高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数1.2.2同角三角函数关系导学案苏教版.docx

1.2.2 同角三角函数关系课堂导学三点剖析1.同角三角函数关系【例1】已知sin-cos=,则sin3-cos3=_.思路分析：把sin3-cos3变形凑出含有sin-cos的代数式代入求值.解析 ：sin-cos=,(sin-cos)2=.1-2sincos=.sincos=.sin3-cos3=(sin-cos)(sin2+sincos+cos2)=(1+)=.答案：温馨提示 若已知sin-cos与sin+cos其中一个条件，求sin2cos2 ,sin3cos3时，常用凑出sincos与sincos的关系来变化.2求三角函数式的值及证明三角函数恒等式【例2】 已知cos=,求sin及tan的值.思路分析：用同角三角函数关系解题.解：cos0,且cos-1是第二或第三象限角.如果是第二象限角，那么sin=.tan=(-)=.如果是第三象限角，那么sin=-,tan =.温馨提示 (1)要会用公式sin2+cos2=1的变形sin2=1-cos2,cos2=1-sin2.(2)若已知正弦、余弦正切中的某一个三角函数值，但没有指定角所在的象限，要求另外两个三角函数值时，可按角所在象限分别进行讨论，进行运算，这时有两组结果，本题就属这种类型.【例3】求证：.思路分析1：注意到已给等式中含有正弦与余弦，因此采用正、余弦基本关系证明.证法1：左边=右边.原式成立.思路分析2：注意到欲证式中只含有一个角的函数，因此可用三角函数定义证明.证法2：设P（x,y）是象限角终边上一点，|OP|=r0,则由三角函数的定义知：sin=,cos=,且x2+y2=r2.所以，左式=右式.故原式成立.思路分析3：考虑到A=BA-B=0,故此题可采用比较法.证法3：因为-=,所以.3.关于“1”的变换【例4】 已知tan=2,求sin2-3sincos+1的值.思路分析：主要应用“1”的变换.解：sin2-3sincos+1=sin2-3sincos+(sin2+cos2)=2sin2-3sincos+cos2 =.温馨提示 已知tan的值，求形如asin2+bsincos+ccos2的值，可将分母1化为1=sin2+cos2代入，从而转化为关于tan的表达式后再求值.各个击破类题演练1已知=-1,求值.解析：由已知，tan =,所以，变式提升1已知tan为非零实数，用tan表示sin,cos.解：sin2 +cos2 =1,sin2=1-cos2.又=tan,tan2=.于是=1+tan2 cos2=.由于tan为非零实数，可知角的终边不在坐标轴上，从而cos=sin=costan=类题演练2已知sin+cos=,(0,)，求 tan的值.解：将已知等式平方，得2sincos=.sin+cos=0,sin0,cos0cos0sin,sin-cos0.而（sin-cos）2=1-2sincos=,于是sin-cos=.和已知等式联立，便可解得sin=,cos=,tan=.变式提升2已知f(x)=,若(,),则f(cos)+f(-cos)可化简为_.解：f(cos)+f(-cos)=答案：类题演练3求证：（1）;(2).思路分析：（1）切化弦，（2）左边入手，利用平方差公式.证明：（1）左边=右边.所以,原命题成立.（2）左边=所以，原命题成立.变式提升3已知tan2=2tan2+1,求证：sin2=2sin2-1.证明：因为tan2=2tan2+1,所以=,所以.所以sin2(1-sin2)=(1-sin2)(1+sin2).所以sin2=2sin2-1.类题演练4的值为（ ）A.sin+cos B.sin-cos C.cos-sin D.|sin+cos|解析：1+2sincos=sin2+2sincos+cos2=(sin+cos)2原式=|sin+cos|,故选D.答案：D变式提升4若0,2),且+=sin-cos,则的取值范围是（