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概率论与数理统计 作业簿（第三册） 学 院 _专 业 _班 级 _ 学 号 _姓 名 _任课教师_ 第七次作业 一填空题： 1. 的分布列为: 1 2 3 4 P 1 10 2 5 1 5 3 10 则=E 2.7 。 2. 的分布列为: -1 0 1 2 1 2 P 1 3 1 6 1 6 1 12 1 4 则=E 1 3 ， (1) +=E 2 3 ， 2 =E 35 24 。 二填空题： 1. 若对任意的随机变量，E存在，则( ()E E E等于 （ C ） 。 (A)0 (B) (C)E (D) 2 ()E 2. 现有 10 张奖券，其中 8 张为 2 元，2 张为 5 元，某人从中随机地无放回地 抽取 3 张，则此人所得奖金的数学期望为 （ C ） (A) 6.5 （B）12 （C）7.8 （D）9 三计算题 1. 设随机变量 X 的概率密度为 2 1 1 01 ( ) 1 0 xx p x 1，求 EX 。 解解 21 11 111 00 1 1111 011 = EXxxdxxdxx 。 2. 设随机变量的概率密度函数 ,0 (= 0,0 x ex p x x ） 求 2 ,(23),()EEEe +和(max ,2)E。 解解 0 1 x Exe dx + = ； (23)235EE+=+=； 222 0 4 ()()1 3 xx EeEE eee dx + +=+= += ； 0 (max ,2)max ,2 ( )max ,2 x Exp x dxxe dx + = 2 2222 02 22(1)22 xx e dxxe dxeeee + =+=+=+ 。 3. 一台机器由三大部件组成， 在运转中各部件需要调整的概率分别为0.1，0.2 和0.3。假设各部件的状态相互独立，用表示同时需要调整的部件数，试 求的数学期望。 解解 设Ai =第i个部件需要调整（i=1,2,3） ， 则P(A1)=0.1，P(A2)= 0.2，P(A3)=0.3 。 所以 123 (0)()0.9 0.8 0.70.504PP A A A=， 123123123 (1)()()()0.389,PP A A AP A A AP A A A=+= 123123123 (2)()()()0.092,PP A A AP A A AP A A A=+= 123 (3)()0.006.PP A A A= 从而 0 0.504 1 0.3892 0.0933 0.0060.6E=+ + + =。 4. 设球的直径均匀分布在区间a , b内，求球的体积的平均值。 解解 设球的直径长为,且 , U a b,球的体积为,与直径的关系为 3 4 32 = ,那 么, 3 322 3 4()() 326624 b a xab ab EEEdx ba + = 。 5. 6个元件装在 3 台仪器上，每台仪器装两个，元件的可靠性为 0.5。如果一台仪器中 至少有一个元件正常工作，不需要更换，若两个元件都不工作，则要更换，每台仪器 最多更换一次，记 X 为 3 台仪器需要更换元件的总次数，求 EX 解解 随机变量X 的取值：k=0,1,2,3 ，每台仪器需要更换元件的概率: 0.5 0.50.25p =，则 3 ()(1),0,1,2,3 kkk n P XkC ppk = X 0 1 2 3 P 27/64 27/64 9/64 1/64 故 2727913 0123 646464644 EX =+ + + =。 （或0.75EXnp=） 6. 设是非负连续随机变量且E存在，对任意0试证 ()1 E P 得 ()( )( ) x Pp x dxp x dx + = 1 ( )xp x dx + = 0 1 ( ) E xp x dx + = ， 所以 ()1 E P 0为常数)， 则对任意常数 C，必有 （ D ） A E(X-C)2 = E(X2) - C2 B. E(X-C)2 = E(X- )2 C. E(X-C)2; (2) 试用切比雪夫不等式给出(| 0.6)P的上界. 解解 （1）(| 0.6)P=0.4 （2） 因为 1 0, 3 ED=，所以 (| 0.6)P 2 1100 (| 0.6) 3 0.6108 PE= 。 8. 证明：事件在一次试验中发生次数的方差一定不超过 1 4 。 证证 设事件A在一次试验中发生的概率为p ，又设随机变量 则 2 1 (1) 24 pq Dpppq + = 。 第九次作业 一 填空题 1. 设X服从泊松分布，若 2 6EX=，则(1)P X = 2 1 3e。 解 222 ( ), 6()XPEXDXEX=+=+ 故 2=. (1)1(1)1(0)(1)P XP XP XP X= = = 222 121 3eee = = . 2. 设随机变量( , )B n p， 已知2.4,1.44ED=， 则参数n= 6 ， p = 0.4 。 解 2.4,6, 1.44,0.4. Enpn Dnpqp = = 3. 某保险公司的某人寿保险险种有1000人投保，每个人在一年内死亡的概率 为0.005，且每个人在一年内是否死亡是相互独立的，欲求在未来一年内这 1000个投保人死亡人数不超过10人的概率。用Excel的 BINOMDIST 函 数计算。BINOMDIST（10 , 1000, 0.005, TRUE）= 0.986531_。 4. 运载火箭运行中进入其仪器仓的粒子数服从参数为4的泊松分布，用Excel 的 POISSON 函数求进入仪器舱的粒子数大于10的概率。 POISSON（10 , 4 ，TRUE）=0.9972, 所求概率p=_0.0028_。 5. (4)P，由切比雪夫不等式有(|4| 6)P，其中s是一个非负整数； （2） 试证(|)()PstsPt+=，其中s，t是非负整数。 （几何分布具有 无记忆性） 。 解解 （1） 1 11 ()()(1)k k sk s PsPkpp = += + = 0 1 (1)(1)(1)(1) skss k pppppp p = = 或者： 1 1 ()1()1(1) s k k PsPspp = = = 1 (1) 1(1) 1 (1) s s p pp p = = （2） ()() (|) ()() PstsPst Psts PsPs + += I (1) (1)() (1) s t t s p pPt p + = 。 3. 设随机变量X服从泊松分布，且)2(4)1(=XPXP，求(3)P X =。 解解： =+=+=eXPeeXPXPXP 2 )2(,) 1()0() 1( 2 由 )2(4) 1(=XPXP 知 =+eee 2 2 即 012 2 = 解得 1=，故 1 6 1 )3( =eXP. 4. 设在时间t (单位：min)内，通过某路口的汽车服从参数与t 成正比的泊松 分布。已知在1分钟内没有汽车通过的概率为0.2，求在2分钟内至少有2 辆车通过的概率。 （提示：设 t =“t时间内汽车数”,则() t Pt） 解解: 设 t =“t时间内汽车数”,则() t Pt, 那么 () () (0,1,2,) ! kt t te Pkk k =L, 由已知,得 0 1 ( ) (0)0.2ln5 0! e P =, 所以 0212 222 (2 )(2 ) (2)1(0)(1)1 0!1! ee PPP = = 22 242ln5 1(2 ). 25 ee = = 5. 在一次试验中事件A发生的概率为p，把这个试验独立重复做两次。在下 列两种情况下分别求p的值： （1） 已知事件A 至多发生一次的概率与事件A至少发生一次的概率相等； （2）已知事件A 至多发生一次的条件下事件A至少发生一次的概率为 1 2 。 解解 设为两次试验中事件A发生的次数，则(2, )Bp。 （1）由题意知，(1)(1)PP=，