高中数学第三章三角恒等变换3.1和角公式3.1.1两角和与差的余弦学案.docx

3.1.1两角和与差的余弦基础知识基本能力1会推导两角差的余弦公式(难点)2掌握两角和与差的余弦公式及适用范围(重点、易错点)1通过对两角差的余弦公式的证明，进一步体会用向量法证明问题的作用(难点)2能运用两角和与差的余弦公式解决相关的求值、化简和证明等问题(重点)3不仅要掌握公式的正向运用，更要注重公式的逆向应用(难点)两角和与差的余弦公式两角和的余弦公式：cos()cos_cos_sin_sin_，(C)两角差的余弦公式：cos()cos_cos_sin_sin_.(C)【自主测试1】cos 75等于()A BC D答案：C【自主测试2】(2012福建三明联考)计算：cos 13cos 47sin 13cos 137_.答案：【自主测试3】已知sin ，则cos_.答案：1对C的理解和记忆剖析：(1)公式的结构特征和符号规律：对于两角和与差的余弦公式C可以简记为“余余正正，和差相反”(2)注意事项：不要误记为cos()cos cos 或cos()cos cos sin sin .(3)该公式是整章三角函数公式的基础，要理解该公式的推导方法公式的应用要讲究一个“活”字，即正用，逆用，变形用，还要创造条件应用公式，如构造角：()，等2注意cos()cos cos 成立的条件剖析：许多人初学三角函数时，容易做一个错误的知识迁移，由a(bc)abac来思考cos()，把它看成是cos 与()的乘积，于是便有了cos()cos cos ，实际上，cos 是一个函数符号，cos()是一个整体，所以不能由彼及此可以取一些特殊的值来验证，如，则cos()coscos，cos cos coscos，显然，此时cos()cos cos ，但当，时，cos()coscos，cos cos coscos0.此时cos()cos cos ，但这仅仅只是一个巧合而已在做选择题时尤其要注意这一点名师点拨(1)运用任何公式都要注意其成立的条件，比如上述的等式不是恒成立的；(2)对于两角和与差的余弦公式，在使用时不仅要会正用，还要能够逆用公式，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题如由cos 50cos 20sin 50sin 20能迅速地想到cos 50cos 20sin 50sin 20cos(5020)cos 30.题型一 直接利用两角和与差的余弦公式求值【例题1】求值：(1)cos 15cos 15sin 15sin 15；(2)sin(110x)cos(x40)cos(x70)sin(220x)分析：(1)逆用两角和的余弦公式即可(2)统一函数名称，统一角，使其符合两角和与差的余弦公式的结构解：(1)原式cos(1515)cos 30.(2)原式cos(x20)cos(x40)sin90(x70)sin(x40)cos(x20)cos(x40)sin(x20)sin(x40)cos(x20)(x40)cos 60.反思公式C是三角恒等式，既可正用，也可逆用，一定要注意公式的结构名称、特征，灵活变换角或名称，同时在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时，关键在于把待求的角转化成特殊角(如30，45，60，90，120，150，)之间和与差的关系问题，然后利用公式化简求值题型二 给值求值问题【例题2】已知，sin()，sin，则cos_.解析：利用()来求值 ，.cos().又，cos.coscoscos()cossin()sin.答案：反思本题属于“给值求值”的题目，“变角”的技巧在三角函数求值以及证明中经常用到，因为变角后可充分利用已知条件中的三角函数值来计算或证明常见的角的变换方式：()()()()()()，2()()()()，422，2，2()等变换的方式很多，需要自己慢慢地体会和探索互动探究将本例中“sin()”改为“cos()”，其他条件不变，结果又如何？解：结果为.题型三 给值求角问题【例题3】已知锐角，满足sin ，cos ，求.分析：利用两角和的余弦公式求的余弦值，并结合角的范围进行求解解：，为锐角，且sin ，cos ，cos ，sin .cos()cos cos sin sin .由0，0，得0，又cos()0，为锐角，.反思此类题是给值求角题，解题步骤如下：求所求角的某一个三角函数值；确定所求角的范围此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解，同时要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值互动探究将本例中，的范围均改为第一象限角，其他条件不变，结果又如何？解：结果变为2k，kZ.题型四 易错辨析【例题4】已知02，且sin sin sin 0，cos cos cos 0，求.错解：由已知，得22，得22(sin sin cos cos )1.故cos().由02，知02，所以或.错因分析：没有对结果进行检验，其实题目中隐含着条件.正解：由已知，得22，得22(cos cos sin sin )1，故cos().由02，知02，所以或.同理可求出cos()，且02，所以或.又由，因此取两者中较小的，取较大的所以.1sin 22sin 23cos 23cos 22的值为()A B C D解析：利用两角和的余弦公式，原式(cos 23cos 22sin 23sin 22)cos(2322)cos 45.答案：D2满足cos cos sin sin 的一组，的值是()A， B，C， D，解析：由cos cos sin sin ，得cos cos sin sin ，利用两角和的余弦公式得cos()，所以2k(kZ)，经验证，选项A符合条件，故选A答案：A3已知，为锐角，且cos ，cos ，则的值是()A BC D答案：B4cos 15sin 15_.解析：cos 15sin 15cos 60cos 15sin 60sin 15cos(6015)cos 45.答案：5在ABC中，cos A，cos B，则cos C的值是_解析：在ABC中，由cos A，可知A为锐角，sin A.由cos B，可知B也为锐角，sin B.cos Ccos(AB)cos(AB)sin Asin Bcos Acos B.答案：6已知sin ，(0，)，co