不等关系与不等式.ppt

3.1 不等关系与不等式 主要内容 3.比较代数式大小的方法 2.不等式的性质及其证明 4.不等式的应用实例 1. 不等关系 1. 不等关系 最低限速 60km 最低限速50km/h v50km/h 最高限速 120km 小汽车限速范围 60kmv120km/h 问题1 设点A与平面M的距离为d ，B为平面M上的任意一点，则 d|AB| A M B d 问题2 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以 售出8万本. 据市场调查，若单价每提高0.1元， 销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂 志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的 总收入不低于20万元呢？ 分析：若杂志的定价为x元，则销售的总收入 为 万元. 那么不等关系“销售 的总收入不低于20万元”可以表示为不等式 问题3 某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和 600mm两种.按照生产的要求，600mm钢管的数量不能 超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足上述所有不等 关系的不等式呢？ 分析：假设截得500mm钢管x根，截得600mm的钢 管y根. 由题意，应有以下的不等关系： （1）截得两种钢管的总长度不能超过4000mm； （2）600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍； （3）截得两种钢管的数量都不能为负. 要同时满足上述三个不等关系，可以用下面 的不等式组来表示： 2.不等式的性质及其证明 事实上，实数与数轴上的点是一一对应的. 在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数 比左边的点表示的实数大 譬如图中，设点A 表示实数a，点B 表示实 数b,点A 在点B 右边，那么ab B A ab 回忆两个实数的大小是如何确定的？ 从上面的性质可知，要比较两个实数的大小， 只要考察它们的差就可以了，这也是我们研究不等 关系的一个出发点. 基本事实 作差比较法 1.不等式的性质 性质1 如果ab,那么bb 证明：由于ab, 可得a-b0 所以 -（a-b）b 说明：此性质可称为不等式的自反性 性质2如果ab, bc, 那么ac. 证明：由于ab, 得a-b0；又bc，得b-c0; 所以a-c=(a-b)+(b-c)0 即a-c0 所以 ac. 说明：此性质可称为不等式的传递性。 性质3如果ab, 那么a+cb+c 证明：由于ab, 得a-b0； 所以（a+c）-（b+c）=a-b0 即(a+c)-(b+c)0 所以 a+cb+c. 说明：此性质可称为不等式的加法性质也叫平移性， 即不等式的两边同时加上同一个常数，不等号的方向 不变. 性质4如果ab, c0,那么acbc; 证明：由于ab, 得a-b0； ac-bc=c(a-b)0 所以 acbc. 说明：此性质可称为不等式的乘法性质，也叫伸缩 性：即不等式的两边同时乘上同一个正数，不等号 方向不变，不等式的两边同时乘上同一个负数，不 等号的方向改变. 如果ab, c0时 ac-bc=c(a-b)b, cd,那么a+cb+d; 证明：由于ab, 得a-b0又cd,得c-d0； 说明：此性质可称为不等式的叠加性：两个同 向不等式相加，所得不等式与原不等式同向. 所以(a+c)-（b+d）=(a-b)+(c-d)0 所以 a+cb0, cd0,那么acbd; 证明：由于ab, 得a-b0,又cd,得c-d0 ac-bd=ac-ad+ad-bd =a(c-d)+d(a-b) 说明：此性质可称为不等式的叠乘性：两边都是 正数的同向不等式相乘，所得不等式与原不等式 同向. 所以 ac-bd0即 acbd. 由题意知a0,d0, 且c-d0,a-b0 性质7如果ab0, 那么anbn(nN,n2); 证明：由于ab0, 根据性质6，自乘得； aabb即 a2b2. 说明：此性质可称为不等式的乘方的性质：当不等 式的两边都是正数时，不等式两边同时乘方所得的 不等式和原不等式同向. 继续用性质6，可得 a3b3.显然 a2b20, 继续下去可得anbn(nN,n2); 性质8如果ab0, 那么 (nN,n2); 证明：用反证法证明，假设结论不成立则； 说明：此性质可称为不等式的开方的性质：当不等 式的两边都是正数时，不等式两边同时开方所得的 不等式和原不等式同向. 则得a=b，与已知ab矛盾若 若 则由性质7,两边n次幂得ab矛盾. 证明命题的方法简介 在数学学科中，根据是否由论据直接过渡到论 题，我们把证明命题的方法分为直接证明和间接证 明. 直接证明就是由论据按照推理规则直接推出论题的证明. 其特点是：从论题出发，为论题的真实性直接提供证明理由. 直接证明是最常见的证明方法. 间接证明就是通过确定其他命题的虚假来确定论题真实 性的证明，就是说，用这种证明方法证明的论题不是由论据 按照推理规则直接推得，而是通过间接的方法得到证明的. 间接证明分为反证法和选言证法. 直接证明是相对于间接证明说的，综合法和分 析法是两种常见的直接证明. 综合法: 一般地，利用已知条件和某些数学定义 、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推 导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合 法（或顺推证法、由因导果法）. 分析法: 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻 求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论 归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、 定义、公理等）为止，这种证明方法叫做分析法. 反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角 度思考问题的证明方法，即肯定题设而否定结论，从 而导出矛盾推理而得. 法国数学家阿达玛(Hadamard) 对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否 定其结论，就会导致矛盾”.具体地讲，反证法就是从 否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推 理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已 知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确 的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定 了命题的结论，从而使命题获得了证明. 反证法简介 反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定 推理否定”.即从否定结论开始，经过正确无误 的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反 证法的基本思想就是“否定之否定”。应用反证法证 明的主要三步是：否定结论 推导出矛盾 结 论成立. 反证法的证题模式 反证法证明命题的一般步骤： 第一步，反设：作出与求证结论相反的假设； 第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过 一系列的正确推理导出矛盾； 第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原 命题成立. 用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情 况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以， 这种反证法又叫“归谬法”； 如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有 的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种 反证法又叫“穷举法” 归谬法和穷举法 反证法的类型 在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过： “反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲，反 证法常用来证明的题型有： 2. 具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的 命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考， 问题可能解决得十分干脆. 1. 命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、 “唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明 显. 反证法的适用范围 不等式的常见证明方法 1.直接证法 1）比较法（作差、或作商） 2） 综合法 3） 分析法 4） 其它换元法、放缩法等 2. 间接证法 反证法 例 1. 如果ab0, cb0, 得a-b0,ab0, 又cb 与同时成立的充要条件 解答： ab0，b0，求证：a3+b3a2b+ab2 即a3+b3a2b+ab2. 证明一：比较法（作差） （a3+b3）-（a2b+ab2）=（a3- a2b）+（b3-ab2） =a2(a-b)+b2(b-a) a0，b0， ( a-b)2(a+b)0. 故（a3+b3）-（a2b+ab2）0, a+b0，而( a-b)20. =( a-b)2(a+b).=(a-b)(a2-b2) 故a3+b3a2b+ab2. 证明二：比较法（作商） a2+b22ab， 又a0，b0，所以ab0， 所以有a3+b3a2b+ab2. 证明三：分析法 欲证a3+b3a2b+ab2， 只需证明(a+b)(a2+b2-ab)ab(a+b). 由于a0，b0， 所以a+b0， 故只要证明a2+b2-abab即可。 即证明a2+b22ab. 而a2+b22ab 显然是成立的 即a3+b3a2b+ab2. 证明四：综合法 a2+b22ab，a2+b2-abab. 又a0，b0，a+b0， 故(a+b)(a2+b2-ab)ab(a+b). 3.比较代数式大小的方法 例3.比较 与 的大小 分析：此题属于两个代数式比较大小，可以作差， 判断差值正负，从而得出两个代数式的大小. 当 时， ，所以 当 时， ，所以 2.比较代数式大小的方法 例4.已知 ，比较 与 的大小 解：作差比较 因为a0， 所以-a20 解： 所以 比较 与 的大小 练习2 1).如果ab0，则下列不等式中不成立的是（ ） （A） （B） （C）ab （D）a2b2 2).a、b是任意实数，且ab，则 （ ） （A） a2b2 （B） （C）lg（a-b）0 （D） B D 练习3 3.a、b、c、d是任意实数，且ab，cd，则下 列结论正确的是 （ ） （A）a+cb+d （B）a-cb-d （C）acbd （D） A 4.不等式的应用实例 例5.某夏令营有48人，出发前要从A、B两种型 号的帐篷中选择一种.A型号的帐篷比B型号的少5顶. 若只选A型号的，每顶帐篷住4人，则帐篷不够；每 顶帐篷住5人，则有一定帐篷没有住满.若只选B型号 的，每顶帐篷住3人，则帐篷不够；每顶帐篷住4人 ，则有帐篷多余.设A型号的帐篷有x顶，用不等式将 题目中的不等关系表示出来. 解：设A型号帐篷有x个，则B型号帐篷有（x+5) 个，则有如下不等关系： 练习：旅行社为了吸引更多的游客加入， 各自推 出了独特的营销策略，实行团体优惠是司空见惯的.甲 、乙两家旅行社对家庭旅行者的优惠条件是： 甲旅行 社称凡全家旅游，其中一人交全费的，其余的人可享