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下页 上页下页首页 两个无穷小量或两个无穷大量的商的极限 , 随着无 穷小量或无穷大量的形式不同 , 极限值可能存在、 也可能不存在、可能是无穷小量、也可能是无穷大 量 , 为此, 我们称这类极限为“未定式”,记为 上页下页首页 以下各类极限称为未定式的极限： 其中,0表示无穷小；表示无穷大；1表示以1为 极限的变量 未定式的极限 上页下页首页 倒数法 取对数法 只需讨论 这两种极限 上页下页首页 一、洛必达法则 定理 定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. 设(1) 当xa时,函数f(x)及F(x)都趋于零 (2)在a的某去心邻域,f (x)及F(x)都存在,且 F(x)0; 存在或为无穷大,则 当xa+, xa-, x, x+, x-时该法则仍成立. 上页下页首页 证定义辅助函数 f1(x) ,F1(x)满足柯西中值定理的条件,则有 在U(a,)内任取一点,在以a与x为为端点的区间间上 上页下页首页 运用罗必达法则时的注意事项运用罗必达法则时的注意事项 在运用罗必达法则时 , 若 不存在 但也不是无穷大 , 则不能说明 不存 在 . 此时应重新另找其它方法进行计算 . 罗必达法则只限于求 型极限,其它类型 应首先化成这两种形式才能用罗必达法则 . 上页下页首页 在运用罗必达法则求极限过程中, 极限存在并且 不等于零的因子可以提出来, 这样可使问题简化. 在运用罗必达法则求极限过程中, 尽可能运用 等价无穷小替代方法, 它往往可使问题得到明 显的简化. 上页下页首页 如果在使用罗必达法则后, 仍是 条件 , 则可继续使用罗必达法则 . 使用罗必达法则要注 意观察条件是否满足, 不然会出错. 型极限,f(x),g(x)仍满足罗必达法则 上页下页首页 例1 解 例2 解 上页下页首页 例3 解 例4 解 上页下页首页 例5 解 上页下页首页 注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 但与其它求极限方法结合使用，效果更好. 例6 解 上页下页首页 例7 解 关键:化为洛必达法则可解决的类型 . 步骤: 二、未定式解法 0, -,00,1, 0未定型的解法 1. 0型 上页下页首页 例8 解 步骤: 2. -型 上页下页首页 步骤: 例9 求 解 3. 00,1, 0型 上页下页首页 例10 解 例11 解 上页下页首页 例12 解 极限不存在 洛必达法则失效。 注意：洛必达法则的使用条件 上页下页首页 三、小结 洛必达法则 上页下页首页 思考题 上页下页首页 思考题解答 不一
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