数字电路及逻辑第二章.ppt

第二章 逻辑代数基础 学 习 要 求 掌握逻辑代数的基本概念，学会用逻辑函 数描述逻辑问题的基本方法 掌握逻辑代数的公理、基本定理和重要规 则 学会用代数法化简逻辑函数 掌握用卡诺图化简逻辑函数 2.1 逻辑代数的基本概念 逻辑代数是一个由逻辑变量集K，常量0和1 以及“与”、“或”、“非”三种基本运算构成 的一个封闭的代数系统，记为L=K, +, , , 0, 1。它是一个二值代数系统。常量0和1 表示真和假，无大小之分。 公理1 交换律 A+B=B+A ， A B=B A 公理2 结合律 （A+B）+C=A+（B+C） （A B） C=A （B C） 公理3 分配律 A+（B C）=（A+B） （A+C） A （B +C）=A B+A C 公理4 0-1律 A+0=A ， A 1=A A 0=0 , A+1=1 公理5 互补律 2.1.1 逻辑变量及基本逻辑运算 逻辑变量：仅取值0或取值1的变量。这里0 和1无大小之分，实际上代表着矛盾的双方 或事件的真假。（例如：开关的接通与断 开，电压的高和低，信号的有和无，电灯 的亮和灭等等。 只要是两种稳定的物理状态，都可以用0和 1这两种不同的逻辑值来表征。 一、“或”运算 如果决定某一事件发生的多个条件，只要有一个 或一个以上的条件成立，事件便可发生，这种因 果关系称之为“或”逻辑。在逻辑代数中，“或”逻 辑关系用“或”运算描述。“或”运算又称为逻辑加 ，其运算符为“+”或“”，两个变量的“或”运算可 表示为： F=A+B 或者 F=AB 读作“F等于A或B”，其中A、B是参加运算的两个 逻辑变量，F为运算结果。意思是：只要A、B中 有一个为1，则F为1；仅当A、B均为0时，F才为 0. “或”运算表 由“或”运算的运算表可知 0+0=0 1+0=1 “或”运算的法则为： 0+1=1 1+1=1 实现“或”运算的逻辑电路称为“或”门！ 二、“与”运算 如果决定某一事件发生的多个条件必须同时具备 ，事件才能发生，这种因果关系称为“与”逻辑。 逻辑代数中“与”逻辑关系用“与”运算描述。“与” 运算又称为逻辑乘，其运算符为“”或“”。两个 变量的“与”运算可以表示为 F=AB 或 F=AB 读作“F等于A与B”，意思是若A、B均为1，则F 为1，否则F为0 “与”运算表 由“与”运算的运算表可知 00=0 10=0 “与”运算的法则为： 01=0 11=1 实现“与”运算的逻辑电路称为“与”门！ 三、“非”运算 如果某一事件的发生取决于条件的否定，则这种因 果关系称为“非”逻辑。“非”逻辑用“非”运算符描 述。“非”运算又称为求反运算，运算符为“”或“ ”。“非”运算可以表示为 F= 或F=A 读作“F等于A非”，意思是若A=0，则F为1；反之 ，若A=1，则F为0. “非”运算表 由“非”运算的运算表可知 “非”运算的法则为： 实现“非”运算的逻辑电路称为“非”门！ 2.1.2 逻辑函数 一、逻辑函数的定义 设某一电路的输入逻辑变量为A1, A2, An,输 出逻辑变量为F。如果当A1, A2, An的值确定后 ，F的值就唯一地被定下来，则F称为A1, A2, An,的逻辑函数，记为 F=f（ A1, A2, An ） 逻辑电路的功能可由相应逻辑函数完全描述 与普通函数概念相比逻辑函数有如下特点： 1）逻辑变量与逻辑函数的取值只有0和1； 2）逻辑函数与逻辑变量的关系由 “与”、“或”、“ 非”运算决定 二、逻辑函数的相等 设有两个逻辑函数 F1=f1（ A1, A2, An ） F2=f2（ A1, A2, An ） 若对应于A1, A2, An的任何一组取值，F1和F2 的值都相同，则称函数F1和函数F2相等，记作 F1=F2 亦称函数F1和函数F2是等价的 2.1.3 逻辑函数的表示法 一、逻辑表达式 由逻辑变量、常量和逻辑运算符构成的合法表达式 例： 逻辑表达式书写省略规则： 进行非运算可不加括号，如 “与”运算符一般可以省略，AB可以写成AB 可根据先“与”后“或”的顺序去括号 （AB）+（AC）=AB+AC 二、真指表 2.2 逻辑代数的基本定理与基本规则 2.2.1 基本定理 2.2.2 逻辑代数的重要规则 一、代入规则 任何一个含有变量A的逻辑等式，如果 将所有出现A的位置都代之以同一个逻辑函 数F，则等式仍然成立。 二、反演规则 如果将逻辑函数F中所有的“”变成“+”， “+”变成“”，“0”变成“1”，“1”变成“0”，原变 量变成反变量，反变量变成原变量，所得 到的新函数是原函数的反函数 使用反演规则时，应注意保持原函数中运算符号的优先 顺序不变！ 三、对偶规则 如果将逻辑函数F中所有的“”变成“+”，“+” 变成“”，“0”变成“1”，“1”变成“0”，则所得到 的新逻辑函数F是逻辑函数F的对偶式。如果 F是F的对偶式，则F也是F的对偶式，即F和 F互为对偶式。 求某一函数F的对偶式时，同样要注意保持原函数中运算 优先顺序不变！ 对偶规则：若两个逻辑函数F和G相等，则其对偶式 F 和G 也相等！ 2.3 逻辑函数表达式的形式与变换 2.3.1 逻辑函数表达式的基本形式 两种基本形式：“积之和”表达式 “和之积”表达式 “积之和”：由若干个 “与”项经“或”运算形成的表达式 ： “和之积”：由若干个 “或”项经“与”运算形成的表达式 ： 既不是“与或”表达式，也不是“或与”表达式！ 2.3.2 逻辑函数表达式的标准形式 一、最小项 如果一个具有n个变量的函数的“积”项 包含全部n个变量，每个变量都以原变量或 反变量形式出现，且仅出现一次，则这个“ 积”项被称为最小项。 假如一个函数完全由最小项所组成，那 么该函数表达式称为标准“积之和”表达式 ，即“最小项之和”，标准“与或”式。 三变量函数的最小项 注意 变量的顺序！ 即n个变量的所有最小项之和恒为1 二、最大项 如果一个具有n个变量的函数的“和”项 包含全部n个变量，每个变量都以原变量或 反变量形式出现，且仅出现一次，则这个“ 和”项被称为最大项。 假如一个函数完全由最大项所组成，那 么该函数表达式称为标准“和之积”表达式 ，即“最大项之和”，标准“或与”式。 三变量函数的最大项 注意 变量的顺序！ 即n个变量的所有最大项之积恒为0 三、两种标准形式的转换 以最小项之和的形式表示的函数可以转 换为最大项之积的形式，反之亦然。 2.3.3 逻辑函数表达式的转换 任何一个逻辑函数，总可以将其转换成 “最小项之和”及“最大项之积”的形式。常 用代数转换法或真指表转换法。 一、代数转换法 用代数法求一个函数“最小项之和”的形 式，一般分为两步： 类似地， 用代数法求一个函数“最大项 之积”的形式，也可分为两步： 二、真值表转换法 一个逻辑函数的真值表与它的最小项 表达式和最大项表达式均存在一一对应的 关系。 函数F的最小项表达式由使F取值为1 的全部最小项之和组成；函数F的最大项表 达式由使F取值为0的全部最大项之积组成 。 注意 任何一个逻辑函数的两种标准形式唯一！ 2.4 逻辑函数的化简 2.4 .1 代数化简法 该方法运用逻辑代数的公理、定理和 规则对逻辑函数进行推导、变换而进行化 简，没有固定的步骤可以遵循，主要取决 于对公理、定理和规则的熟练掌握及灵活 运用的程度。有时很难判定结果是否为最 简。 一、“与或”式的化简 二、“或与”式的化简 2.4 .2 卡诺图化简法 该方法简单、直观、容易掌握，当变量 个数小于等于6时非常有效，在逻辑设计中 得到广泛应用！ 一、卡诺图的构成 n个变量的卡诺图是一种由2n个方格构成 的图形，每一个方格表示逻辑函数的一个 最小