如：通过观察分析前几个典型数列（无穷数列）每一项的变化趋势，得到第一感性认识（极限的粗浅定义）观察分析无穷数列、：当项数n 越来越大时，数列中项的变化趋势是越来越接近于0，0，1，（对于上述三个数列， 师生共同计算几个具体的项，看它的变化趋势）当项数n 无限增大时，的变化趋势又怎样呢？ 通过观察，学生会马上说出： 无限地接近于0，0，1。抽象到一般：对于数列，当项数n 无限大时， 数列中的项无限地趋近于一个常数A，称A 是数列的极限。通过数轴上的点，理解数列中的项“无限地趋近于A”的意义。我们把数列、的前n 项对应的点在数轴上形式表示出来，如图：当项数n 无限增大时，数列中的项无限地趋近于1， 在数轴上反映出来就是：对应的点与1对应点的距离可以无限地小或者说可以任意小。数列、呢？ 那么这个距离怎样的小才是“任意小”？ 能否用数学式子来表示，如何刻划这个“任意小”呢？ 数列中的项对应的点与A （这里A=0）的距离可以用| -A|来表示，师生列表计算| -0|的值，得出它们的距离可以任意小，也就是| -A|可以任意小。对于数列就是| -1|的值可以任意小。数列极限的准确定义：数列无限地趋近于常数A，就是对应的点与常数A 对应的点的距离可以任意小，用数学式子表达为| -A|， 于是我们可以得到课本中的准确定义：对于一个无穷数列，如果存在一个常数A，无论预先指定多么小的正数， 都能在数列中找到一项，使得这一项以后所有的项与A 的差的绝对值都小于， 则称常数A 是数列的极限。又如我们在讲解“绝对值”这一概念时，教师会让学生先在数轴上找出+1，-1所对应的点，读出两点离原点的距离，这样就引出为题：，则x=？于是可以引导出：有理数的绝对值是指数轴上有理数点到原点的距离。若距离为零，该有理数为零；若距离为正数，则包含了原点左右的距离相等的两点；若距离为负数，则不存在。这样就加深了绝对值概念的理解。再如：在讲解高一数学第二章的“函数的单调性”这一概念时，首先应借助前一节幂函数的内容，列举等函数的图像，结合几个函数的特征，引导学生观察图像上升（下降）时，自变量x变化过程中，函数值y的变化情况，根据这些变化情况运用抽象的数学语言概括一下，就能得到“函数单调性”这一概念。通过上述3个典型的代数概念的分析数形结合的运用，可总结为以形辅数。1.2 几何概念教学中的数形结合例 2 抛物线的定义解析几何中的概念复杂且难以记忆和理解，唯有通过图形与数量关系的有效结合才能做出完整的诠释，方便学生接受。在介绍“抛物线”概念的时候，教师应该从直观视觉上让学生感受，认识抛物线，即画出一个抛物线的图像（如图）。就这样画出个图像能说明什么呢？学生只是初步的感知到：这就是抛物线？这样的图像只是个独立的图形，毫无意义。所以，需要教师赋予这个图形以意义或者说是属性；将抛物线的图像纳入坐标系中，通过图形在坐标上的位置关系，来赋予图形一些属性。因此我们结合图形给出抛物线的定义：平面内，到一个定点F和不过点F的一条定直线L距离相等的点的轨迹称之为抛物线，且定点不再定直线上。这样给这条曲线做了要求，抛物线的概念就被死死订在这个抽象而又具体的思维范畴。根据上面的基本定义，我们还可以得到焦点，准线等等概念。这堪称是数与形的完美结合，相辅相成。在讲解几何概念中的数形结合时，我们不得不引出向量这概念，向量既有数的运算又有形的运算，是数与形转换的载体，其重要性，不言而喻。具体向量的作用我们将在具体解题教学中应用介绍。几何除了解析几何还有个重要的部分立体几何。例如在讲解立体几何中的线与面垂直的概念时，我们引入向量，利用向量来定义这一概念：讲立体几何图形：线，面；纳入到空间坐标系中，那么就是赋予图形代数意义。如何定义线面垂直呢？根据我们学过的平面向量的运算性质：两向量的乘积为零，则两向量垂直即两条向量所代表的一系列的直线垂直。同理，我们引入法向量，若直线的方向向量与平面的法向量成正比关系，我们称该直线与平面垂直。通过上述二例可见数形结合的神奇，实在令人叹为观止。数形结合在几何概念教学中的应用可总结为：以数助形。综上所述，在教学中渗透数形结合思想，能够直接影响到学生以后学习数学概念时的分析思维，是概念学习的敲门砖。数形结合思想不仅仅在概念教学中拥有强大的功能，同样在解题教学中发挥着其中流砥柱的作用，是学生解决问题之门的金钥匙。我们就高中数学解题教学中的具体实例来探究数形结合在解题教学中的应用。2 数形结合在高中数学解题教学中的应用数形结合解决数学问题的一个有力的工具，也是高中数学中极为重要的基本方法之一，通过数形结合可将抽象的数学语言与直观图形相结合，是抽象思维与形象思维相结合，缩短思维连，简化思维过程。2.1 数形结合解方程（1）求方程的解的个数问题，主要是把方程的解的个数问题转化为两个函数交点个数的问题，利用数形结合，将问题直观化，具体化。例 3 试就实数m的取值情况，讨论关于x的方程的解的个数。解析：如果去掉绝对值，直接从方程的角度很难入手，而如果利用两个函数图像交点的个数，结果便一目了然。令和，在同一坐标系中做出他们的函数图像,如图，由图可知 当或时，两图像只有一个交点，原方程有唯一解；当时，两图像有两个交点，原方程有两个解；当时，两图像无交点，原方程无解。 （2）数形结合求方程所有根的和的问题，应当作出相应的图像，并根据图像的对称性来求解。 例 4 若满足，满足，则 ( ) A B 3 C D 4 解析：将所给两个条件变形处理，利用函数图像的对称性求解。将已知条件变形为：，构造函数，作出以上3个函数以及图像，如图：由题意知，函数与关于直线对称，又直线与垂直且图像交点横坐标为，根据图像对称性知，。（3） 数形结合解决给出方程解的个数求相关参数取值范围的问题，准确作出相应函数的图像，将图形语言转换为符号语言。例 5 已知以为周期的函数，其中，若方程恰有5个实数解，则的取值范围是_ .解析：将变形为问题转化为函数与的图像有5个交点，根据题意作出两个函数的大致图像，要满足两个图像恰有5个交点，只需与有两个不同交点且与没有交点。两次联立上述方程，根据的正负情况解得2.2 数形结合解决不等式问题例 6 设，求证：证明：如图作单位正方形OPQR，令OA=a，OB=b于是问题转化为OC+PC+QC+RC，这显然是成立的，事实上，OC=，PC=，QC=，RC=，OQ=PR=，由OC+RC+PC+QCOQ+PR，故原不等式成立。例 7 不等式组的解集为则a的取值范围是多少？解析：本题虽然难度不打，用代数方法也可解出来，但是出于一般性的原则，利用数形结合才是最佳选择。如图：这两种情况无解。这3中情况分别讨论，可得出答案。2.3 数形结合解决数列问题数列的本质是定义在自然数集上的函数，我们运用函数的观点来认识数列，理解数列，用研究函数的方法研究数列，用数形结合方法解决数列问题。例 8 等差数列中，则（1）n=_时，取得最大值；（2）=_.解析：由于等差数列前n项和可写成的形式。有已知可知对应的二次函数的对称轴应是x=8，且公差小于零，开口向下，有最大值，于是可知n=8时，取得最大值。因为该二次函数图像过原点，故过点（16，0），即=0。由本题我们可以得到一般性的结论：已知等差数列中，前n项和为，已知（p不等于q），则（1）（2）当p+q为偶数，n=时，取得最大值；当p+q为奇数，n=时，取得最大值。2.4 数形结合求参数在处理有关含参数的问题时, 若注意应用数形结合的思想, 常可以化抽象为直观, 有利于抓住本质, 找到解题的突破口。例 9 已知函数当时有最大值，求a的取值范围。解析：经配方得，故此抛物线的顶点为但是个动点，而定直线x=0和x=2将坐标平面分成3个区域，又因抛物线开口向下，所以顶点的纵坐标为最大值。如图，只有顶点位于二定位直线间（包括两条直线）时，才能保证抛物线在上取得最大值，所以。2.5 数形结合求概率许多概率问题, 若能借助于坐标平面或其他数学模型, 将数的问题转化为形的问题, 以形助数, 不仅能迅速找到解题的切入点, 而且还能优化解题过程, 提高解题速度。例 10 在长度为a的线段上取两点将其分成三段, 求这三段可以构成一个三角形的三边的概率。解析：设这三段可以构成一个三角形的三边的事件为A, 线段被分成三段的长度分别为x、y、a- x- y, 则样本空间Q为0xa, 0ya, 0x+ya- x- y, x+( a- x- y) y, y+( a- x- y) x, 即0x , 0y , x+ya.满足条件的图形是图中阴影部分CDE, 其面积= .故所求概率P( A) = = 。例 11 同时抛掷两枚骰子, 则至少有一个5点或6点的概率为多少?解析如图, 从图中容易看出基本事件的全体构成的集合与点集S=( x, y) xN,yN, 1x6, 1y6 中的元素一一对应, S 中点的总数是66=36 个, 所以基本事件的总数n=36.记“至少有一个5 点或6 点的事件为A”, 从图中可看到事件A 包含的基本事件数共20 个, 故所求概率P( A) = = 。2.6 数形结合求解平面向量问题利用向量数量积可以解决有关角度、距离、位置关系等问题, 另一方面, 向量的运算都有它的几何意义, 一些与向量有关的计算,用几何方法也可以解决. 通常是利用向量数量积求解的, 但我们看到利用向量运算的几何意义, 也可以在图形中找到解决问题的方法。例 12 设向量a, b,c满足a + b + c = 0, (a - b)垂直于c, a 垂直于b, 若| a | = 1, 则| a |2 + | b |2 + | c |2 的值是_解 如图所示, 在平面上任取一点O,作OA = a, OB = b, 以OA、OB为邻边作平行四边形OBCA, 则BA = a - b, CO = - ( a+ b) =c. 由( a - b)垂直于c, a垂直于b, 知平行四边形OBCA是对角线互相垂直的矩形, 即正方形。2.7 数形结合求最值求最值是数学中一个重要的专题，而解析几何中的一些概念和公式也被广泛利用，方法简洁实用。如：斜率，截距，点与点的距离公式，点到直线距离公式，以及直线与直线的位置关系，直线与圆的位置关系等。例 13 如果实数x,y满足，求的最大值。解析：条件中的方程在解析几何中表示圆，而，即表示圆上点与原点的连线的斜率，如图，易得此斜率的最值应该是直线与圆相切时取得，易得最大值为。2.8 数形结合解决复数问题复数与形的关系是紧密联系的, 这是因为复数集与复平面上的点集或向量OZ的集合构成一一对应的关系. 利用复数及其运算的几何意义, 应用数形结合的思想, 可以使许多复数问题变得简单、直观。例 14 设，都是复数，且=3，=5，=7，求arg的值。解析：设,在复平面内对应的向量分别为,( 如图) , 则在中, 由余弦定理得co s= =,从而，=,故arg（）= =。2.9 数形结合在集合问题中应用例 15 向50名学生调查对事件A,B的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体人数的五分之三，其余的不赞成A；赞成B比赞成A的多三人，其余不赞成B；另外，对A,B都不赞成的学生数比对A,B都赞成的学生人数的三分之一多1人。问：对A,B都赞成的学生数和对A,B都不赞成的学生数各是多少？解析：本题根据题意，直接画出韦恩图，可以直观形象的表示出数量关系。如图所示：直接求出人数分别为：都赞成的人数21人，都不赞成的人数8人。间接性毋庸置疑。当然数形结合在解题教学中还有很多很多方面，仅以上9个方面，也够我们重视在教学中对数形结合思想的渗透。小结 数形结合的运用实质：由数到形，利用形的直观性开拓解题思路；由形到数，利用数量关系快速解题。数形转化是数学中解决问题的有力杠杆, 通过它可以把几何问题转化为代数问题来解决，反过来, 也可以把代数问题、三角