用复变函数来表示平面向量场.ppt

2.4 平面场 2.4.1 用复变函数来表示平面向量场 物理上所谓“场”就是指每一点逗对应有物 理 量的一个区域，在这里，只研究平行于一个 平面的定常向量场，即场中的向量都平行一 个平面S，而且垂直于S的任何一条直线上的 内的场示。 点处的向量都是相等的，场中的向量于时 间无关，显然，这种向量场在所有平行于S 的诸平面内场的分布情况是完全相同的， 因此它完全可以用于平行于S的平面 图(2.4.1) 图(2.4.2) 在平面内取定直角坐标系，于是 场中每一个具有分量 图(2.4.2)便可用复数 来表示 由于场中的点可用复数 来表示，所 以平面向量场 可借助于 复变函数： 来表示， 已知某以复变函数 由此可作出对应的向量场为： 同样，考虑垂直于均匀带电的无限长直导线 的所有平面上，电场分布情况完全相同，因 而可以取其中以平面作代表，当作平面定常 向量场来研究，由于电场强度向量 所以该平面场可以用一个复变函数 来表示。 2.4.2 平面流体场 设“流体是不可压缩”是指流体的密度不 因压力的变化而变化。取流体所在的平面 为复平面，场内各点处的速度向量为： 若在某一区间D内该场是无源的，那么： 的全微分，即： 是某一二元函数因而 在这个函数的等值线 上有 上式表明，在曲线 上，场的 向量与该曲线相切，因此称此曲线 为流线，称函数 为流函数。 又若在区域D内，该场是无旋的，则有： 所以 的全微分，即： 而 因此是场 的势函数，曲线称为等势线 在等势线上，有： 若在区域D内，该场无源又无旋，则有： 因此，当上述四个偏导数连续时， 构成一个解析函数，通常称此函数， 为这个场的复势。由(2.2.2)知 于是有 通常称 是该场的复速度。 从上述讨论可以看到，一个无源无旋的平 面流体场的复势是一个解析函数，反之，已知 一个解析函数，由此可构造出一个平面流体场 ，而该流体场的复势正是这个解析函数来表示 ，这就是解析函数的物理意义。 除此之外，用复势来刻画流动比用复速度 方便，因为由复势求复速度只用到求导数， 反之则要用积分，而且由复势容易求流线和 势线，这样就可以了解流动的情况。 例 1 考查复势为 故势线是 流线是 所以场中任一点的流速为 方向指向x轴正向。 该场的流动情况如（图2.4.3)所示，这 种流体称为均匀常流（实线表示流线，虚 线表示势线）。 流 线 等势线 图 (2.4.3) 例 2 设原点是强度(在单位时间流出或漏去 的液量）为N0源头（或N0的沟汇)。而在无穷 远处流体保持静止，并且在平面上没有其他的源 头和沟汇，显然，流线是由原点发出的半射线， 等势线是以原点为中心的圆周。速度的大小仅与 点z的模有关，方向与圆周的外法线的方 向一致，因而流速向量可表示为： 由于流体是不可压缩的，流体在任一圆环域 内不能积蓄，所以流过圆周与 的流量为 （其中 是 的单位外法线向量 ， 是弧微分）所以： 而流量可表示为： 显然它符合“在无穷远处静止状态”要求， 由此可求得复势函数的导数为 故所求复势函数为： 进一步得到势函数和流函数分别为： 该场的流体情况(图2.4.4)和(图2.4.5)所 示(实线表示流线，虚线表示势线）。 例 3 设原点是一个漩涡点，其强度为 时间绕原点流动的液量为 ）， 上没有其他的漩涡点，在此情况，流线是以原 点为中心的圆周，等势线是原点发出的射线， 速度向量可表示为： (在单位 在无穷远处流体保持静止状态，并且平面 而沿圆周的环量 （其中的单位向量，是弧微分） 因而： 所以 仿例2可求得复势为： 故该场得流动情况在 时，如(图2.4.6)所示； 在 时， 如(图2.4.7)所示， 图2.4.6 图2.4.7 2.4.3 平面静电场 取静电场所在得平面为复平面，场强向量为： 我们知道，若在某一区域D内没有电荷（即 为管量场），则： 从而知在区域D 内， 是某一二元函数的全微分，即 ： 与讨论流体场一样，在曲线 上，场强向量与该曲线相切，因此称此 曲线为力线（即电力线），称此函数 为力函数。 据电学理论知道，平面静电场又是一个 势场，那么 即有： 因此在区间D内也是某一二元函数 的全微分，即 由此得： 是场E的势函数，也可以 称为场的电位或电势，等值线 称为等势线或等位线。 所以 若在某一区域D内，不含有电荷，则力函数 与势函数 满足柯西黎曼条件 当上述四个偏导数连续时，从而可 得D内的一个解析函数 (2.4.5) 称这个函数位静电场的复势（或电位）， 场E可以用复势表示为 (2.4.6) 可见静电场的复势和电流场的复势相 差一个因子 通流体场一样，利用静电场的复势，可 见研究场的等式线和电力线分布情况， 描绘出该场的图形。 ，这是电工上的习惯用法， 例 1 周围所形成的电场，用q表示垂直于 L。在此平面上一点 处的场强记为E.求E的表达式。 研究带有电荷的无限长直线L的 据电学中的叠加原理，可将向量E看作是 电荷qdh所产生的强度向量dE的和，将电荷 qdh看作是集中于L上M点处的点电荷，由 库仑定理，高度为h的点电荷qhd的场强向 量dE的大小等于 向量E在复平面上，它的大小等于dE在