高中数学第二章平面向量2.5从力做的功到向量的数量积自主训练北师大版.docx

2.5 从力做的功到向量的数量积自主广场我夯基 我达标1给出下列等式：a0=0；0a=0；0-=；|ab|=|a|b|；若a0，则对任一非零向量b有ab0；ab=0，则a与b中至少有一个为0；a与b是两个单位向量，则a2=b2.以上成立的是（ ）A. B. C. D.思路解析：按照定义、性质、运算律作答即可.对于：两个向量的数量积是一个实数，应有a0=0，故错；对于：应有a0=0，故错；对于：很明显正确；对于：由数量积定义，有|ab|=|a|b|cos|a|b|，这里是a与b的夹角，只有=0或=时，才有|ab|=|a|b|，故错；对于：若非零向量a、b垂直，有ab=0，故错；对于：由ab=0可知ab，即可以都非零，故错；对于：a2-b2=|a|2-|b|2=1-1=0，故正确.答案：D2（北京高考卷，理3）若|a|=1，|b|=2，c=ab，且ca，则向量a与b的夹角为（ ）A.30 B.60 C.120 D.150思路解析：要求a与b的夹角，根据夹角公式需先求夹角的余弦值，再结合夹角的范围确定其值.设a与b的夹角为.ca，ca=0.（ab）a=0.|a|2+ba=0.ba=-1.cos=.又0180，=120.答案：C3已知ABC中，=a，=b，当ab0和ab=0时，ABC的形状分别是（ ）A.钝角三角形，直角三角形 B.锐角三角形，直角三角形C.锐角三角形，钝角三角形 D.锐角三角形，斜三角形思路解析：由ab0可知a与b的夹角为钝角，即A是钝角；当ab=0时，可知a与b的夹角为直角，即ABC是直角三角形.答案：A4（辽宁高考卷，理12）设O（0，0）,A（1，0）,B（0，1）,点P是线段AB上的一个动点,=,若,则实数的取值范围是（ ）A.1 B.11C.1+ D.11+思路解析：由题意得=(1-)+=(1-,)，=-=(1-) =(-1,1-), =（-,）,又，(1-,)(-1,1)（,-)(-1,1-).22-4+10.11+.因点P是线段上的一个动点,所以01,即满足条件的实数的取值范围是11.答案：B5（湖南高考卷，理,5）已知|a|=2|b|0且关于x的方程x2+|a|x+ab=0有实根,则a与b的夹角的取值范围是（ ）A.0， B.， C., D.，思路解析：|a|=2|b|0，且关于x的方程x2+|a|x+ab=0有实根，|a|2-4ab0.ab|a|2=|b|2.cosa,b=，,.答案：B6.已知e为单位向量，|a|=4，a与e的夹角为，则a在e方向上的投影为_.思路解析：由向量在另一方向上投影的定义解答此题.投影为=|a|cos=2.答案：27.已知|a|=10，|b|=12，a与b的夹角为120，求：（1）ab；（2）（3a）（b）；（3）（3b2a）（4a+b）.思路分析：第（1）题直接由定义可得，（2）和（3）则利用向量数量积的运算律计算.解：（1）ab=|a|b|cos=1012cos120=-60.（2）（3a）（b）=（ab）=（-60）=-36.（3）（3b2a）（4a+b）=12ba+3b2-8a2-2ab=10ab+3|b|2-8|a|2=10（-60）+3122-8102=-968.我综合 我发展8.已知向量=a，=b，AOB=60，且|a|=|b|=4.(1)求|a+b|,|a-b|；(2)求a+b与a的夹角；a-b与a的夹角.思路分析：本题可以直接利用长度公式和夹角公式求解；也可利用已知条件画出图形，数形结合.解法一：（1）|a+b|2=(a+b)2=a2+2ab+b2=|a|2+2|a|b|cos60+|b|2=42+244cos60+42=16+16+16 =48,|a+b|=43.|a-b|2=(a-b)2=a2-2ab+b2=|a|2-2|a|b|cos60+|b|2=42-244cos60+42=16-16+16=16,|a-b|=4.(2)记a+b与a的夹角为，a-b与a的夹角为.则cos=，=30.cos=60.解法二：如图2-5-8所示，以、为邻边作平行四边形OACB.图2-5-8|a|=|b|=4，四边形OACB为菱形.(1)a+b=+=，a-b=，又AOB=60，|a+b|=|=2|=24=.a-b=|=4.(2)在OAC中，OAC=120，COA=OCA=30.a+b与a的夹角即COA=30，a-b与a的夹角即与所成的角为60.9.向量e1、e2满足|e1|=2，|e2|=1，e1、e2的夹角为60，若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.思路分析：向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，则它们的数量积应当小于零，由此可得关于t的不等式，解之即得.解：e12=4，e22=1，e1e2=21cos60=1，（2te1+7e2）（e1+te2）=2te12+（2t2+7）e1e2+7te22=2t2+15t+7.向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，2t2+15t+70.7t.设2te1+7e2=（e1+te2）（0），则2t=，且7=t，2t2=7.t=，=.当t=时，2te1+7e2与e1+te2的夹角为.实数t的取值范围是（-7，）（，-）.10.四边形ABCD中，=a，=b，CD=c，=d，且ab=bc=cd=da，试问四边形ABCD是什么图形?思路分析：四边形的形状由边角关系确定，由题设条件演变，推算该四边形的边角关系.解：由题意，得a+b+c+d=0，a+b=-(c+d）.（a+b）2=（c+d）2，即|a|2+2ab+|b|2=|c|2+2cd+|d|2.由于ab=cd，|a|2+|b|2=|c|2+|d|2.同理，有|a|2+|d|2=|c|2+|b|2.