受扭杆的强度和刚度.ppt

【内容提要】 本章介绍切应力互等定理和剪切胡克定律，圆轴扭转时的 应力和变形，以及强度和刚度计算。简单介绍矩形截面杆 自由扭转时的应力和变形。 1. 理解切应力互等定理。 2. 理解剪切胡克定律。 3. 掌握圆轴扭转时的应力和强度计算以及变形和刚度计算。 【学习目标】 四川建筑职业技术学院 第9章 受扭杆的强度和刚度 四川建筑职业技术学院 4. 掌握矩形截面杆自由扭转时的应力和强度计算以及变形 和刚度计算。 91 圆轴扭转时的应力和强度计算 91 1圆轴扭转的实验 1. 扭转试验现象与分析 图a所示为一圆轴，在其表面画上若干条纵向线和圆周线， 形成矩形网格。在弹性范围内，扭转变形后（图b），可以 观察到以下现象： 四川建筑职业技术学院 （1）各纵向线都倾斜了一个微小的角度 ，矩形网格变成 了平行四边形。 （2）各圆周线的形状、大小及间距保持不变，但它们都绕 轴线转动了不同的角度。 四川建筑职业技术学院 根据以上观察到的现象，可以作出如下的假设及推断： 由于各圆周线的形状、大小及间距保持不变，可以假设 圆轴的横截面在扭转后仍保持为平面，各横截面象刚性平面 一样绕轴线作相对转动。这一假设称为圆轴扭转时的平面假 设。 由于各圆周线的间距保持不变，故知横截面上没有正应 力。 由于矩形网格歪斜成了平行四边形，即左右横截面发生了相对 转动，故可推断横截面上必有切应力，且切应力的方向垂直于 半径。 由于各纵向线都倾斜了一个角度，故各矩形网格的直角都改 变了 角，直角的改变量称为切应变。 四川建筑职业技术学院 2. 切应力互等定理 设矩形网格ABCD沿纵向长为dx， 沿圆周向长为dy，以它作为一个 面，再沿半径方向取长为dz，截 出一个微小正六面体，称为单元 体，如图所示。 由平衡方程，得 (dydz)dx=（ dxdz）dy 故 = 四川建筑职业技术学院 上式表明，在单元体相互垂直的两个平面上，沿垂直于两面 交线作用的切应力必然成对出现，且大小相等，方向共同指 向或背离该两面的交线。这一结论称为切应力互等定理。 单元体的两对面上只有切应力而没有正应力，这种应力 情况称为纯剪切。 3. 剪切胡克定律 当切应力未超过材料的剪切比例极限p时，切应力与其 切应变成正比。 =G G称为材料的切变模量。 四川建筑职业技术学院 91 2圆轴扭转时横截面上的切应力 圆轴扭转时横截面上任一点处切应力大小的计算公式 T横截面上的扭矩，以绝对值代入； 横截面上欲求应力的点处到圆心的距离； Ip横截面对圆心的极惯性矩 四川建筑职业技术学院 当 =R时，切应力最大，最大切应力 令 则有 扭转截面系数。 四川建筑职业技术学院 圆截面： 圆环形截面： 内、外径的比值。 应该注意，扭转时应力的计算公式只适用于圆轴。 四川建筑职业技术学院 例91 空心圆轴的横截面外径D=90mm，内径d=85mm，横截 面上的扭矩T=1.5kNm。求横截面上内外边缘处的切应力，并绘 制横截面上切应力的分布图。 解 （1）计算极惯性矩。极惯性矩为 （2）计算切应力。内外边缘处的切应力分别为 四川建筑职业技术学院 91 3圆轴的强度计算 圆轴扭转时的强度条件为 例92 如图a所示的空心圆轴，外径D=100mm，内径d=80mm ，外力偶矩Me1 =6kNm、Me2 =4kNm。材料的许用切应力 =50MPa，试对该轴进行强度校核。 四川建筑职业技术学院 解 （1）求危险截面上的扭矩。绘出 轴的扭矩图如图b所示，BC段各横截 面为危险截面，其上的扭矩为 Tmax =4kNm （2）校核轴的扭转强度。截面的扭转截面系数为 轴的最大切应力为 可见轴是安全的 四川建筑职业技术学院 例93 实心圆轴和空心圆轴通过牙嵌离合器连在一起，如 图所示。已知轴的转速n=100r/min，传递功率P=10kW，材料 的许用切应力t =20MPa。（1）选择实心轴的直径D1。(2)若 空心轴的内外径比为1/2，选择空心轴的外径D2。(3)若实心部 分与空心部分长度相等且采用同一种材料，求实心部分与空心 部分的重量比。 四川建筑职业技术学院 解 轴承受的外力偶矩为 故轴任一横截面上的扭矩为 T=Me=955Nm （1）选择实心轴的直径。由强度条件 得 （2) 选择空心轴的外径D2。空心圆截面的扭转截面系数为 四川建筑职业技术学院 （3）实心部分与空心部分的重量比为 显然空心轴比实心轴节省材料。 四川建筑职业技术学院 92 圆轴扭转时的变形和刚度计算 92 1圆轴扭转时的变形 圆轴 扭转时 的变形通常是用两个横截面绕轴线转动 的相对扭转角f来度量。 d相距为dx的两横截面间的扭转角； T横截面上的扭矩，以绝对值代入； G材料的切变模量； Ip横截面对圆心的极惯性矩。 四川建筑职业技术学院 相距为l的两横截面间的扭转角为 积分后得 GIp称为圆轴的扭转刚度，用它来表示圆轴抵抗扭转变形的能力。 工程中通常采用单位长度扭转角，即 单位长度扭转角 的单位为radm 四川建筑职业技术学院 92 2圆轴的刚度计算 在实际工程中 的单位通常为 /m 四川建筑职业技术学院 例94 图a所示的传动轴，在截面A、B、C三处作用的外力偶矩 分别为MeA=4.77kNm、MeB=2.86kNm、MeC=1.91kNm。已知 轴的直径D = 90mm，材料的切变模量G= 80103MPa，材料的许 用切应力 = 60MPa，单位长度许用扭转角 = 1.1/m。试校核 该轴的强度和刚度。 四川建筑职业技术学院 解 （1）求危险截面上的扭矩。绘出扭矩图如图b所示。由图 可知，BA段各横截面为危险截面，其上的扭矩为 Tmax=2.86kNm （2）强度校核。截面的扭转截面系数和极惯性矩分别为 轴的最大切应力为 可见强度满足要求。 四川建筑职业技术学院 （3）刚度校核。轴的单位长度最大扭转角为 可见刚度也满足要求。 四川建筑职业技术学院 93矩形截面杆自由扭转时的应力和变形 在图a所示矩形截面杆的表面画上若干纵向线和横向线，则 在扭转后可看到所有横向线都变成了曲线（图b），这说明 横截面不再保持为平面而变为曲面，这种现象称为翘曲。 试验表明，非圆截面杆扭转时都会发生翘曲，圆轴扭转时的平 面假设不再成立，应力和变形的计算公式也不再适用。 四川建筑职业技术学院 当非圆截面杆不受任何约束时，横截面能自由翘曲，各截面翘 曲的程度相同（图a），截面上只有切应力而没有正应力，这种 扭转称为自由扭转。 若杆件受到约束，例如一端固定，则各截面的翘曲受到限制，横 截面上不仅有切应力，而且还有正应力，这种扭转称为约束扭转 （图b）。 四川建筑职业技术学院 简单介绍矩形截面杆自由扭转的主要结论： （1）矩形截面杆自由扭转时横截面上切应力的分布规律如图所 示。截面周边各点处的切应力平行于周边且与扭转方向一致；在 对称轴上，各点的切应力垂直于对称轴；其他各点的切应力是斜 向的；角点及形心处的切应力为零；最大切应力max发生在长边 中点处；短边中点处有较大的切应力1。 四川建筑职业技术学院 （2）计算公式。最大切应力为 短边中点处的切应力为 单位长度扭转角为 Wp矩形截面的扭转截面系数，Wp=hb2； It矩形截面的相当极惯性矩，It=hb3； 、与矩形截面高度比h/b有关的系数，可由表查得。 四川建筑职业技术学院 例95 有一矩形截面的等直钢杆，其横截面尺寸为h=100mm，