直线与平面垂直的概念与判定直线和平面所成的角.ppt

第一课时 直线与平面垂直的概念和判定 2.3.1 直线与平面垂直的判定 问题提出 1.前面我们全面分析了直线与平面平行 的概念、判定和性质，对于直线与平面 相交，又有哪些相关概念和原理？我们 有必要进一步研究. 2.直线与直线存在有垂直关系，直线与 平面也存在有垂直关系，我们如何从理 论上加以认识？ 知识探究（一）：直线与平面垂直的概念 思考1：田径场地面上竖立的旗杆与 地面的位置关系给人以什么感觉？ 你还能列举一些类似的实例吗？ 思考2：将一本书打开直立在桌面上 ，观察书脊（想象成一条直线）与 桌面的位置关系呈什么状态？此时 书脊与每页书和桌面的交线的位置 关系如何？ 思考3：如图，在阳光下观察直立于 地面的旗杆及它在地面的影子，随着 时间的变化，影子BC的位置在移动， 在各时刻旗杆AB所在直线与影子BC所 在直线的位置关系如何？ A B C 思考4：上述旗杆与地面、书脊与桌 面的位置关系，称为直线与平面垂直 .一般地，直线与平面垂直的基本特 征是什么？怎样定义直线与平面垂直 ？ 如果一条直线与平面内的任意一 条直线都垂直，则称这条直线与这个 平面垂直. 思考5：在图形上、符号上怎样表示 直线与平面垂直？ l 思考6：如果直线l与平面垂直，则 直线l叫做平面的垂线，平面叫 做直线l的垂面，它们的交点叫做垂 足.那么过一点可作多少条平面的 垂线？过一点可作多少个直线l的垂 面？ l A 垂线 垂面 垂足 知识探究（二）：直线与平面垂直的判定 思考1：对于一条直线和一个平面，如果 根据定义来判断它们是否垂直，需要解 决什么问题？如何操作？ 思考2：我们需要寻求一个简单可行的办 法来判定直线与平面垂直. 如果直线l与平面内的两条直线垂直， 能保证l吗？ 如果直线l与平面内的一条直线垂直， 能保证l吗？ 思考3：如图，将一块三角形纸片ABC 沿折痕AD折起，把翻折后的纸片竖起 放置在桌面上，使BD、DC与桌面接触 ，观察折痕AD与桌面的位置关系. A B C D A B C D 思考4：由上可知当折痕AD垂直平面 内的两条相交直线时，折痕AD与 平面垂直.由此我们是否能得出直 线与平面垂直的判定方法？ A BC D A B C D 如何调整折痕AD的位置，才能使翻折后 直线AD与桌面所在的平面垂直？ 定理： 如果一条直线和一个平面 内的两条相交直线都垂直，那么这 条直线垂直于这个平面. 思考5：上述定理通常称为直线和平面垂 直的判定定理，它是判定直线与平面垂 直的理论依据.结合下图，怎样用符号语 言表述这个定理？ a l P b 判定定理判定定理 如果一条直线和一个平面内的如果一条直线和一个平面内的两条相交两条相交 直线直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. . B m n l 思考6：如果一条直线垂直于一个 平面内的无数条直线，那么这条直 线与这个平面垂直吗？ 理论迁移 例1 已知 .求证： a b c d m a b 例1、求证：如果两条平行直线中的一条垂直 于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面 ， n 结论：过一点和已知平面垂直的直 线只有一条 思考：过一点和已知平面垂直的直线有几条？ P 在面内 P 在面外 例2 在三棱锥P-ABC中，PA平面 ABC，ABBC，PA=AB，D为PB的中点 ，求证：ADPC. P A B C D 例3 侧棱与底面垂直的棱柱称为直 棱柱.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中， 当底面四边形ABCD满足什么条件时 ，有A1CB1D1，说明你的理由. A A1 B C D B1 C1 D1 D. 小结作业 P67 练习： 1. P74习题2.3B组：2，4. 第二课时 直线和平面所成的角 2.3.1 直线与平面垂直的判定 问题提出 1.直线和平面垂直的定义和判定 定理分别是什么？ 直线和平面垂直的定义： 如果一条直线与平面内的任意 一条直线都垂直，则称这条直线与 这个平面垂直. 直线和平面垂直的定理： 如果一条直线和一个平面内的两条 相交直线都垂直，那么这条直线垂直于 这个平面. 2.当直线与平面相交时，对于直线 与平面垂直的情形，我们已作了一些相 关研究，对于直线与平面不垂直的情形 ，我们需要从理论上作些分析. 知识探究（一）：平面的斜线 思考1:当直线与平面相交时，它们可能 垂直，也可能不垂直，如果一条直线和 一个平面相交但不垂直，这条直线叫做 这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫 做斜足.那么过一点作一个平面的斜线 有多少条？ l P 斜线 斜足 思考2:过斜线上斜足外一点向平面引 垂线，连结垂足和斜足的直线叫做这 条斜线在这个平面上的射影.那么斜 线l在平面内的射影有几条？ l P AB 思考3:两条平行直线、相交直线、异 面直线在同一个平面内的射影可能是 哪些图形？ 思考4:如图，过平面外一点P引平 面的两条斜线段PA、PB，斜足为A 、B，再过点P引平面的垂线，垂 足为O，如果PAPB，那么OA与OB的 大小关系如何？反之成立吗？ O P A B 思考5:如图，过平面内一点P引平 面的两条斜线PA、PB，这两条斜 线段在平面内的射影分别为PC、 PD，如果PAPB，那么PC与PD的大小 关系确定吗？ C P A B D 思考6:如图，直线l是平面的一条 斜线，它在平面内的射影为b，直 线a在平面内，如果ab，那么直 线a与直线l垂直吗？为什么？反之成 立吗？ a l b 知识探究（二）：直线和平面所成的角 思考1:平面的一条斜线与这个平面总存 在一个相对倾斜度，我们设想用一个平 面角来反映这个倾斜度，并且这个角的 大小由斜线与平面的相对位置关系所确 定，那么角的顶点宜选在何处？ l 思考2:如图，AB为平面的一条斜线 ，A为斜足，AC为平面内的任意一 条直线，能否用BAC反映斜线AB与 平面的相对倾斜度？为什么？ C A B 思考3:反映斜线与平面相对倾斜度 的平面角的顶点为斜足，角的一边 在斜线上，另一边在平面内的哪个 位置最合适？为什么？ P A B 思考4:我们把平面的一条斜线和它在平 面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线 和这个平面所成的角.在实际应用或解题 中，怎样去求这个角？ P A B 思考5:特别地，当一条直线与平面垂 直时，规定它们所成的角为90；当 一条直线和平面平行或在平面内时， 规定它们所成的角为0.这样，任何 一条直线和一个平面的相对倾斜度都 可以用一个角来反映，那么直线与平 面所成的角的取值范围是什么？ 思考6:如图，BAD为斜线AB与平面 所成的角，AC为平面内的一条直 线，那么BAD与BAC的大小关系如 何？ D C A B BAC BAD 思考7:两条平行直线与同一个平面 所成的角的大小关系如何？反之成 立吗？一条直线与两个平行平面所 成的角的大小关系如何？ 思考8:过平面外一点P引平面的 斜线，斜足为A，若斜线PA与平面 所成的角为50，那么点A在平面 内的运动轨迹是什么图形？ P AO 理论迁移 例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中. （1）求直线A1B和平面ABCD所成的角； （2）