2018版高中数学第二章函数2.1.1函数学案新人教B版.docx

21.1第1课时变量与函数的概念1理解函数的概念，了解函数构成的三要素(难点)2会求一些简单函数的定义域、值域(重点、易错点)3能正确使用区间表示数集(重点)基础初探教材整理1变量与函数的概念阅读教材P29P31“倒数第11行”以上部分，完成下列问题1函数的定义设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数记作yf(x)，xA.也经常写作函数f或函数f(x)2函数的定义域在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域3函数的值域如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作yf(a)或y|xa.所有函数值构成的集合y|yf(x)，xA叫做这个函数的值域判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数的定义域和值域一定是无限集合()(2)根据函数有定义，定义域中的一个x可以对应着不同的y.()(3)f(a)表示当xa时函数f(x)的值，是一个常量()【答案】(1)(2)(3)教材整理2区间的概念及表示阅读教材P31“倒数第10行”以下P32“例1”以上的内容，完成下列问题1一般区间的表示设a，bR，且ab，规定如下：定义名称符号数轴表示x|axb闭区间a，bx|axb开区间(a，b)x|axb半闭半开区间a，b)x|axb半开半闭区间(a，b2.特殊区间的表示定义Rx|xax|xax|xax|xa符号(，)a，)(a，)(，a(，a)填空：(1)集合x|12用区间可表示为_；(3)集合x|x2用区间可表示为_【答案】(1)(1,3(2)(2，)(3)(，2 小组合作型函数的概念及应用(1)下列四个图象中，不是函数图象的是()(2)下列各组函数是同一函数的是()f(x)与g(x)x；f(x)x与g(x)；f(x)x0与g(x)；f(x)x22x1与g(t)t22t1.ABCD(3)判断下列对应是否为函数：xy，y，x0，xR，yR；xy，y2x，xN，yR；xy，yx，xx|0x6，yy|0y3；xy，yx，xx|0x6，yy|0y3【精彩点拨】(1)根据函数的定义，函数的图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，从而对照选项即可得出答案(2)确定函数的三要素是：定义域、对应法则和值域，据此可判断出答案(3)利用函数的定义判定【自主解答】(1)根据函数的定义知：y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，体现在图象上，图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，对照选项，可知只有B不符合此条件故选B.(2)f(x)|x|与yx的对应法则和值域不同，故不是同一函数g(x)|x|与f(x)x的对应法则和值域不同，故不是同一函数f(x)x0与g(x)都可化为y1且定义域是x|x0，故是同一函数f(x)x22x1与g(t)t22t1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数由上可知是同一函数的是.故选C.【答案】(1)B(2)C(3)是函数对x0，xR的每一个x的值，有唯一的yR与之对应不是函数如当x4时，y2或2，有两个值与之对应，因此不是函数不是函数如当x4时，在y|0y3内没有值与x对应是函数当xx|0x6时，xy|0y1y|0y31判断一个对应关系是否为函数的步骤(1)判断A，B是否是非空数集；(2)判断A中任一元素在B中是否有元素与之对应；(3)判断A中任一元素在B中是否有唯一确定的元素与之对应2判断函数是否相同的步骤(1)看定义域是否相同；(2)看对应关系是否相同；(3)下结论再练一题1下列各题的对应关系是否给出了实数集R上的一个函数？为什么？(1)f：把x对应到3x1；(2)g：把x对应到|x|1；(3)h：把x对应到；(4)r：把x对应到.【解】(1)是实数集R上的一个函数它的对应关系f是把x乘3再加1，对于任一xR,3x1都有唯一确定的值与之对应，如当x1时，有3x12与之对应同理，(2)也是实数集R上的一个函数(3)不是实数集R上的一个函数因为当x0时，的值不存在(4)不是实数集R上的函数因为当x0，B1，f(x)x0【解析】易知B项中集合A中的0在集合B中没有元素与之对应，故不能构成映射【答案】B2已知集合A和集合B的元素都属于N，映射f：AB，若把集合A中的元素n映射到集合B中为元素n2n，则在映射f下， 象20的原象是()A4B5C4或5 D4或5【解析】由题意知n2n20，解得n4或n5(舍)【答案】A小组合作型映射的判断(1)如图212，下列对应法则：图212其中是映射的个数为() A3B4C5 D6(2)判断下列对应是否是从A到B的映射和一一映射？AR，Bx|x0，xA，f：x|x|；A1,0,1,2，B1,1,3,5，xA，f：x2x1；Ax|x2，xZ，By|y0，yN，f：xyx22x2.【解析】(1)这三个图所示的对应法则都符合映射的定义，即A中每一个元素在对应法则下，在B中都有唯一的元素与之对应对于，A的每一个元素在B中有2个元素与之对应，所以不是A到B的映射对于，A中的元素a3，a4在B中没有元素与之对应，所以不是A到B的映射综上可知， 能构成映射的个数为3.【答案】A(2)0A，在f作用下，0|0|B，不是映射对任意xA，依法则f，有12(1)11,02011,12113,22215，所以此对应是映射，且是一一映射对任意的xA，依法则f，有：xyx22x2(x1)21.x2，xZ，y2，yN，即yB，是映射而0,1B，但在A中无原象，不是一一映射1判断一个对应法则是A到B的映射，应从两个角度去分析：(1)存在性：集合A中的每一个元素在集合B中都有对应元素；(2)唯一性：集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应这两个条件缺一不可2若判断不是A到B的映射，只要举出一个反例，即说明集合A中的某一元素，在B中无对应元素或有多个对应元素即可再练一题1判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射：(1)AN，BN，f：x|x1|；(2)Ax|x3，xN，Ba|a0，aZ，f：xax22x4.【解】(1)集合AN中元素1在对应关系f：x|x1|下为0，而0N，即A中元素1在对应关系下在B中没有元素与之对应，故不是映射(2)对Ax|x3，xN中的任意元素，总有整数x22x4(x1)23B与之对应，故是A到B的映射求映射中的象与原象已知映射f：AB中，AB(x，y)|xR，yR，f：(x，y)(3x2y1,4x3y1)(1)求A中元素(1,2)的象；(2)求B中元素(1,2)的原象【精彩点拨】(1)根据映射的定义，把(1,2)代入对应法则即可得象；(2)根据映射的定义，利用解方程组的方法求其原象【解】(1)当x1，y2时，3x2y10,4x3y19.故A中元素(1,2)的象为(0,9)(2)令得原象为.1解答此类问题，关键是：(1)分清原象和象；(2)搞清楚由原象到象的对应法则2一般已知原象求象时，常采用代入法，已知象求原象时，通常由方程组法求解，求解过程中要注意象与原象的区别和联系再练一题2若本例的条件不变，问集合A中是否存在元素(a，b)使它的象仍是自身？若存在，求出这个元素，若不存在，请说明理由【解】设存在这样的元素(a，b)，则a0，b，即为所求元素探究共研型映射个数问题探究1集合A1,2,3，B3,4，从A到B的映射f满足f(3)3，求这样的映射共有多少个？【提示】由于要求f(3)3，因此只需考虑剩下两个元素的象的问题，总共有如图所示的4种可能探究2集合Aa，b，B1,0,1，从A到B的映射f：AB满足f(a)f(b)0，求这样的映射f：AB的个数【提示】由已知，当f(a)0，f(b)0时，得f(a)f(b)0；当f(a)1，f(b)1时，得f(a)f(b)0；当f(a)1，f(b)1时，得f(a)f(b)0.所以符合条件的映射共3个已知Aa，b，c，B2,0,2，映射f：AB满足f(a)f(b)f(c)，求满足条件的映射的个数【精彩点拨】对含附加条件的映射问题，须按映射的定义一一列举或进行分类讨论【自主解答】(1)当A中三个元素都对应0时，则f(a)f(b)000f(c)有1个映射；(2)当A中三个元素对应B中两个时，满足f(a)f(b)f(c)的映射有4个，分别为202,022，(2)02,0(2)2.(3)当A中的三个元素对应B中三个元素时，有2个映射，分别为(2)20,2(2)0.因此满足条件的映射共有7个1一般地，若A中有m个元素，B中有n个元素，则AB共有nm个不同的映射2含条件的映射个数的确定，解决这类问题一定要注意对应法则所满足的条件，要采用分类讨论的思想，利用列举法来解决再练一题3已知Ax，y，Ba，b，c，集合A到集合B的所有不同的映射有多少个？【解】多对一(3个)一对一(6个)所以由AB的映射共有639(个)1下列对应法则f中，构成从集合P到S的映射的是()APR，S(，0)，xP，yS，f：xy|x|BPN，SN，xP，yS，f：yx2CP有理数，S数轴上的点，xP，f：x数轴上表示x的点DPR，Sy|y0，xP，yS，f：xy【解析】在选项A中，对于集合P中的任意一个x的值，在集合S中没有y值与之对应；在选项B和选项D中，对于集合P中的元素x0，在集合S中没有元素与之对应；只有选项C中的对应法则能构成从集合P到S的映射【答案】C2已知集合A1,2,3,4，B5,6,7，在下列A到B的四种对应法则中，其中A到B的映射是() (1)(2)(3)(4)图213A(1)(2)B(1)(3)C(1)(4) D(2)(4)【解析】根据映射定义【答案】A3已知集合Aa，b，Bc，d，则A到B的一一映射的个数有_个【解析】AB的一一映射有2个，如图【答案】24已知映射f：RR，x2x1，则x5时的象为_，f(x)10时的原象为_【解析】f：RR，x2x1.x5的象为2519.又f(x)10，2x110，x.【答案】95已知集合Ax|0x3，By|0y1判断下列对应是否是集合A到集合B的映射？是否是函数？是否是一一映射？并说明理由(1)f：xyx；(2)f：xy(x2)2；(3)f：xy(x1)2.【解】(1)因为0x3，所以0x1，所以对集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的象，所以对应f：AB是集合A到集合B的映射由于集合A与集合B都为数集，所以是函数对于集合B中的每一个元素y，由x3y及0y1，有03x3,0x3.即集合B中的每一个元素