数学建模论文储油罐的变位分析与罐容表标定.doc

储油罐的变位分析与罐容表标定 一、论文摘要通常的，加油站地下储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因会发生纵向倾斜及横向偏转等变位，从而导致与之配套的“油位计量管理系统”（即罐容表）受到影响而发生变化，所以必须重新标定罐容表示数以较准确的测量出油罐内油的体积。本文即针对储油罐发生变位时罐容表的标定问题建立了相应的数学模型。首先以简单的小椭圆型储油罐为模型着手，研究变位对罐容表的影响。 在无变位、以纵向变位的情况下分别建立空间直角坐标系，在不考虑罐壁厚度、浮子厚度（体积）以及进出油管道的体积等几项相对储油罐来说细微的影响，运用高等微积分关于二重积分的方法求出储油量和测量油位高度的关系。将计算结果所得函数与实际测量数据在同一个坐标系中作图， 讨论纵向变位时，要分五种情况来进行求解，得出有效地三段函数。然后综合三段结果于一起，再与变位前作比较，可以得到变位对罐容表的影响。通过计算，具体列表给出了罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值（这部分限于我目前的能力，仅仅是有理论，数据是借鉴的）。进一步考虑实际储油罐，两端为球冠体顶。把储油罐分成中间的圆柱体和两边的球冠体分别求解。中间的圆柱体求解类似于第一问，要分为五种情况。在计算球冠内储油量时为简化计算，将其内油面看做垂直于圆柱底面。根据几何关系，可以得到如下几个变量之间的关系：测量的油位高度 实际的油位高度 计算体积所需的高度于是得到罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b ）之间的一般关系。再利用附表2中的数据列方程组寻找a与b最准确的取值。最后可以得到罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。二、问题分析与思考本文是储油罐的变位分析与罐容表标定的问题，就是需要计算出变位后油位高度与油料实际体积的关系，然后在油料高度间隔1cm或10cm的情况下，算出所有高度对应的体积值，即可得到新的罐容表标定值。第一问题中做了两次实验，罐体无变位和纵向变位。对于无变位时，用简单二重积分的方法，从合适的角度出发，可以计算出油的体积与油位高度的关系；对于纵向的倾斜变位，同样采用二重积分的方法，因为不同的油量导致油位停留的位置存在公式上的差异，故分五种情况分别考虑。第二个实验是在油位高度的方向上积分得到任意处油截面的面积，再在油罐横向上积分得到体积公式。最后利用附件1所给的实际数据对公式进行检验以权衡其准确度，并对比变位前后储油量与油位高度关系的差别。第二问题中，需要将实际储油罐分成三个部分：中间的圆柱体和两端的球体部分。对于变位之后已经确定的纵向倾角a和横向倾角b决定的静态的储油罐建立空间直角坐标系，根据空间几何关系得出测得的油位高度与实际油位高度h之间的关系（含参数b），实际油位高度与计算体积所需的高度和的关系表达式，于是最后可以得到实际储油量与测量到的油位高度及变位参数a、b的关系。将附表二中的实验数据代入若干，即可以得到变位a、b的值。再利用余下的各组数据检验所建立的模型的正确性和方法的可行性。三、模型假设为了方便建立模型与计算，故对以下情况做出假定：1、 忽略罐体的厚度对油罐容积及油的体积的影响，假定由附表中的数据得到的容积就是油罐的标准容积；2、 忽略油罐内部各种输油管道所占的体积；3、 忽略油位探针和油浮子的体积，及忽略油浮子的厚度对油位高度的影响，认为测得的高度即为油罐底部沿着探针方向到油面的高度；4、 在分析讨论实际油罐时，忽略倾角给两端的球体部分的油面带来的影响，即认为：该部分的液面始终平行于油罐底面；5、 本文假定视角一直在纵向左倾（也即朝向有油位探针的一侧偏）的角度观察油罐。 四、设置符号表示h：储油罐任一位置平行于罐底方向实际油位高度；x：问题一中建立的直角坐标系后X轴方向上油料宽度的一半；y：坐标系中Y轴方向上的油料长度；z：坐标系中Z轴方向上的变量； ：问题一中变位后测得的油料高度； ：问题一变位时油料平行于罐底方向的最大高度；Hr：问题一变位时油料平行于罐底方向的最小高度；：问题一变位情况下用任意平行于罐底平面截得的油料面积；：实际储油罐球冠内储油量；：实际储油罐中间圆柱部储油量；五、模型建立与求解（一）小椭圆形储油罐（1）无变位情况 首先小椭圆形储油罐形状如下图：(b) 小椭圆油罐截面示意图 油油浮子出油管油位探针注油口水平线2.05mcm0.4m1.2m1.2m1.78m(a) 小椭圆油罐正面示意图 图1 小椭圆型油罐形状及尺寸示意图 简化图像，以左侧面罐体中心点为原点，为其建立空间直角坐标系，以阴影部分表示有油的地方，如下图：xYZ图2 无变位情况下建立空间直角坐标系Xh 因为只有纵向变位，故从左侧面观察油罐，其侧视图为下图：图3 小椭圆截面示意图图xXZhh是油面高度，故依据图形，椭圆长轴为1.78，短轴为1.2，根据椭圆性质，得椭圆公式：即所以对截面椭圆的阴影部分的面积进行表示，在z方向上积分，有： S=2又罐体长度为（2.05+0.4）所以对小椭圆油罐油的体积有 根据公式对其画出图，并用描点法得到实际测得数据所得的函数，将两者做在同一个直角坐标系下，得到如下曲线：图4 计算曲线与实际数据对比图分析图像:1、 得到的数据与实际测量数据吻合度较好，无太大偏差，相对误差较小；2、 实际数据偏小，造成的原因可能是由于罐体厚度、输油管体积及浮子厚度等一系列因素造成，本文是为了简化模型，忽略了这些因素；3、 曲线的走向符合罐状物体的特性，即变化率先增大后逐渐减小，比较符合实际。(2)纵向变位以椭圆罐底中心为原点，轴，轴平行于罐底，轴平行于油罐侧壁方向建立空间直角坐标系：图5 纵向变位情况下建立空间直角坐标系ZXYH油位探针针h0 由图可知： （单位：mm ） 根据油面在罐体右侧（相对位置较高的一侧）落点是否到达浮子位置、是否到达该侧面可以分为五种情况讨论（前三种情况参照物为H，而第四、五种用Hr来说明）：（1）当H1200且Hr1200-2050tana时浮子已置于灌顶，此时观察者会以为油罐里盛满了油，这种情况下难以建立油量与高度的关系，故暂不做考虑。 将上述五种（实际三种）情况得到的方程式分区间画在同一坐标系中，并与实际测量的数据做对比，得到如下关系图（图9）：图9 变位后储油量与油位高度关系图分析图像：1、 计算得到的公式基本符合实际检测数据；2、 通过代入数据，误差相对来说也很小；该表的可信度决定了公式的可行性，因此，在标定罐容表时，我们以得到的公式为基础，代入数据计算即得。 最后，将变位前后储油量与油位高度关系图画在同一坐标中得图10：变位前变位后图10 变位前后储油量与油位高度关系曲线对比分析图像：1、 变位后在油位液面到达探针之前，测量高度始终为0（即讨论的第一种情况）；2、 在变位后的第二阶段内，曲线斜率小于变位前，这个阶段内储油量变化较慢；3、 第三阶段内，曲线增长趋势与变位前基本一致，即上升相同的高度，储油量增加值基本相等，但由于第二阶段储油量较少，这是储油量比变位前小220L左右；4、 第四阶段曲线变化率逐渐降低，当油浮子的高度为1200mm时，油罐还没有装满，此时的储油量比变位前少约100L。根据假设，为使油位高度与储油量是一一对应的关系，此时不再加油，认为该值即为储油最大值。从0到1200mm每间隔10mm取一数值代入公式得到如下罐容表的标定值（这里计算量较大，仅计算出0到200mm的标定值）：油位高度（mm）罐容量(升)油位高度（mm）罐容量(升)01.754310628.847103.6066320664.262206.33542330700.1883010.0434340736.6034014.8218350773.4855020.7535360810.8146027.9142370848.5717036.3738380886.7358046.1975390925.2899057.4464400964.21510070511084.44544201043.11120100.3014301083.05130117.7924401123.3140136.9664501163.83150157.274601204.64160179.4944701245.71170203.1564801287.03180228.0064901328.58190253.9375001370.34200280.8675101412.31 表1 纵向变位后的罐容表标定值(二)实际储油罐变位分析我们将储油罐分成三段来考虑，两端为球缺，中间为圆柱体。中间部分采用类似第一题的积分方法求解。把球冠内油液面近似看做与轴平行。 水平线油位探针油油浮子图11 储油罐纵向变位示意图h0H19090ZYH2O对于纵向与横向都已经变化好的静态储油罐来说，我们以中间圆柱体一侧底面圆心为原点，平行于罐体的轴为轴，平行于油面的轴为轴建立空间直角坐标系。 根据图11可以得到以下关系式： 用垂直于轴的平面去截油罐得到下图所示的储油罐的横向变位截面示意图，图中两个油液面是指将横向变位前后的截面图画在一个图中，并使油位探针方向相同，以方便计算，此时前后液面形成夹角：横向变位后油液面横向变位前油液面h0h图12 储油罐横向变位示意图油位探针为测量值，实际油位高度，根据图像可得如下关系式：综合上面几个式子，可得、与的关系式：（1）中间圆柱体储油量的计算XZh计算方法类似于小椭圆体的计算。结合变量再针对椭圆截面与圆形截面的不同，同理可知， 图13 圆柱部截面示意图截面圆的方程为：于是得到： 又有：即： 于是该截面面积：由于有转折点，故分为五种情况。吸取小椭圆时的情况，5对以下三种情况分析：当（单位：m）时 当（单位：m） 当（单位：m）其中为圆柱体的总体积。（二）两侧球体内储油量的计算XY1.625m1mxO 根据已知数据容易解得球冠所在球的半径为1.625m，球过球心的截面图如下，以圆心为原点，平行于空间坐标系轴的轴为轴，建立新的平面直角坐标系，阴影部分为储油部分：图14 球冠还原为球后截面图该圆的方程为：表示圆上一点到轴距离，所以： 以平行于空间坐标系Y轴的平面去截球冠，得到如下所示截面图（俯视图）：x0.625m图15 球冠体截面图可以得知：所以球冠内油料截面面积为： 当球冠内油位高度为时，球冠内储油量为：在计算两端球冠内储油量时，分别用、代替即可求出结果。（三）计算，（有些计算不出，很乱）六、评注与思考 这次的数学建模，地下储油罐的变位分析与罐容表标定，很切合 实际的一个方向，但是由于本身油量的动态存储与高度的连续变化造成的数据的随机性很大，给计算方面带来了极大的不便。所以最后复杂的计算我没有方法得到结果。该模型的建立本身没有太大的难度，建立模型的计算方法用到立体几何与等微积分的二重积分部分章节的内容，比较困难的是计算量的冗杂。由于建立该模型一开始，就做出几个假设，所以在实际问题中，要想得到更为精确的灵敏度更高的罐容表标定，建议测出油罐的壁厚及输油管的体积等看似比较微小影响的量。另外实际生活中油罐任意方向倾斜，如果朝向所假定的另一侧（即远离探针的一侧），问题分析起来与本文相似的求解过程。（附）关于“数学建模”的心得首先这次是我第一次认真对待一道数学建模题。尽管老师每次上课都会讲1-2道题，但是思路都是受到老师的影响，我也只是做个比较被动的学习者。这次说真的，第一次见到这个题目，尤其看到那么一大堆的数据，心里发怵。作为一名09级的女同学，怀着对数学的喜欢，报了曹老师的数学建模限选课，首先这对自己很大的挑战。 这道题目，我认真思考之后，发现微积分的知识半年没动已经很陌生了。我查找课本，加上原有的数学基础，仅仅会对的初步建立有点想法。网上搜索这道题的思路并下载下来一篇跟自己思想差不多的一篇，加上自己的理解，加工之后形成这篇论文。其中的部分函数图不是我自己做的。虽然大部分看起来都是在模仿，但是，通过自己早期的理解及答案的辅助，我想谈一下我从中学到的东西： 1、以前只会简单的使用word，现在才知道word了这么庞大的数学函数库，可以包含所有你想表达的函数。作为一个非数学专业的学生，这是我第一次使用其