高考数学一轮复习第五章数列5.3等比数列及其前n项和教案.docx

等比数列及其前n项和【教学目标】1.理解等比数列的概念2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题4.了解等比数列与指数函数的关系.【重点难点】 1.教学重点： 理解等比数列的概念并掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.2.教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】教学流程教师活动学生活动设计意图环节二：考纲传真:1.理解等比数列的概念2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题4.了解等比数列与指数函数的关系.真题再现;1.(2016全国，17)已知数列an的前n项和Sn1an，其中0.(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5，求.(1)证明由题意得a1S11a1，故1，a1，a10.由Sn1an，Sn11an1，得an1an1an，即an1(1)an，由a10，0得an0，所以.因此an是首项为，公比为的等比数列，于是an.(2)解由(1)得Sn1.由S5得1，即.解得1.2.(2014全国，17)已知数列an满足a11，an13an1.(1)证明是等比数列，并求an的通项公式；(2)证明.证明(1)由an13an1得an13又a1，所以是首项为，公比为3的等比数列.an，因此an的通项公式为an.(2)由(1)知.因为当n1时，3n123n1，所以.于是1.所以.知识梳理：知识点1等比数列的有关概念1定义；如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，公比的表达式为q.2等比中项；如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项即G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2ab.知识点2等比数列的有关公式1通项公式：ana1qn1amqnm.2前n项和公式：Sn1必会结论；等比数列的性质(1)对任意的正整数m，n，p，q，若mnpq2k，则amanapaqa.(2)若数列an，bn(项数相同)是等比数列，则an，|an|，a，anbn，(0)仍然是等比数列(3)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为qk.(4)公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn，当公比为1时，Sn，S2nSn，S3nS2n不一定构成等比数列(5)若等比数列an共2k(kN*)项，则q.2必清误区；(1)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1与q1分类讨论，与等差数列不同(2)由an1qan(q0)并不能断言an是等比数列，还要验证a10.考点分项突破考点一：等比数列的基本运算1(2015全国卷)已知等比数列an满足a13，a1a3a521，则a3a5a7()A21 B42 C63 D84【解析】a13，a1a3a521，33q23q421.1q2q47.解得q22或q23(舍去)a3a5a7q2(a1a3a5)22142.故选B.【答案】B2已知等比数列an中，a22，a5128.(1)求通项an；(2)若bnlog2an，数列bn的前n项和为Sn，且Sn360，求n的值【解】(1)设an的公比为q，由a22，a5128，及a5a2q3，得1282q3，所以q4，所以ana2qn224n222n3.(2)因为bnlog222n32n3，所以数列bn是以1为首项，2为公差的等差数列，所以Snn(1)2n22n，令n22n360，得n120，n218(舍)，故n20为所求归纳：解决等比数列有关问题的常见思想方法1方程的思想；等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解2数形结合的思想；通项ana1qn1可化为anqn，因此an是关于n的函数，点(n，an)是曲线yqx上一群孤立的点3分类讨论的思想；当q1时，an的前n项和Snna1；当q1时，an的前n项和Sn.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，此处是常考点，也是易错点考点二: 等比数列的判定与证明(1)(2014重庆高考)对任意等比数列an，下列说法一定正确的是()Aa1，a3，a9成等比数列 Ba2，a3，a6成等比数列Ca2，a4，a8成等比数列 Da3，a6，a9成等比数列(2)(2014全国卷)已知数列an满足a11，an13an1.证明：是等比数列，并求an的通项公式；证明：.【解析】(1)设等比数列的公比为q，因为q3，即aa3a9，所以a3，a6，a9成等比数列故选D.【答案】D(2)由an13an1得an13.又a1，所以是首项为，公比为3的等比数列an，因此an的通项公式为an.由知.因为当n1时，3n123n1，所以.于是1.所以.跟踪训练：1.设数列an的前n项和为Sn，已知a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)(1)求a2，a3的值；(2)求证：数列Sn2是等比数列【解】(1)a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)，当n1时，a1212；当n2时，a12a2(a1a2)4，a24；当n3时，a12a23a32(a1a2a3)6，a38.(2)证明：a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)，当n2时，a12a23a3(n1)an1(n2)Sn12(n1)，得nan(n1)Sn(n2)Sn12nanSn2Sn12，Sn2Sn120，即Sn2Sn12.Sn22(Sn12)S1240.Sn120，2.即Sn2是以4为首项，2为公比的等比数列归纳：等比数列的判定方法1定义法：若q(q为非零常数，nN*)或q(q为非零常数且n2，nN*)，则an是等比数列2等比中项公式法：若数列an中，an0且aanan2(nN*)，则数列an是等比数列3通项公式法：若数列通项公式可写成ancqn1(c，q均是不为0的常数，nN*)，则an是等比数列4前n项和公式法：若数列an的前n项和Snkqnk(k为常数且k0，q0,1)，则an是等比数列考点三: 等比数列性质的应用(1)(2014广东高考)若等比数列an的各项均为正数，且a10a11a9a122e5，则ln a1ln a2ln a20_.(2)设等比数列an的前n项和为Sn，若，则_.【解析】(1)因为a10a11a9a122a10a112e5，所以a10a11e5.所以ln a1ln a2ln a20ln(a1a2a20)ln(a1a20)(a2a19)(a10a11)ln(a10a11)1010ln(a10a11)10ln e550ln e50.(2)法一S6S312，an的公比q1.由得q3，.法二因为an是等比数列，所以S3，S6S3，S9S6也成等比数列，即(S6S3)2S3(S9S6)，将S6S3代入得.【答案】(1)50(2)跟踪训练：1在各项均为正数的等比数列an中，a31，a51，则a2a2a6a3a7()A4B6C8D84【解析】在等比数列中，a3a7a，a2a6a3a5，所以a2a2a6a3a7a2a3a5a(a3a5)2(11)2(2)28.【答案】C2各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若Sn2，S3n14，则S4n_.【解析】由等比数列的性质知，Sn，S2nSn，S3nS2n，S4nS3n成等比数列设S2nx，则2，x2,14x成等比数列，则有(x2)22(14x)，解得x6，即S2n6，从而数列Sn，S2nSn，S3nS2n，是首项为2，公比为2的等比数列，则S4nS3n2416，因此S4n30.【答案】30归纳：等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类：(1)通项公式的变形；(2)等比中项的变形；(3)前n项和公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口。学生通过对高考真题的解决，发现自己对知识的掌握情况。 学生通过对高考真题的解决，感受高考题的考察视角。 教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。引导学生通过对基础知识的逐点扫描，来澄清概念，加强理解。从而为后面的练习奠定基础.在解题中注意引导学生自主分析和解决问题，教师及时点拨从而提高学生的解题能力和兴趣。教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。 通过对考纲的解读和分析。让学生明确考试要求，做到有的放矢由常见问题的解决和总结，使学生形成解题模块，提高模式识别能力和解题效率。教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。引导学生对所学的知识进行小结，由利于学生对已有的知识结构进行编码处理，加强理解记