高中数学第二章推理与证明2.1.1合情推理学案含解析.docx

21.1合情推理归纳推理如图甲是第七届国际数学教育大会(简称ICME7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1A1A2A2A3A7A81，如果把图乙中的直角三角形依此规律继续作下去，记OA1，OA2，OAn的长度构成数列an，问题1：试计算a1，a2，a3，a4的值提示：由图知a1OA11，a2OA2，a3OA3，a4OA42.问题2：由问题1中的结果，你能猜想出数列an的通项公式an吗？提示：能猜想出an(nN*)问题3：直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180，你能猜想出什么结论？提示：所有三角形的内角和都是180.问题4：以上两个推理有什么共同特点？提示：都是由个别事实推出一般结论1归纳推理的定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理2归纳推理的特征归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理归纳推理的特点(1)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具；(2)一般地，如果归纳的个别对象越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠.类比推理和合情推理问题1：在三角形中，任意两边之和大于第三边那么，在四面体中，各个面的面积之间有什么关系？提示：四面体中任意三个面的面积之和大于第四个面的面积问题2：三角形的面积等于底边与高乘积的.那么，在四面体中，如何表示四面体的体积？提示：四面体的体积等于底面积与高乘积的.问题3：以上两个推理有什么共同特点？提示：根据三角形的特征，推出四面体的特征问题4：以上两个推理是归纳推理吗？提示：不是归纳推理是从特殊到一般的推理，而以上两个推理是从特殊到特殊的推理1类比推理的定义由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理2类比推理的特征类比推理是由特殊到特殊的推理3合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，称为合情推理对类比推理的定义的理解(1)类比推理是两类对象特征之间的推理(2)对象的各个性质之间并不是孤立存在的，而是相互联系和相互制约的，如果两个对象有些性质相似或相同，那么它们另一些性质也可能相似或相同(3)在数学中，我们可以由已经解决的问题和已经获得的知识出发，通过类比提出新问题和获得新发现数、式中的归纳推理已知数列an的前n项和为Sn，a1，且Sn2an(n2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式当n1时，S1a1；当n2时，2S1，所以S2；当n3时，2S2，所以S3；当n4时，2S3，所以S4.猜想：Sn，nN*.归纳推理的一般步骤归纳推理的思维过程大致是：实验、观察概括、推广猜测一般性结论该过程包括两个步骤：(1)通过观察个别对象发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)(1)(山东高考)观察下列等式：2212；222223；222234；222245；照此规律，2222_. (2)将全体正整数排成一个三角形数阵：12345678910按照以上排列的规律，则第n(n3)行从左向右数第3个数为_解析：(1)通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的是个固定数，后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中的系数的一半，后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为n(n1)，即n(n1) (2)前(n1)行共有正整数个，即个，因此第n行从左向右数第3个数是全体正整数中第个，即为.答案：(1) n(n1)(2)图形中的归纳推理(1)有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()A26B31C32 D36(2)把1,3,6,10,15,21，这些数叫做三角形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如下图)，则第七个三角形数是_(1)法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：图案123个数61116由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是65(61)31.法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为65(61)31.故选B.(2)第七个三角形数为123456728.答案：(1)B(2)28解决图形中归纳推理的方法解决与图形有关的归纳推理问题常从以下两个方面着手：(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系(2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化如图，第n个图形由正n2边形“扩展”而来(n1，2,3，)，则第n个图形中的顶点个数为()A(n1)(n2)B(n2)(n3)Cn2 Dn解析：选B第一个图形共有1234个顶点，第二个图形共有2045个顶点，第三个图形共有3056个顶点，第四个图形共有4267个顶点，故第n个图形共有(n2)(n3)个顶点.类比推理设等差数列an的前n项和为Sn，则S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列，类比以上结论有：设等比数列bn的前n项积为Tn，则T4，_，_，成等比数列由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时，类比等比数列为依次每4项的积成等比数列下面证明该结论的正确性：设等比数列bn的公比为q，首项为b1，则T4bq6，T8bq127bq28，T12bq1211bq66，T16bq1215bq120，bq22，bq38，bq54，即2T4，2，故T4，成等比数列答案：类比推理的一般步骤类比推理的思维过程大致是：观察、比较联想、类推猜测新的结论该过程包括两个步骤：(1)找出两类对象之间的相似性或一致性；(2)用一类对象的性质去猜测另一类对象的性质，得出一个明确的命题(猜想)如右图，在ABC中，abcos Cccos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，写出对空间四面体性质的猜想解：如右图所示，在四面体PABC中，S1，S2，S3，S分别表示PAB，PBC，PCA，ABC的面积，依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小猜想SS1cos S2cos S3cos .三角形与四面体有下列相似性质：(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质，并填写下表：三角形四面体三角形的两边之和大于第三边三角形的中位线的长等于第三边长的一半，且平行于第三边三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心三角形和四面体分别是平面图形和空间图形，三角形的边对应四面体的面，即平面的线类比到空间为面三角形的中位线对应四面体的中截面(以任意三条棱的中点为顶点的三角形)，三角形的内角对应四面体的二面角，三角形的内切圆对应四面体的内切球具体见下表：三角形四面体三角形的两边之和大于第三边四面体的三个面的面积之和大于第四个面的面积三角形的中位线的长等于第三边长的一半，且平行于第三边四面体的中截面的面积等于第四个面的面积的，且平行于第四个面三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心1解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何中，相关类比点如下：平面图形点线边长面积线线角三角形平行四边形圆空间图形线面面积体积二面角四面体平行六面体球2常见的从平面到空间的类比有以下几种情况，要注意掌握：(1)三角形类比到三棱锥：例：在平面几何里，有勾股定理：“设ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2AC2BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥ABCD的三个侧面ABC，ACD，ADB两两相互垂直，则_”解析：“直角三角形的直角边长、斜边长”类比为“直角三棱锥的侧面积、底面积”答案：SSSS(2)平行四边形类比到平行六面体：例：平面几何中，有结论：“平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和”类比这一结论，将其拓展到空间，可得到结论：“_.”解析：“平行四边形的边、对角线”类比为“平行六面体的棱、对角线”答案：平行六面体四条对角线的平方和等于十二条棱的平方和(3)圆类比到球：例：半径为r的圆的面积S(r)r2，周长C(r)2r，若将r看作(0，)上的变量，则(r2)2r.式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数对于半径为R的球，若将R看作(0，)上的变量，请你写出类似于的式子：_，式可以用语言叙述为_解析：通过给出的两个量之间的关系，类比球的体积公式和球的表面积公式，我们不难发现4R2，从而使问题解决答案：4R2球的体积函数的导数等于球的表面积函数(4)平面解析几何类比到空间解析几何：例：类比平面内一点P(x0，y0)到直线AxByC0(A2B20)的距离公式，猜想空间中一点P(x0，y0，z0)到平面AxByCzD0(A2B2C20)的距离公式为d_.解析：类比平面内点到直线的距离公式d，易知答案应填.答案：1平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比我们可以得到()A空间中平行于同一直线的两直线平行B空间中平行于同一平面的两直线平行C空间中平行于同一直线的两平面平行D空间中平行于同一平面的两平面平行解析：选D利用类比推理，平面中的直线和空间中的平面类比2根据给出的等式猜测123 45697等于()192111293111123941 1111 2349511 11112 34596111 111A1 111 110B1 111 111C1 111 112 D1 111 113解析：选B由题中给出的等式猜测，应是各位数都是1的七位数，即1 111 111.3在平面上，若两个正三角形的边长比为12，则它们的面积比为14.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为12，则它们的体积比为_解析：.答案：184观察下列等式：132332,13233362根据上述规律，第五个等式为_解析：观察等式，发现等式左边各指数幂的指数均为3，底数之和等于右边指数幂的底数，右边指数幂的指数为2，故猜想第五个等式应为132333435363(123456)2212.答案：1323334353632125已知结论：“在三边长都相等的ABC中，若D是BC的中点，G是ABC外接圆的圆心，则2.”若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD中，若M是BCD的三边中线的交点，O为四面体ABCD外接球的球心，则k(k为定值)”，求k的值解：如右图，易知球心O在线段AM上，不妨设四面体ABCD的边长为1，外接球的半径为R，则BM，AM，R，解得R.于是，k3.一、选择题1下列类比推理恰当的是()A把a(bc)与loga(xy)类比，则有loga(xy)logaxlogayB把a(bc)与sin(xy)类比，则有sin(xy)sin xsin yC把(ab)n与(ab)n类比，则有(ab)nanbnD把a(bc)与a(bc)类比，则有a(bc)abac答案：D2已知bn为等比数列，b52，则b1b2b3b929.若an为等差数列，a52，则an的类似结论为()Aa1a2a3a929Ba1a2a929Ca1a2a929Da1a2a929解析：选D等比数列中的积运算类比等差数列中的和运算，从而有a1a2a92229.3观察式子：1，1，1，则可归纳出第n1个式子为()A1B1C1D1解析：选C观察可得第n1个式子为：不等式的左边为的前n项的和，右边为分式.4古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数比如：他们研究过图中的1,3,6,10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图中的1,4,9,16，这样的数为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A289 B1 024C1 225 D1 378解析：选C记三角形数构成的数列为an，则a11，a2312，a36123，a4101234，可得通项公式为an123n.同理可得正方形数构成的数列的通项公式为bnn2.将四个选项的数字分别代入上述两个通项公式，使得n都为正整数的只有1 225.5将正整数排成如下形式：12 3 45 6 7 8 910 11 1213141516则数字2 017出现在()A第44行第80列B第45行第80列C第44行第81列 D第45行第81列解析：选D第n行有2n1个数字，前n行的数字个数为135(2n1)n2.4421 936，4522 025，且1 9362 0172 025，2 017在第45行又2 0252 0178，且第45行有245189个数字，2 017在第89881列二、填空题6设函数f(x)(x0)，观察：f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x)，根据以上事实，由归纳推理可得：当nN*且n2时，fn(x)f(fn1(x)_.解析：由已知可归纳如下：f1(x)，f2(x)，f3(x)，f4(x)，fn(x).答案：7在平面直角坐标系xOy中，二元一次方程AxBy0(A，B不同时为0)表示过原点的直线类似地，在空间直角坐标系Oxyz中，三元一次方程AxByCz0(A，B，C不同时为0)表示_解析：由方程的特点可知：平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面，“过原点”类比仍为“过原点”，因此应得到：在空间直角坐标系Oxyz中，三元一次方程AxByCz0(A，B，C不同时为0)表示过原点的平面答案：过原点的平面8观察下列等式：2335，337911，4313151719，532123252729，若类似上面各式方法将m3分拆得到的等式右边最后一个数是109，则正整数m等于_解析：经观察，等式右边的数组成数列：3,5,7,9,11，所以由3(n1)2109，得n54，再由等式右边的数的个数为2,3,4，且分别等于左边数的底数，可得234m54，即54，解得m10.答案