安徽省宿松县2017届高三数学一轮复习第12讲三角恒等变换及应用教案.docx

三角恒等变换及应用教学目标1经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；2能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；3能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）。 命题走向从近几年的高考考察的方向来看，这部分的高考题以选择、解答题出现的机会较多，有时候也以填空题的形式出现，它们经常与三角函数的性质、解三角形及向量联合考察，主要题型有三角函数求值，通过三角式的变换研究三角函数的性质。本讲内容是高考复习的重点之一，三角函数的化简、求值及三角恒等式的证明是三角变换的基本问题。历年高考中，在考察三角公式的掌握和运用的同时，还注重考察思维的灵活性和发散性，以及观察能力、运算及观察能力、运算推理能力和综合分析能力。 教学准备多媒体课件教学过程一知识梳理：1两角和与差的三角函数；。2二倍角公式；。3三角函数式的化简常用方法：直接应用公式进行降次、消项；切割化弦，异名化同名，异角化同角； 三角公式的逆用等。（2）化简要求：能求出值的应求出值；使三角函数种数尽量少；使项数尽量少；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数。（1）降幂公式；。（2）辅助角公式，。4三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。5三角等式的证明（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。二典例分析(2011广东高考)已知函数f(x)2sin，xR.(1)求f的值；(2)设，f，f(32)，求cos()的值(1)f(x)2sin，f2sin2sin.(2)，f，f(32)，2sin ，2sin.即sin ，cos .cos ，sin .cos()cos cos sin sin .由题悟法两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用、的三角函数表示的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的以题试法1(1)已知sin ，则_.(2)(2012济南模拟)已知为锐角，cos ，则tan()A3BC D7解析：(1)cos sin ，sin ，cos .原式.(2)依题意得，sin ，故tan 2，tan 2，所以tan.答案：(1)(2)B三角函数公式的逆用与变形应用典题导入(2013德州一模)已知函数f(x)2cos2sin x.(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；(2)若为第二象限角，且f，求的值(1)f(x)2cos2sin x1cos xsin x12cos，周期T2，f(x)的值域为(2)f，12cos ，即cos .为第二象限角，sin .由题悟法运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan tan tan()(1tan tan )和二倍角的余弦公式的多种变形等以题试法2(1)(2012赣州模拟)已知sincos ，则sin的值为()A.B.C. D.(2)若，则(1tan )(1tan )的值是_解析：(1)由条件得sin cos ，即sin cos .sin.(2)1tantan()，tan tan 1tan tan .1tan tan tan tan 2，即(1tan )(1tan )2.答案：(1)A(2)2角 的 变 换典题导入(1)(2012温州模拟)若3，tan()2，则tan(2)_.(2)(2012江苏高考)设为锐角，若cos，则sin的值为_(1)由条件知3，则tan 2.故tan(2)tan .(2)因为为锐角，cos，所以sin，sin 2，cos 2，所以sinsin. (1)(2)由题悟法1当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；2当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”3常见的配角技巧：2；()；()；.以题试法3设tan，tan，则tan()A.B.C. D.解析：选Ctantan.化简.原式cos 2x.由题悟法三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等以题试法1化简.解：法一：原式.法二：原式.三角函数式的求值典题导入(1)(2012重庆高考)()ABC. D.(2)已知、为锐角，sin ，cos，则2_.(1)原式sin 30.(2)sin ，cos ，cos()，(0，)，sin()，sin(2)sinsin cos()cos sin()0.又2.2.(1)C(2)由题悟法三角函数求值有三类(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角以题试法2(2012广州一测)已知函数f(x)tan.(1)求f的值；(2)设，若f2，求cos的值解：(1)ftan2.(2)因为ftantan()tan 2，所以2，即sin 2cos .又sin2cos21，由解得cos2.因为，所以cos ，sin .所以coscos cossin sin.三角恒等变换的综合应用典题导入(2011四川高考)已知函数f(x)sincos，xR.(1)求f(x)的最小正周期和最小值；(2)已知cos()，cos()，0，求证：220.(1)f(x)sincossinsin2sin，T2，f(x)的最小值为2.(2)证明：由已知得cos cos sin sin ，cos cos sin sin .两式相加得2cos cos 0.0，.224sin220.在本例条件不变情况下，求函数f(x)的零点的集合解：由(1)知f(x)2sin，sin0，xk(kZ)，xk(kZ)故函数f(x)的零点的集合为.由题悟法三角变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为yAsin(x)的形式再研究性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题以题试法3已知函数f(x)2cos xcossin2xsin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)当时，若f()1，求的值解：(1)因为f(x)2cos xcossin2xsin xcos xcos2 xsin xcos xsin2xsin xcos xcos 2xsin 2x2sin，所以最小正周期T.(2)由f()1，得2sin1，又，所以2，所以2或2，故或.板书设计三角恒等变换及应用1两角和与差的三角函数；。2二倍角公式；。3三角函数式的化简常用方法：直接应用公式进行降次、消项；切割化弦，异名化同名，异角化同角； 三角公式的逆用等。（2）化简要求：能求出值的应求出值；使三角函数种数尽量少；使项数尽量少；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数。（1）降幂公式；。（2）