微积分的基本思想及其在经济学中的应用 经济学与数学专业毕业设计 毕业论.docx

微积分的基本思想及其在经济学中的应用摘要： 微积分局部求近似、极限求精确的基本思想贯穿于整个微积分学体系中，而微积分在各个领域中又有广泛的应用，随着市场经济的不断发展，微积分的地位也与日俱增，本文着重研究微分在经济活动中边际分析、弹性分析、最值分析的应用，以及积分在最优化问题、资金流量的现值问题中的应用。关键词：微分 积分 基本思想 应用微积分是人类智慧最伟大的成就之一，局部求近似、极限求精确的基本思想是进一步学习高等数学的基础。随着市场经济的不断发展，利用数学知识解决经济问题显得越来越重要，运用微分和积分可以对经济活动中的实际问题进行量化分析，从而为企业经营者的科学决策提供依据。 1. 微积分的产生、发展及其作用微积分思想的萌发出现的比较早，中国战国时代的庄子天下篇中的“一尺之锤，日取其半，万事不竭”就蕴涵了无穷小的思想。经查阅文献晏能中.微积分数学发展的里程牌得知：到了十七世纪，欧洲许多数学家也开始运用微积分的思想来写极大值与极小值，以及曲线的长度等等。帕斯卡在求曲边形面积时，用到“无穷小矩形”的思想，并把无穷小概念引入数学，为后来莱布尼兹的微积分的产生奠定了基础。随着数学科学的发展，微积分得到了进一步的发展，其中欧拉对于微积分的贡献最大，他的无穷小分析引论、微分学、积分学三部著作对微积分的进一步丰富和发展起了重要的作用。之后，洛必达、达朗贝尔、拉格朗日、拉普拉斯、勒让德、傅立叶等数学家也对微积分的发展作出了较大的贡献。由于这些人的努力,微分方程、级数论得以产生，微积分也正式成为了数学一个重要分支。微积分的创立改变了整个数学世界。微积分的创立，极大的推动了数学自身的发展，同时又进一步开创了诸多新的数学分支，例如：微分方程、无穷级数、离散数学等等。此外，数学原有的一些分支，例如：函数与几何等等，也进一步发展成为复变函数和解析几何，这些数学分支的建立无一不是运用了微积分的方法。在微积分创设后这三百年中，数学获得了前所未有的发展。2. 微积分的基本思想局部求近似、极限求精确微积分是微分学和积分学的总称，它的基本思想是：局部求近似、极限求精确。以下我们具体阐述微分学与积分学的思想。2.1微分学的基本思想微分学的基本思想在于考虑函数在小范围内是否可能用线性函数或多项式函数来任意近似表示。直观上看来，对于能够用线性函数任意近似表示的函数，其图形上任意微小的一段都近似于一段直线。在这样的曲线上，任何一点处都存在一条惟一确定的直线该点处的“切线”。它在该点处相当小的范围内，可以与曲线密合得难以区分。这种近似，使对复杂函数的研究在局部上得到简化。现在我们来举一个例子物理中物体的运动速度：取坐标轴如下图，设路程函数 。已知, 求物体的运动速度(即变化率)的方法分为两步 （1）“局部求近似”：尽管物体在时段上作非匀速运动，但在微小时段上可近似看成是匀速运动的。以“匀”代“不匀”，或者说对变化率以“不变”代“变”，使用处理均匀问题的除法得近似值。 （2）“极限求精确”： 越小，近似程度越高，于是令，利用极限法便将此近似值转化为精确值，即。2.2积分学的基本思想积分学的最基本的概念是关于一元函数的定积分与不定积分。蕴含在定积分概念中的基本思想是通过有限逼近无限。因此极限方法就成为建立积分学严格理论的基本方法。现在我们来举一个例子物理中运动物体经过的路程：设速度函数已知，求运动物体所经过的路程也是上述两大步骤： （1）“局部求近似”：非均匀量近似于均匀量只有在微小局部才能成立。因此要处理这一非匀速变化的整体量，首先必须划分时间区间为若干小时间区间，再在各小时间区间上以“匀”代“不匀”，因此，这一思想需分为两步来实现： “分割”：将区间任意划分成n份，考察微小区间上的小段； “求近似”：在上将运动近似看作匀速运动，用处理相应均匀量的乘法得：，。 （2）“极限求精确”：由于所求的是整体量，因此先将局部的近似值累加起来再向精确值转化（利用极限法实现“精确”的过程），所以实现精确的思想也分为两步： “求和”： ； “求极限”： ，其中。可见，微分与积分虽然是微观和宏观两种不同范畴的问题，但它们的研究对象都是“非均匀”变化量，解决问题的基本思想方法也是一致的。可归纳为两步：a.微小局部求近似值；b.利用极限求精确。微积分的这一基本思想方法贯穿于整个微积分学体系中，并且将指导我们应用微积分知识去解决各种相关的问题。3.微分在经济学中的应用随着经济的发展及数学理论的完善,数学与经济学的关系越来越密切,应用越来越广泛.微积分作为数学知识的基础,介绍微积分与经济学的书也越来越多,然而大部分书或者着重介绍经济学概念或者着重介绍数学理论,很少有主要介绍微积分在经济学中的应用的书.本文将通过对一些简单的微积分知识在经济学中的应用,以使人们意识到理论与实际结合的重要性.3.1边际分析在经济学中，经常会遇到边际这一概念，如边际成本、边际收益、边际利润等等，从文献赵树源.经济应用数学基础（一）微积分看，经济学中的边际问题，就是相应的经济函数的变化率问题，即把一个经济函数的导数称为该函数的边际函数，边际函数在某一点的值称为边际值，总成本函数关于产量的导数称为边际成本，其经济含义是：当产量为时，再生产一个单位（即）所增加的总成本；边际收益是指总收益函数关于销售量的导数，其经济含义是：当销售量为时，再销售一个单位（即）所增加的总收益；边际利润是指总利润函数关于销售量的导数，其经济含义是：当销售量为时，再销售一个单位（即）所增加的总利润。 例1 已知某企业某种产品的收益（元）是销售量（吨）的函数求销售吨该产品时的边际收益，并说明其经济含义。解：依题意得，销售吨产品的总收益函数为因此，销售吨该产品的边际收益为其经济含义是：当销售量为吨时，再增加一吨（即）所增加的总收益是元。例2 某企业生产某种产品，每月的总成本（千元）是产量（件）的函数，如果每件产品的销售价格为万元，求每月生产件、件、件、件时的边际利润，并说明其经济含义。 解：依题意得，每月生产件产品的总收入函数为因此，生产件产品的利润函数为： 于是，边际利润函数为 则每月生产件、件、件、件时的边际利润分别是： 其经济含义是：当月产量为件时，再增产件，利润将增加元；当月产量为件时，再增产件，利润将增加元；当月产量为件时，再增产件，利润则不会增加；当月产量为件时，再增产件，利润反而会减少元。3.2弹性分析在文献蔡芷.财会数学中，某个变量对另一个变量变化的反映程度称为弹性或弹性系数。在经济工作中有多种多样的弹性，这决定于所考察和研究的内容，如果是价格的变化与需求反映之间有关系，那么这个反映就称为需求弹性。由于具体商品本身属性的不同以及消费需求的差异，同样的价格变化给不同商品的需求带来的影响是不同的。有的商品反应灵敏，弹性大，涨价降价会造成剧烈的销售变动；有的商品则反应呆滞，弹性小，价格变化对其没什么影响。需求弹性 对于需求函数,由于价格上涨时，商品的需求函数为单调减函数， 与异号，所以特殊定义需求对价格的弹性函数为。 设某商品的需求函数为，求需求弹性函数；的需求弹性。 解： ，说明当时，价格上涨，需求减少，需求变动的幅度小于价格变动的幅度； ，说明当时，价格上涨，需求也减少，需求变动的幅度与价格变动的幅度是一样的； ，说明当时，价格上涨，需求减少，需求变动的幅度大于价格变动的幅度。收益弹性 收益是商品价格与销售量的乘积，所以，在任何价格水平上，收益弹性与需求弹性之和等于。若时，价格上涨（或下降），收益增加（或减少）；若时，价格变动，收益不变；若时，价格上涨（或下降），收益减少（或增加）。 3.3最值分析 例1 国内市场和国外市场的需求函数分别,，某企业的总成本函数。企业为取得最大利润，在国内外市场销售产品可以实行差别定价或统一定价。求：（1）差别价格；（2）统一价格；（3）比较这两种定价的不同利润。 解：利润函数 （1）, , , （2）求最大利润而统一定价，即,合并两个需求函数 总收入为 (3) 差别价格时的利润为： 统一价格时的利润为： 综上所述，说明差别价格时取得的最大利润比较高。4.积分在经济学中的应用积分学是微分学的逆问题，利用积分学来研究经济变量的变化问题是经济学中的一个重要方法，不定积分是求全体原函数，定积分是求和式的极限。由边际函数求原函数，或求一个变上限的定积分，一般都采用不定积分来解决；如果求原函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决。对企业经营者来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的，不但可以给企业经营者提供精确的数值，而且在分析的过程中，还可以给企业经营者提供新的思路和视角。下面可以利用积分来解决最优化问题和资金流量的现值问题。 4.1最优化问题 例1 设生产个产品的边际成本，其固定成本为元,产品的单价规定为元。假设产销平衡，问生产量为多少时利润最大，并求出最大利润。 解：总成本函数为 总收益函数为 总利润 ，令，得 当生产量为个时，利润最大 最大利润为（元）在这里，应用了定积分，分析出利润最大，并不是意味着多增加产量就必定增加利润，只有合理安排生产量，才能取得最大的利润。因此，作为一个合格的企业经营者应该掌握相应的数学分析方法，从而为科学的经营决策提供可靠的依据。 4.2资金流量的现值问题如果某项投资的收益分若干期（通常是以一年为周期），那么每期期末的收益会有所不同。这种每期期末的收益就称为“资金流量”（或“收益流量”）。假设各期的收益流量分别为，那么对于第期期末资金流量，其现值是多少？亦即未来的收益现在值多少钱？假设利率为，可得到如下结论：在离散情况下，第期期末的收益流量的现值为， 全部期的收益流量的现值应为和式；在连续情况下，资金流量是时间的函数。若以年为单位，则第年的资金流量为，在很短的时间间隔内的资金流量的近似值，利率为，其现值应为；到年年末资金流量总和的现值就是从到的定积分，即 应特别指出，当每年的收益流量不变时（记为常数），则 在实际经济活动中，假设连续收益流量每年为元，持续年，且年利率为，问其现值是多少？这样的问题可以用公式求得由到的定积分，如此便可以求得现值。5.总结： 微积分局部求近似、极限求精确的基本思想方法贯穿于整个微积分学体系中，在经济日益发展的今天，微积分的地位也与日俱增，贷款、养老金、医疗保险、企业分配、市场需求等等金融问题越来越多地进入普通人的生活，利用微积分的知识有利于我们去解决各种相关的问题。 注释：边际：是指随着某一事物超过一定界限而随着再增加而带来的效用递减的状况。 弹性：是对供求相对于价格变动的反应程度进行定量分析的方法。 参考文献：1 祁卫红，罗彩玲.微积分学的产生和发展J.山西广播电视大学学报，2003，（02）.2 晏能中.微积分数学发展的里程牌J.达县师范高等专科学校学报，2002，（04）.3 同济大学数学教研室.高等数学（第四版）M.北京：高等教育出版社，1993.4 美托道林.数学在经济中的应用M.福州：福建科学技术出版社，1983,4.5 蔡芷.财会数学M.上海：知识出版社，1982,12.6 赵树嫄.经济应用数学基础（一）.微积分.中国人民大学出版社，2002.7 杨学忠.微积分M.中国商业出版社，2001.8 向菊敏.微积分在经济分析活动中的应用J.科技信息，2009（26）.9 髙哲.浅谈微积分在经济中的应用J.中国科技博览，2009（7）.10 王志平.高等数学大讲堂M.大连：大连理工大学出版社，2004.11 吴赣昌.微积分M.中国人民大学出版社，2004.12 谭瑞林，刘月芬.微积分在经济分析中的应用浅析J.商场现代化，2008（4）.13 张先荣.谈微积分在经济分析中的应用J.濮阳职业技术学院学报，2009,22（4）14 明清河.数学分析的思想与方法M.山东大学出版社，2004.15 Elizabeth George Bremigan.Ball State University 2005.An Analysis of Diagram Modification and Construction in StudentsSolutions to Applied calculus problems.Journal for Research in Mathematics Education,2005Vol.36,No.3:48-277.16Sandra Crespo.Cythia Nicol(2006).Challenging Pre-serviceteachersMathematical Understanding:The case of Division by zero.School.The basic thinking of calculus and its application in 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With continuing development of market economy, economic problems of mathematical knowledge becoming more and more important, the use of diffe