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第六节 线性微分方程解的结构 二、线性齐次微分方程解的结构 三、线性非齐次微分方程解的结构 一、二阶线性微分方程举例 一、二阶线性微分方程举例 当重力与弹性力抵消时, 物体处于平衡状态, 例 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上, 力作用下作往复运动, 解 阻力的大小与运动速度 下拉物体使它离开平衡位置后放开, 若用手向 物体在弹性力与阻 取平衡时物体的位置为坐标原点 , 如图建立坐标系. 设时刻 t 物体位移为x = x(t). 1. 弹性恢复力 物体所受的力有: 成正比, 方向相反.建立位移满足的微分方程 . 2. 阻力 据牛顿第二定律得 则得有阻尼自由振动方程: 二阶线性微分方程 二阶线性齐次微分方程; 二阶线性非齐次微分方程. n 阶线性微分方程的一般形式为 n 阶线性齐次微分方程; n 阶线性非齐次微分方程. 复习: 一阶线性方程 通解 : 非齐次方程特解 齐次方程通解Y 二、线性齐次微分方程的解的结构 定理1 问题: 例：设 y1 为 (1) 的解 , 则 y2=2 y1 是 (1) 的解,但 是 , y=C1 y1+C2 y2 不为 (1) 的通解 . (解得叠加原理) 为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关 与线性无关概念. 证代入方程左边, 得 定义是定义在区间 I 上的 n 个函数,使得 则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关. 例如： 在( , )上都有 故它们在任何区间 I 上都线性相关; 又如 ： 若在某区间 I 上 则根据二次多项式至多只有两个零点 , 必需全为 0 , 可见 在任何区间 I 上都线性无关. 若存在不全为 0 的常数 线性相关 存在不全为 0 的使 线性无关常数 思考:中有一个恒为 0, 则 必线性相关 两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件: 例如 推论是 n 阶线性齐次微分方程 的 n 个线性无关解, 则方程的通解为 三、线性非齐次微分方程解的结构 是二阶非齐次方程 的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解, 定理 3 则 是非齐次方程的通解 . 证 将代入方程左端, 得 是非齐次方程的解,又Y 中含有 两个独立任意常数, 例如, 方程有特解 对应齐次方程 有通解 因此该方程的通解为 因而 是通解 . 例2 设 是二阶线性非齐次方程的三个 线性无关的解，试用 表示方程的通解. 例3 已知 y = x 及 y = sinx 为某二阶线性齐次 方程的解 , 求该方程 . 解 例4 解 (1) 由题设可得： 解此方程组，得 (2) 原方程为 由解的结构定理得方程的通解为 (非齐次方程之解的叠加原理) n 阶线性微分方程 二阶非齐次线性方程的解的结构可以推广: 四、小结 主要内容 2、二阶线性微分方程解的结构定理 1、函数的线性相关与线性无关；
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