高数10-2-1直角坐标系下二重积分的计算法.ppt

-利用直角坐标系计算二重积分 2/299.2 二重积分的计算法 其中函数 、 在区间 上连续. (1)X型域 预备知识:X型,Y型区域 2.公式推导 三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算 1.X型,Y型区域3.几点说明 （一）直角坐标系下计算 【X型区域的特点】 穿过区域且平行于y 轴的直线与区 域边界相交不多于两个交点. 3/299.2 二重积分的计算法 (2)Y型域 2.公式推导 三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算 1.X型,Y型区域3.几点说明 4/299.2 二重积分的计算法 (3)既非X型域也非Y型域如图 在分割后的三个区域上分别都 是X型域(D1也是Y型域) 则必须分割. 由二重积分积分区域的可加性得 2.公式推导 三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算 1.X型,Y型区域3.几点说明 5/299.2 二重积分的计算法 2.公式推导 表示曲顶柱体的体积. a.回顾二重积分几何意义 三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算 b.回顾一元函数定积分的应用 平行截面面积已知,立体体积求法: 1.X型,Y型区域3.几点说明 化二重 为二次 6/299.2 二重积分的计算法 公式(1) ab o x y D x 2.公式推导 三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算 1.X型,Y型区域3.几点说明 公式1 7/299.2 二重积分的计算法 公式2 2.公式推导 三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算 1.X型,Y型区域3.几点说明 公式 8/299.2 二重积分的计算法 (1) 二重积分的计算步骤可归结为 画出积分域的图形，标出边界线方程； 根据积分域特征及被积函数，确定积分次序.( (写出不等式写出不等式) ) 根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算。 3.几点说明 2.公式推导 三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算 1.X型,Y型区域3.几点说明 (2) 使用公式1必须是X型域， 公式2必须是 若积分区域既是X型区域又是Y 型区域 , 则为计算方便,可选择积分次序。 Y型域. 若积分域复杂,可分成若干X型Y型区域 9/299.2 二重积分的计算法 【例1】 【解】 看作X型域 12 o x y y=x y=1 D x 三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算 D既是X型域 又是Y型域 10/299.2 二重积分的计算法 【解】 看作Y型域 1 2 o x y x = y x=2 Dy 12 三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算 两种积分次序的计算难度相当 11/299.2 二重积分的计算法 【例2】 【解】 D既是X型域又是Y型域 法1 1 1 1xo y=x D x y 三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算 12/299.2 二重积分的计算法 法2 注意到先对x 的积分较繁，故应用法1较方便 1 1 1 y o y=x D 1 x y 注意两种次序的积分计算难度不同！ 三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算 【例2】 13/299.2 二重积分的计算法 【例3】 【分析】D本身是Y型域 先求交点 三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算 法1 14/299.2 二重积分的计算法 法2视为X型域 计算较繁 三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算 【例3】 两种次序积分难度不同！ 15/299.2 二重积分的计算法 【小结】 以上例子说明，在化二重积分为二次积分时， 为简便见需恰当选择积分次序； 既要考虑积分区域D的形状， 又要考虑被积函数的特性 (对x易积就先积x后积y,当y型区域) 三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算 16/299.2 二重积分的计算法 【解】 三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算 D既是X型域又是Y型域 把D当作Y型域，先x后y积分 17/299.2 二重积分的计算法 【练习2】 【解】 据二重积分的性质4（几何意义） 交点 三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算 18/299.2 二重积分的计算法 【练习3】计算 其中 D 是由直线 y=x 及抛物线 y2 = x 所围成 【解】 三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算 先y积不出，故先x后y，即Y型域 19/299.2 二重积分的计算法 【补例1 】 【解】 当被积函数中有绝对值时，要考 虑积分域中不同范围脱去绝对值符号。 分析 三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算 20/299.2 二重积分的计算法 【例4】求两个底圆半径都等于R的直交 【解】 设两个直圆柱方程为 利用对称性, 考虑第一卦限部分, 其曲顶柱体的顶为 圆柱面所围成的立体的体积V. 三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算 21/299.2 二重积分的计算法 补例2交换二次积分 的积分次序. 解： 题设积分限: 可改写为: 所以 三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算 交换积分次序： 若积分区域既是X型区域又是Y 型区域 , 目的为方便计算，或题目要求。 22/299.2 二重积分的计算法 补例3交换二次积分的积分次序. 解： 积分限: 可改写为 所以原式 三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算 23/299.2 二重积分的计算法 【练习4】交换下列积分顺序 【解】 积分域由两部分组成: 视为Y型区域 , 则 三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算 24/299.2 二重积分的计算法 三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算 设D 位于x 轴上方的部分为D11、积分区域D关于x轴对称, 则 则 2、积分区域D关于y轴对称, 被积函数关于y为偶函数 函数关于y为奇函数， 设D 位于y 轴右方的部分为D2 则 则 函数关于x为偶函数 函数关于x为奇函数 补例4 计算其中积 分区域 由曲线 与 所