高中数学第二章随机变量及其分布2.3.1.离散型随机变量的均值学案含解析.docx

23.1离散型随机变量的均值1离散型随机变量的均值(1)定义：若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn则称E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的均值或均值(2)意义：它反映了离散型随机变量取值的平均水平(3)性质：若YaXb，其中a，b为常数，X是随机变量，则Y也是随机变量，且有E(aXb)aE(X)b.2两点分布与二项分布的均值XX服从两点分布XB(n，p)E(X)p(p为成功概率)np1对离散型随机变量均值的理解离散型随机变量的均值E(X)是一个数值，是随机变量X本身固有的一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平2随机变量的均值与样本平均值的关系随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值求离散型随机变量的均值甲、乙两人各自独立破译某个密码，甲破译出密码的概率是，乙破译出密码的概率是，设破译出该密码的人数为X，求其均值设A，B分别为甲、乙破译出该密码的事件，X的可能取值是0,1,2.P(X0)P()P()P()；P(X1)P(A)P(B)；P(X2)P(AB)P(A)P(B).所以X的分布列是X012P因此E(X)012.求期望的关键是写出分布列，一般分四步(1)确定X可能的取值；(2)计算出P(Xk)；(3)写出分布列；(4)利用E(X)的计算公式计算E(X)盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有2节废电池现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值解：X可取的值为1,2,3，则P(X1)，P(X2)，P(X3)1.抽取次数X的分布列为X123PE(X)123.求两点分布及二项分布的均值某运动员投篮投中的概率为0.6.求：(1)一次投篮时投中次数X的均值；(2)重复5次投篮时投中次数Y的均值(1)X的分布列为X01P0.40.6则E(X)00.410.60.6，即一次投篮时投中次数X的均值为0.6.(2)Y服从二项分布，即YB(5,0.6)故E(Y)50.63，即重复5次投篮时投中次数Y的均值为3.设p为成功概率，则服从两点分布的离散型随机变量的均值为p，服从二项分布的离散型随机变量的均值为np.若将题型一中的“无放回”改为“有放回”，并去掉条件“直到取到好电池为止”，求检验5次取到好电池次数X的均值解：每次检验取到好电池的概率均为，故XB，则E(X)53.均值问题的实际应用随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为X.(1)求X的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X的均值)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？(1)X的所有可能取值有6,2,1，2，P(X6)0.63，P(X2)0.25，P(X1)0.1，P(X2)0.02.故X的分布列为X6212P0.630.250.10.02(2)E(X)60.6320.2510.1(2)0.024.34(万元)(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(X)60.72(10.70.01x)1x(2)0.014.76x(0x0.29)，依题意，E(X)4.73，即4.76x4.73，解得x0.03，所以三等品率最多为3%. 解答此类题目时，首先应把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应的均值交5元钱，可以参加一次抽奖，一袋中装有同样大小的10个球，其中8个标有“1元钱”，2个标有“5元钱”，抽奖者从中任取两个球，他所得的奖金是所抽取的两球上标的钱数之和，求抽奖人获利的均值解：设X为抽到的两球所标的钱数之和，则X的可能取值如下：X2，抽到两个标有“1元钱”的球；X6，抽到一个标有“1元钱”的球，一个标有“5元钱”的球；X10，抽到两个标有“5元钱”的球由题意可知P(X2)，P(X6)，P(X10).因此E(X)2610.若用Y表示抽奖人获利的可能值，则YX5，故获利的均值E(Y)E(X)551.4.(12分)现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分，该射手每次射击的结果相互独立假设该射手完成以上三次射击求该射手的总得分X的分布列及均值E(X)记：“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D.由题意知P(B)，P(C)P(D)，(2分)根据题意知X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.(3分)根据事件的独立性和互斥性得P(X0)P( )；(4分)P(X1)P(B )P(B)P()P()；(5分)P(X2)P( C D) P( C )P( D) ；(7分)P(X3)P(BC B D)P(BC )P(B D)；(8分)P(X4)P(CD)；P(X5)P(BCD).(10分)故X的分布列为X012345P(11分)所以E(X)012345.(12分) 利用公式计算应细心，不要出现计算错误.运动员射击一次所得环数X的分布列如下：X0678910P00.20.30.30.2现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为.(1)求的分布列；(2)求的均值解：(1)的可能取值为7,8,9,10，P(7)0.04，P(8)20.20.30.320.21，P(9)20.20.320.30.30.320.39，P(10)20.20.220.30.220.30.20.220.36，的分布列为78910P0.040.210.390.36(2)的均值为E()70.0480.2190.39100.369.07.1已知的分布列为1012P则的均值为()A0B1C.D.解析：选DE()1012.2同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为X，则X的均值是()A20B25C30 D40解析：选B抛掷一次正好出现3枚反面向上，2枚正面向上的概率为.所以XB.故E(X)8025.3某射手射击所得环数的分布列如下：78910Px0.10.3y已知的均值E()8.9，则y的值为_解析：依题意得即解得y0.4.答案：0.44设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3，P(Xk)akb(k1,2,3)又X的均值E(X)3，则ab_.解析：P(X1)ab，P(X2)2ab，P(X3)3ab，E(X)1(ab)2(2ab)3(3ab)3，14a6b3.又(ab)(2ab)(3ab)1，6a3b1.由可知a，b，ab.答案：5袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到1个黑球记0分，每取到1个白球记1分，每取到1个红球记2分，用X表示取得的分数求：(1)X的分布列；(2)X的均值解：(1)由题意知，X可能取值为0,1,2,3,4.P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).故X的分布列为X01234P(2)E(X)01234.一、选择题1若随机变量B(n,0.6)，且E()3，则P(1)的值为()A20.44B20.45C30.44 D30.64解析：选C因为B(n,0.6)，所以E()n0.6，故有0.6n3，解得n5.P(1)C0.60.4430.44.2设的分布列为1234P又设25，则E()等于()A. B.C. D.解析：选DE()1234，所以E()E(25)2E()525.3今有两台独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达的台数为，则E()等于()A0.765 B1.75C1.765 D0.22解析：选B可能的取值为0,1,2，P(0)(10.9)(10.85)0.015，P(1)0.9(10.85)0.85(10.9)0.22，P(2)0.90.850.765，所以E()00.01510.2220.7651.75.4现有10张奖券，8张2元的，2张5元的，某人从中随机抽取3张，则此人得奖金额的均值是()A6 B7.8C9 D12解析：选B设此人的得奖金额为X，则X的所有可能取值为12,9,6.P(X12)，P(X9)，P(X6)，故E(X)7.8.5节日期间，某种鲜花进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后卖不出的鲜花以每束1.6元处理根据节前的销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X(束)的分布列如下表若进这种鲜花500束，则期望利润是()X200300400500P0.200.350.300.15A706元 B690元C754元 D720元解析：选A节日期间这种鲜花需求量的均值E(X)2000.203000.354000.305000.154010512075340，则利润Y5X1.6(500X)5002.53.4X450，所以E(Y)3.4E(X)4503.4340450706.故期望利润为706元二、填空题6(四川高考)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是_解析：法一：由题意可知每次试验不成功的概率为，成功的概率为，在2次试验中成功次数X的可能取值为0,1,2，则P(X0)，P(X1)C，P(X2)2.所以在2次试验中成功次数X的分布列为X012P则在2次试验中成功次数X的均值为E(X)012.法二：此试验满足二项分布，其中p，所以在2次试验中成功次数X的均值为E(X)np2.答案：7已知随机变量的分布列为101Pm若a()3，E()，则a_.解析：由分布列的性质，得m1，即m，所以E()(1)01.则E()E(a3)aE()3，即a3，得a2.答案：28某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的记X为该毕业生得到面试的公司个数，若P(X0)，则随机变量X的均值E(X)_.解析：因为P(X0)(1p)2，所以p.随机变量X的可能值为0,1,2,3，因此P(X0)，P(X1)222，P(X2)222，P(X3)2，所以E(X)0123.答案：三、解答题9A，B两个试验方案在某科学试验中成功的概率相同，已知A，B两个方案至少一个成功的概率为0.36.(1)求两个方案均获成功的概率；(2)设试验成功的方案的个数为随机变量X，求X的分布列及均值解：(1)设A方案、B方案独立进行科学试验成功的概率均为x，则A，B方案在试验中都未能成功的概率为(1x)2，则1(1x)20.36，x0.2，所以两种方案均获成功的概率为0.220.04.(2)试验成功的方案种数X的分布列为X012P0.640.320.04因此随机变量X的均值E(X)00.6410.3220.040.4.10某高中数学竞赛培训在某学段共开设有初等代数、平面几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等代数、平面几何都要合格，且初等数论和微积分初步至少有一门合格，则能取得参加数学竞赛复赛的资格现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同(见下表)，且每一门课程是否合格相互独立.课程初等代数平面几何初等数论微积分初步合格的概率(1)求甲同学取得参加数学竞赛复赛资格的概率；(2)记表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛资格的人数，求的分布列及均值E()解：(1)分别记甲对初等代数、平面几何、初等数论、微积分初步这四门课程考试合格为事件A，B，C，D，且事件A，B，C，D相互独立，“甲能取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为P(ABCD)P(ABC)P(ABD).(2)由题设知的所有可能取值为0,1,2,3，B，P(0)C3，P(1)C2，P(2)C2，P(3)C3，的分布列为0123PB，E()3.11盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P.(2)从盒中一次