高中数学第二讲参数方程四渐开线与摆线学案含解析.docx

四 渐开线与摆线1渐开线的产生过程把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线，相应的定圆叫做基圆2摆线的概念及产生过程一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹，叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线3圆的渐开线和摆线的参数方程(1)圆的渐开线方程：(为参数)(2)摆线的参数方程：(为参数)求圆的渐开线的参数方程求半径为4的圆的渐开线的参数方程关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知识和三角的有关知识建立等式关系以圆心为原点O，绳端点的初始位置为M0，向量OM0的方向为x轴正方向，建立坐标系设渐开线上的任意点M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为A，故OAAM.按渐开线定义，弧的长和线段AM的长相等，记和x轴正向所夹的角为(以弧度为单位)，则|AM|4.作AB垂直于x轴，过M点作AB的垂线，由三角函数和向量知识，得(4cos ，4sin )由几何知识知MAB，(4sin ，4cos )，得(4cos 4sin ，4sin 4cos )(4(cos sin )，4(sin cos )又(x，y)，因此有(是参数)这就是所求圆的渐开线的参数方程用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤(1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为M(x，y)(2)取定点运动中产生的某一角度为参数(3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式(4)用向量运算得到的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程1圆的渐开线(t是参数)上与t对应的点的直角坐标为()A. B.C. D.答案：A2基圆直径为10，求其渐开线的参数方程解：取为参数，为基圆上点与原点的连线与x轴正方向的夹角直径为10，半径r5.代入圆的渐开线的参数方程，得这就是所求的圆的渐开线的参数方程.求摆线的参数方程求半径为2的圆的摆线的参数方程利用向量知识和三角函数的有关知识求解当圆滚过角时，圆心为点B，圆与x轴的切点为A，定点M的位置如上图所示，ABM.由于圆在滚动时不滑动，因此线段OA的长和圆弧的长相等，它们的长都等于2，从而B点坐标为(2，2)，向量(2，2)，向量(2sin ，2cos )，(2sin ，2cos )，因此(22sin ，22cos )(2(sin )，2(1cos )动点M的坐标为(x，y)，向量(x，y)，所以这就是所求摆线的参数方程(1)圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹(2)根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母r是指定圆的半径，参数是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小3摆线(t是参数，0t2)与直线y2的交点的直角坐标是_答案：(2,2)或(32,2)4圆的半径为r，沿x轴正向滚动，圆与x轴相切于原点O.圆上点M起始处沿顺时针已偏转角试求点M的轨迹方程解：由题意设M(xM，yM)，则xMrrcosr(sin )，yMrrsinr(1cos )即点M的轨迹方程为(为参数)课时跟踪检测(十三)一、选择题1半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是()A B2 C12 D14解析：选C根据条件可知，圆的摆线方程为(为参数)，把y0代入，得2k(kZ)，此时x6k(kZ)2给出下列说法：圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点其中正确的说法有()A B C D解析：选C对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择体系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置3已知一个圆的参数方程为(为参数)，那么圆的摆线方程中参数取对应的点A与点B之间的距离为()A.1 B. C. D.解析：选C根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为(为参数)，把代入参数方程中可得即A，|AB| .4.如图ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH叫做“正方形的渐开线”，其中AE，EF，FG，GH的圆心依次按B，C，D，A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH的长是()A3 B4 C5 D6解析：选C根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2.所以曲线AEFGH的长是5.二、填空题5我们知道关于直线yx对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线(为参数)关于直线yx对称的曲线的参数方程为_解析：关于直线yx对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换，所以要写出摆线方程关于yx对称的曲线方程，只需把其中的x，y互换答案：(为参数)6已知圆的渐开线的参数方程是(为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是_，当参数时对应的曲线上的点的坐标为_解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.求当时对应的坐标只需把代入曲线的参数方程，得x，y，由此可得对应的坐标为.答案：27已知一个圆的摆线过点(1,0)，则摆线的参数方程为_.解析：圆的摆线的参数方程为(为参数)，令r(1cos )0，得2k(kZ)，代入xr(sin )，得xr(2ksin 2k)(kZ)，又过(1,0)，r(2ksin 2k)1(kZ)，r(kZ)又r0，kN*.答案：(为参数，kN*)三、解答题8有一个半径是2a的轮子沿着直线轨道滚动，在轮辐上有一点M，与轮子中心的距离是a，求点M的轨迹方程解：设轮子中心为O，则OMa.点M的轨迹即是以O为圆心，a为半径的基圆的摆线由参数方程知点M的轨迹方程为(为参数)9已知一个圆的摆线方程是(为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程解：首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16，该圆对应的渐开线参数方程是(为参数)10已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程解：令y0，可得a(1cos )0，由于a0，即得cos