2018版高中数学第二章平面向量2.3.4平面向量共线的坐标表示学案新人教A版.docx

2.3.4平面向量共线的坐标表示1.理解用坐标表示两向量共线的条件.(难点)2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线；并掌握三点共线的判断方法.(重点)3.两直线平行与两向量共线的判定.(易混点)基础初探教材整理平面向量共线的坐标表示阅读教材P98“思考”以下至“例6”以上内容，完成下列问题.1.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，a，b共线，当且仅当存在实数，使ab.2.如果用坐标表示，可写为(x1，y1)(x2，y2)，当且仅当x1y2x2y10时，向量a，b(b0)共线.注意：对于2的形式极易写错，如写成x1y1x2y20或x1x2y1y20都是不对的，因此要理解并记熟这一公式，可简记为：纵横交错积相减.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)向量(1,2)与向量(4,8)共线.()(2)向量(2,3)与向量(4，6)反向.()【解析】(1)正确.因为(4,8)4(1,2)，所以向量(1,2)与向量(4,8)共线.(2)正确.因为(4，6)2(2,3)，所以向量(2,3)与向量(4，6)反向.【答案】(1)(2)小组合作型判定直线平行、三点共线(1)已知A(1，3)，B，且A，B，C三点共线，则C的坐标可以是()A.(9,1) B.(9，1)C.(9,1) D.(9，1)(2)已知四点坐标A(1,1)，B(1,5)，C(2，1)，D(4,11)，请判断直线AB与CD是否平行？【精彩点拨】(1)利用向量的平行条件x1y2x2y10，可证明有公共点的两个平行向量共线，从而可证明三点共线.(2)判定两直线平行，先判定两向量平行，再说明两向量上的相关点不共线.【自主解答】(1)设点C的坐标是(x，y)，因为A，B，C三点共线，所以.因为(1，3)，(x，y)(1，3)(x1，y3)，所以7(y3)(x1)0，整理得x2y7，经检验可知点(9,1)符合要求，故选C.【答案】C(2)因为(1,5)(1,1)(2,4)，(4,11)(1，1)(5,10)，(2，1)(1,1)(1，2)，所以2，5.所以.由于与，有共同的起点A，所以A，B，C，D四点共线，因此直线AB与CD重合.再练一题1.已知A(1，1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)，向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？【解】因为(1(1)，3(1)(2,4)，(21,75)(1,2).又因为22410，所以.又因为(1(1)，5(1)(2,6)，(2,4)，所以24260，所以A，B，C不共线，所以AB与CD不重合，所以ABCD.已知平面向量共线求参数(1)已知向量a(x,3)，b(3，x)，则存在实数x，使ab；存在实数x，使(ab)a；存在实数x，m，使(mab)a；存在实数x，m，使(mab)b.其中，所有叙述正确的序号为_.(2)已知a(1,2)，b(3,2)，当k为何值时，kab与a3b平行？平行时它们是同向还是反向？【精彩点拨】(1)可利用向量共线定理列方程判断方程解的情况来解决.(2)方法一：可利用b与非零向量a共线等价于ba(0，b与a同向；0，b与a反向)求解；方法二：可先利用坐标形式的等价条件求k，再利用ba判定同向还是反向.【自主解答】(1)由abx29无实数解，故不对；又ab(x3,3x)，由(ab)a得3(x3)x(3x)0，即x29无实数解，故不对；因为mab(mx3,3mx)，由(mab)a得(3mx)x3(mx3)0.即x29无实数解，故不对；由(mab)b得3(3mx)x(mx3)0，即m(x29)0，所以m0，xR，故正确.【答案】(2)法一：kabk(1,2)(3,2)(k3,2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10，4)，当kab与a3b平行时，存在唯一实数，使kab(a3b).由(k3,2k2)(10，4)，所以解得k.当k时，kab与a3b平行，这时kabab(a3b)，因为0，所以kab与a3b反向.法二：由题知kab(k3,2k2)，a3b(10，4)，因为kab与a3b平行，所以(k3)(4)10(2k2)0，解得k.这时kab(a3b).所以当k时，kab与a3b平行，并且反向.利用向量平行的条件处理求值问题的思路：(1)利用共线向量定理ab(b0)列方程组求解.(2)利用向量平行的坐标表达式x1y2x2y10直接求解.再练一题2.(1)已知向量a(1,2)，b(2,3)，若向量ab与向量c(4，7)共线，则_.(2)已知向量a(1，2)，b(3,4)，若(3ab)(akb)，求实数k的值.【解析】(1)a(1,2)，b(2,3)，ab(，2)(2,3)(2,23).向量ab与向量c(4，7)共线，7(2)4(23)0，2.【答案】2(2)3ab(0，10)，akb(13k，24k)，(3ab)(akb)，0(1030k)0，k.向量共线的综合应用如图2317所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2，6)，求AC与OB的交点P的坐标.图2317【精彩点拨】要求点P的坐标，只需求出向量的坐标，由与共线得到，利用与共线的坐标表示求出即可；也可设P(x，y)，由及，列出关于x，y的方程组求解.【自主解答】法一：由O，P，B三点共线，可设(4，4)，则(44,4)，(2,6).由与共线得(44)64(2)0，解得，所以(3,3)，所以P点的坐标为(3,3).法二：设P(x，y)，则(x，y)，因为(4,4)，且与共线，所以，即xy.又(x4，y)，(2,6)，且与共线，则得(x4)6y(2)0，解得xy3，所以P点的坐标为(3,3).1.关于解决两线段的交点问题可以用解析几何的知识联立两直线方程求交点的坐标；也可以使用对应向量共线列等式，再列方程组求解.2.本例利用了向量共线定理，已知四边形四个顶点坐标求对角线交点坐标的向量解法，为我们展示了向量的坐标运算在解决平面几何、平面解析几何问题中的应用，在以后学习中应加以体会运用.再练一题3.如图2318，已知A(4,5)，B(1,2)，C(12,1)，D(11,6)，求AC与BD的交点P的坐标.图2318【解】设(111,62)(10，4).易得(11,1)，(1011,41).又(8,4)，而与共线，4(1011)8(41)0，解得.设点P的坐标为(xP，yP)，(5,2)(xP1，yP2)，即故点P的坐标为(6,4).探究共研型共线向量与中点坐标公式探究1设P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，如何求线段P1P2的中点P的坐标？【提示】如图所示，P为P1P2的中点，()，线段P1P2的中点坐标是.探究2设P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，点P是线段P1P2的一个三等分点，则P点坐标是什么？【提示】点P是线段P1P2的一个三等分点，分两种情况：当时，()；当时，().探究3当时，点P的坐标是什么？【提示】()，(x1，y1)(x2，y2)，P.已知点A(3，4)与点B(1,2)，点P在直线AB上，且|2|，求点P的坐标.【精彩点拨】点P在直线AB上，包括点P在线段AB内和在线段AB的延长线上，因此应分类讨论.【自主解答】设P点坐标为(x，y)，|2|.当P在线段AB上时，2，(x3，y4)2(1x,2y)，解得P点坐标为.当P在线段AB延长线上时，2，(x3，y4)2(1x,2y)，解得P点坐标为(5,8).综上所述，点P的坐标为或(5,8).在求有向线段分点坐标时，不必过分强调公式记忆，可以转化为向量问题后解方程组求解，同时应注意分类讨论.再练一题4.已知ABC的三个顶点坐标依次为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，求ABC的重心G的坐标.【解】延长AG交BC于点D，G为ABC的重心，D为BC的中点，()()().综上所述，G的坐标为.1.下列满足平行的一组向量是()A.a(1，4)，b(504，2 016)B.a(2,3)，b(4，6)C.a(1,2)，b(1 008,2 016)D.a(1,4)，b(3,12)【解析】A中，x1y2x2y11(2 016)504(4)0，ab；B中，x1y2x2y12(6)43240，a与b不平行；C中，x1y2x2y112 016(1 008)24 0320，a与b不平行；D中，x1y2x2y111234240，a与b不平行.【答案】A2.设kR，下列向量中，与向量a(1，1)一定不平行的向量是() 【导学号：00680052】A.b(k，k) B.c(k，k)C.d(k21，k21) D.e(k21，k21)【解析】由向量共线的判定条件，当k0时，向量b，c分别与a平行；当k1时，向量e与a平行.对任意kR,1(k21)1(k21)0，a与d不平行.【答案】C3.已知a(6,2)，b(m，3)，且ab，则m()A.9B.9C.3D.3【解析】因为a(6,2)，b(m，3)，若ab，则6(3)2m0，解得m9.【答案】B4.与向量a(1,2)平行，且模等于的向量为_.【解析】因为所求向量与向量a(1,2)平行，所以可设所求向量为x(1,2)，又因为其模为，所以