高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理课后习题新人教A版.docx

2.3.1平面向量基本定理一、A组1.设e1,e2是同一平面内的两个向量,则有() A.e1,e2一定平行B.e1,e2的模相等C.同一平面内的任一向量a都有a=e1+e2(,R)D.若e1,e2不共线,则对同一平面内的任一向量a,存在,R,使得a=e1+e2解析:由平面向量基本定理知,D正确.答案:D2.已知向量a与b的夹角为,则向量2a与-3b的夹角为()A.B.C.D.解析:a与2a同向,b与-3b反向,向量2a与-3b的夹角和a与b的夹角互补,向量2a与-3b的夹角为.答案:C3.在矩形ABCD中,O为对角线的交点,=5e1,=3e2,则=()A.(5e1+3e2)B.(5e1-3e2)C.(3e2-5e1)D.(5e2-3e1)解析:如图,)=)=)=(5e1+3e2).答案:A4.若D点在ABC的边BC上,且=4=r+s,则3r+s的值为()A.B.C.D.解析:=4=r+s,)=r+s,r=,s=-,3r+s=3.答案:C5.如图,平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分,(不包含边界).设=m+n,且点P落在第部分,则实数m,n满足()A.m0,n0B.m0,n0C.m0D.m0,n0;方向相反,则n0.答案:B6.在等边三角形ABC中,O为ABC所在平面上一点,且2,则的夹角为.解析:2,O为BC的中点.又ABC为等边三角形,AOBC,的夹角为.答案:7.已知向量a在基底e1,e2下可以表示为a=2e1+3e2,若a在基底e1+e2,e1-e2下可表示为a=(e1+e2)+(e1-e2),则=,=.解析:由条件可知解得答案:-8.导学号08720057设D,E分别是ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC,若=1+2(1,2为实数),则1+2的值为.解析:如图,由题意知,D为AB的中点,=)=-.1=-,2=.1+2=-.答案:9.设e1,e2是两个不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.(1)证明:a,b可以作为一组基底;(2)以a,b为基底,求向量c=3e1-e2的分解式.(1)证明:假设a,b共线,则a=b(R),则e1-2e2=(e1+3e2).由e1,e2不共线,得所以不存在,故a,b不共线,即a,b可以作为一组基底.(2)解:设c=ma+nb(m,nR),则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.所以解得故c=2a+b.10.如图所示,在ABCD中,M,N分别是DC,BC的中点,已知=c,=d,试用c,d表示.解:在AMD中,=c-;在ABN中,=d-.则有=c,=d,两式联立解得d-c,c-d.二、B组1.已知在ABCD中,DAB=60,则的夹角为()A.30B.60C.120D.150解析:如图,的夹角为120.答案:C2.e1,e2为基底向量,已知向量=e1-ke2,=2e1-e2,=3e1-3e2,若A,B,D三点共线,则k的值是()A.2B.-3C.-2D.3解析:A,B,D三点共线,共线.又=e1-ke2,=e1-2e2,e1-ke2=(e1-2e2),即k=2.答案:A3.若=a,=b,=(-1),则等于()A.a+bB.a+(1-)bC.a+bD.a+b解析:由=,得=(),化简得a+b(-1).答案:D4.如图,AB是O的直径,点C,D是半圆弧的两个三等分点,=a,=b,则=()A.a-bB.a-bC.a+bD.a+b解析:连接CD,OD,点C,D是半圆弧的两个三等分点,.CDAB,CAD=DAB=30.OA=OD,ADO=DAO=30,CAD=ADO=30.ACDO.四边形ACDO为平行四边形,.a,=b,a+b.故选D.答案:D5.已知非零向量a,b,c满足a+b+c=0,向量a,b的夹角为120,且|b|=2|a|,则向量a与c的夹角为.解析:由题意可画出图形,在OAB中,OAB=60,又|b|=2|a|,ABO=30.BOA=90,a与c的夹角为180-BOA=90.答案:906.如图所示,在ABC中,AB=2,BC=3,ABC=60,AHBC于点H,M为AH的中点,若=+,则+=.解析:因为AB=2,BC=3,ABC=60,AHBC,所以BH=1,BH=BC.因为点M为AH的中点,所以)=.所以=,=,故+=.答案:7.过ABC的重心G任作一直线分别交AB,AC于点M,N,且(0),有人说无论M,N在AB,AC上如何变动,恒有+=3成立.你认为上述说法是否正确?请说明理由.解:题中说法是正确的.理由:事实上,不难证明),由于M,G,N三点共线,则存在实数m,满足=m+(1-m),于是,即+=3.8.导学号08720058如图所示,OMAB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且=x+y.(1)求x的取值范围.(2)当x=-时,求y的取值范围.解:(1)因为=x+y,以OA的反向延长线和OB为两邻边作平行四边形,由向量加法的平行四边形法则可知OP为此平行四边形的对角线,当OP长度增大且靠近OM时,x趋向负无穷大,所以x的取值范围是(-,0).(2)如图所示,当x=-时,在O