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流 体 力 学 顾伯勤 主编 研 究 生 教 材 退 出 中国科学文化出版社 第二篇 流体动力学基本原理及流体工程 w 流体动力学微分形式基本方程 w 流体动力学积分形式基本方程 w 伯努利方程及其应用 w 量纲分析和相似原理 w 流动阻力与管道计算 w 边界层理论 w 流体绕过物体的流动 w 气体动力学基础 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 退 出返 回 第十章 第十一章 第十二章 第七章 伯努利方程式及其应用 w 伯努利方程式及其限定条件 w 实际流体的伯努利方程式 w 实际流体的总流伯努利方程式 w 相对运动的伯努利方程式 w 伯努利方程式的应用 第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 退 出返 回 第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回 第1页 第一节 伯努利方程式及其限定条件 在推导伯努利方程式之前，先讨论欧拉方程式的另一种形式，称为葛 罗米柯方程式。 令U为质量力函数，P为压力函数，使得 ， ， 而且 第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回 第2页 第一节 伯努利方程式及其限定条件 同理可得 将以上三式代入（5.8）式(欧拉方程）得到 第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回 第3页 第一节 伯努利方程式及其限定条件 将各项归并，并用行列式表示 （7.1） 第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回 第4页 第一节 伯努利方程式及其限定条件 式（7.1）即葛罗米柯方程式，它比欧拉方程式便于积分。但在一般情 况下，无论是欧拉方程式或是葛罗米柯方程式，由于数学处理十分困难 ，求解往往是不可能的。仅在某些特殊情况下，欧拉方程式的三个偏微 分方程式可以变成常微分方程式，使数学处理成为可能。下面讨论这些 情况。 一、理想流体沿流线的流动 将欧拉方程式应用到沿流线的流动中，则根据流线方程式可知 ， 代入式（5.8）第1式，可得到 等式两边均乘以得到 第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回 第5页 第一节 伯努利方程式及其限定条件 经整理可得到下式 即 同样可得到y，z轴方向的关系式 将三式相加 第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回 第6页 第一节 伯努利方程式及其限定条件 因为，所以 于是 （7.2） 式（7.2）就是沿流线的欧拉方程式。如果已知压力和密度的关系及 其随时间的变化规律，以及质量力的特性，上式就可进行积分，由此 求出速度场。 二、无旋运动流场 对于无旋流场，有如下特性 ， ， 第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回 第7页 第一节 伯努利方程式及其限定条件 代入式（5.8）的第1式，等式两侧均乘以dx，可以得到 同样由式（5.8）的第2，3式可得 将上面三式相加，得到 等式两侧均加 ，且，则有 （7.3） 第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回 第8页 第一节 伯努利方程式及其限定条件 此式与式（7.2）相同，即任何流场的流线上各点的运动方程式和无 旋运动流场中任意点的运动方程式是相同的，都是可以积分的常微分 方程式。 实际工程问题中经常遇到的质量力场为重力场，即X=0，Y=0，Z= g 。此时，式（7.2）或式（7.3）成为 （7.4） 对于稳定流动，则上式成为 式（7.5）为稳定流动、质量力只有重力时，沿流线或无旋流场的欧拉 方程式。 如果流体密度不变，则在稳定流动情况下，式（7.4）可以写成积分形 式 （7.5） 第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回 第9页 第一节 伯努利方程式及其限定条件 或 式（7.6）是对于只有重力场作用下的稳定流动、理想的不可压缩流体 沿流线或无旋流场的运动方程式的积分形式，称为伯努利方程式。此式说 明在上述限定条件下，任何点的压力能、位能、动能之和为常量。 利用葛罗米柯方程式（7.1），可以导得伯努利方程式更广义的限定条 件。 对于稳定流动，式（7.1）变成 （7.6） 将上式分别乘以dx，dy，dz，相加得到 第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回 第10页 第一节 伯努利方程式及其限定条件 即 若上式等号右侧为零，则 即 对重力场作用下的不可压缩流体 ， 于是 这就是伯努利方程式。它建立的条件是：在重力场作用下，不可压缩 理想流体的稳定流动，此外还必须符合下列条件： 第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回 第11页 第一节 伯努利方程式及其限定条件 要使上述三阶行列式等于零，有以下几种情况 ，即静止状态（1） （2） ， ， ，即无旋运动 ，即沿流线 ，即沿涡线 ，即螺旋运动（5） （4） （3） 第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回 第12页 第一节 伯努利方程式及其限定条件 这就是伯努利方程式所必须满足的广义限定条件。 伯努利方程式是能量方程式，因为在推导过程中，曾经对欧拉方程式中 以力为单位的各项乘以长度dx、dy、dz，并进行积分。式中三项分别为压 力能，位能（势能）和动能。也就是说在符合限定条件的情况下，流场中 各点的三种能量尽管它们可以互相转换，但其总和是不变的。这三种能量 统称为机械能。 伯努利方程式可以有不同的形式，式（7.6）各项表示单位质量流体的 能量。 如将式（7.6）除以g，则伯努利方程式的形式为 式中各项单位为长度。在水力学中称为水头。为压力水头，z为静水头， 为速度水头。 （7.6a） 第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回 第13页 第一节 伯努利方程式及其限定条件 如将式（7.6）乘以，则伯努利方程式如下式 式中各项单位为压力。p称为静压，gz称为位压 ， 称为动压。 （7.6b） 第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回 第1页 第二节 实际流体的伯努利方程式 在稳定流动、重力场作用的情况下，不可压缩理想流体沿流线的伯 努利方程式可以写成 对于实际流体，由于有粘性力，便有流动阻力，为了克服这种流动阻力 ，需要消耗一部分机械能。上式三项机械能之中，位能一项只决定于截面1 ，2的位置z1和z2，是不会改变的。动能一项受连续性条件的约束，只要流 通截面A1，A2不变，也是不会改变的。唯一可能改变的是压力能，所以 ，因而使 或者写成 （7.7） 第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回 第2页 式中 代表流体由截面1流至截面2所受的阻力损失，也就是实 际流体流动时损失的机械能。这部分损失的机械能，转变为热能，增 加了流体的内能。的计算在第九章中讨论。 第二节 实际流体的伯努利方程式 第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回 第1页 第三节 实际流体的总流伯努利方程式 一、缓变流 图7.1 缓变流流线 在讨论实际流体总流的伯努利方程式 之前，需要提出缓变流的概念。缓变流也 称渐变流，是指流道中流线之间的夹角很 小，流线趋于平行（图7.1），且流线的曲 率很小（即曲率半径很大），流线都近似 于直线的流动。反之则称为急变流。例如 在弯头和渐缩、渐扩接管中的流动就属于 急变流。前者流线的曲率很大，后者流线 间的夹角很大。截面不变的直管中的流动 都可看成是缓变流。 缓变流具有如下特性： （1）由于缓变流流线的曲率很小，流体的向心加速度 引起的惯性力即离心力也就很小。所以对于缓变流流场，仍可认为质量力 便很小，由此 仅为重力，即 第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回 第2页 ， 或者 ， （2）对于稳定的缓变流，若把流动方向取为x轴方向，则， 。由连续性方程式可知，即，由于是稳定 ， 。将此结果代入纳维斯托克斯方程式 流动， 可得 (7.8) 第三节 实际流体的总流伯努利方程式 第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回 第3页 第三节 实际流体的总流伯努利方程式 在后二式中质量力 ， ，若将后两式分别乘以dy，dz， 然后相加得到下式 若x取某一定值时，则上式可以写成 积分后得到 此式说明：对缓变流，在流道的某一流通截面上，任何点的 都相等，为一常数。这和流体静力学中得到的结果相同，表明在缓变流 中，与流动方向垂直的截面上的压力分布规律与静止流体的压力分布规 律是一致的。 （3）在讨论实际流体时，由式（5.11）可知，由于有剪切变形和存在切 应力，因而流场中不同方向上有不同的法向应力。但对于不可压缩流体 的缓变流， 第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回 第4页 第三节 实际流体的总流伯努利方程式 且、，故 ， p相当于流体静力学中的静压力，它与方向无关，所以对于缓变流，任何 点各个方向的压力都相同。 有了缓变流的概念及其特性，下面 就可以讨论总流的伯努利方程式。 w1 图7.2 缓变流流道 p11 2 dA1 z1 z2 dA2 w2 p2 二、总流伯努利方程式 通过一个流道的流体的总流是由许多 流束组成的，每个流束的流动参量都有 差异。但对于总流，可用平均参量来描 述其流动特性。 第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回 第5页 第三节 实际流体的总流伯努利方程式 由实际流体沿流线（流束）的伯努利方程式（7.6），可以在流道的 缓变流区写出整个流道总流的伯努利方程式（图7.2）。因为是在缓变 流区，所以质量力只有重力且流道中任意点的静压力各个方向均相等 。总流的伯努利方程式如下 式中， 和分别为单位时间流过流通截面A1和A2上任一流束 为流束中流体的体积流量。根据连续性方程可知： 。（a）式等号左侧可写成 （a） 的流体质量， 对于缓变流，截面1上为常数，所以 （b） 第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回 第6页 第三节 实际流体的总流伯努利方程式 引进平均速度及动能修正系数，则单位时间内流道流通截面A上通过 所以（a）式等号左侧等于 （c） 的流体动能为 同样可得（a）式等号右侧第一项为 （d） 为单位重量流体流过截面1与2间流道的平均能量损失 ，式（7.9）是描述实际流体流经流道的伯努利方程式，1、2叫 做计算流通截面。 第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回 第7页 第三节 实际流体的总流伯努利方程式 将式（c）、（d）代入（a）式得（为书写方便，以后用w表示平均流速 ，省略平均符号） 对于不可压缩流体，所以 令 ，则 式中 （7.9） 第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回 第8页 第三节 实际流体的总流伯努利方程式 使用式（7.9）时的限制条件为：不可压缩、实际流体、稳定流动、缓变 流。这就要求在缓变流部分选取计算流通截面。例如图7.3中，只能选取 截面1、3、5、6、8、10作为计算流通截面，而截面2、4、7、9不能用作 计算流通截面。 图7.3 计算流通截面的选取 1 234 5 78 9 10 6 利用式（7.9），可以在获得和 以及流量的测量数据后，推算流道的 阻力损失。 第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回 第9页 第三节 实际流体的总流伯努利方程式 也可以用经验计算方法算出流道阻力损失后，确定流道中的某些流动 参量, 如 、 、 、 、 等。 式（7.9）中的能量系数 、 与流道中流速的均匀程度有关。流道中 的流速越均匀， 值越趋近于1，一般工程管道中流速都比较均匀， ，所以在工程计算中，可以近似认为 。 流道的伯努利方程式是很重要的公式，它配合连续性方程式和动量方 程式，可以解决许多工程实际问题。 第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回 第1页 第四节 相对运动的伯努利方程式 在透平机械中，例如水轮机、水泵、离心式风机中，需要研究流体流 过叶轮叶道的运动规律以及流体与叶轮的相互作用。由于叶轮在转动，如 果采用绝对静止的参考坐标系来研究，则流动当然是不稳定的。但是如果 把坐标系的中心取在叶轮的轴心上，并和叶轮一起转动，则当转速不变时 ，相对于转动坐标而言，可以认为流动是稳定的。 图7.4（a）是离心式风机或离心泵叶轮的一部分，叶轮以恒定角速度 旋转。从动坐标系来看，流体是沿着叶片以w的速度流入和流出叶轮的。 现在叶道中沿流线（相对运动的流线）ll 取一微元柱体来分析其 l 方向 的受力情况。设微元柱体长为dl，垂直于dl的截面积为dA（图7.4（b） 。作用于微元柱体l方向上的力有：（1）惯性力，其值为 ；（2）l方向柱体两面的压力差，其值为 ； （3）由于叶轮的转动而产生的离心力在 l 方向的分量，其值为 在旋转的叶轮运动中重力一般可忽略不计，所以作用于微元柱体 l 方向上 的 力的平衡方程式为 第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回 第2页 第四节 相对运动的伯努利方程式 (a) 图7.4 透平机械叶轮内的流动分析 微元体 r2 l 叶片 r1 r l w u o 叶轮 o dl r2 p+dp p l l (b) 单位质量的离心力 第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回 第3页 第四节 相对运动的伯努利方程式 式中 ，将此值代入上式，两边各除以 ，则得 将上式沿流线l积分，则得 因，所以 对同一流线上的任意两点，则上式可写成 （7.10a） （7.10） 式（7.10）或（7.10a）称为相对运动伯努利方程式，是透平机械的一 个基础方程式。应当指出，作用在微元柱体上的力尚有垂直于l方向的 力，它包括哥氏力和离心力在此方向的分量以及该方向的压差。由于这 些力在l方向的投影均为零，所以对l方向来说，可不予考虑。 第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回 第1页 第五节 伯努利方程式的应用 一、毕托管 在管道里沿流线装设迎着流动方向开口的细管（图7.5（a），可 以用来测量管道中流体的总压，这种装置称为总压管，亦称毕托管，毕 托管后部与U形管相连。U形管中装有密度较大的液体（如水银、水等） 。毕托管的测量原理可根据伯努利方程式来说明。因为迎着流体的毕托 管端对流动的流体有滞止作用，此处流体的流速等于零。流体滞止后， 再向毕托管四周绕流。毕托管内的流体是静止的。列出管道来流截面 11和毕托管端处的伯努利方程式，由于流线水平、标高相同，流体不 可压缩，则有 由上式可以看出，总压管口上感受的压力 总压。再通过总压管口与3点之间的静压平衡关系可知 ，即是来流的 第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回 第2页 第五节 伯努利方程式的应用 (a) 图7.5 毕托管 (b) 1 1 2 2 3 h h w1 1 2 3 4 式中， 为重液密度，于是 h， 均为已知，值为U形管液位差，于是可求出管道中流体的 数值，称为总压头。 如果在22截面处管道四周取静压测孔， 。 则可以测得该处的静压头 第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回 第3页 第五节 伯努利方程式的应用 由于11，22之间距离较近，可以忽略其间管道阻力，因此 ，这 样22截面处总压管感受的总压头为 ，其与静压头之差为 ，即 来流的动压头，由此可以求得管道中的流速 。 一种本身带有静压测点的毕托管称为动压管，如图7.5（b）所示。1点 为总压测点，测得 。2点为静压测点，测得 。通过3，4接头 ， 接到同一个U形管上可以直接读出动压头。对静压测孔2的位置有一定 要求，这是由于管端和管四周流体绕流出现的压力分布，只有在一定位 置处，其压力才与该处管道的主流静压力相同，仅在该位置处方能测得 真实的静压头。 第七章 伯努利方程式及其应用 退 出返 回 第4页 第五节 伯努利方程式的应用 图7.6 文丘里管 1 p2 w 2 2 1 w p1 A1 A2 l 00 h1 h2 z2 z1 二、文丘里管 文丘里管是装在管路中用来 测量流体流速或流量的常用仪 器。它是一个渐缩又渐扩的接 管（图7.6）。11截面为收 缩前的流通截面，22为收缩 后的最小流通截面，称为喉部 截面。这两处的流动都属于缓 变流。因为文丘里管很短，在 列出11到22截面间的伯努 利方程式时可忽略阻力损失， 则 第七章 伯努利方程式