特征值与特征向量1.ppt

第五讲 特征值与特征向量 矩阵的特征值与特征向量和相似标准形的 理论是矩阵理论的重要组成部分，它们不只在 数学的各分支，如微分方程、差分方程等中有 重要应用，而且在其他科学技术领域也有广泛 的应用，如工程技术中的振动问题和稳定性问 题等。本章将介绍特征值与特征向量、相似矩 阵、实向量的内积与正交矩阵等概念，讨论方 阵相似于对角矩阵的问题 知识脉络图解 特 征 值 和 特 征 向 量 定义 计算 应用 性质 求特征值 求特征向量 方阵的相似 对角化 计算 化二次型为 标准型 对应不同特征值的 特征向量线性无关 对应于不同特征值 的特征向量正交 重点、难点解读 首先要理解特征值和特征向量的定义以及特征向 量与相似对角化问题之间的关系。理解两个矩阵相似 的定义和必要条件。 熟练地掌握特征值及特征向量的求法以及求一个正 交矩阵把一个具体的实对称矩阵相似对角化的一般步骤 。 对于方阵的对角化问题，应掌握以下几个基本结 论： 阶方阵A可以相似对角化的充分必要条件是A 有 个线性无关的特征向量； 方阵未必总是可以对 角化的，但实对称矩阵一定可以相似对角化，而且可 以正交相似对角化。 一、求具体矩阵的特征值与特征向量 1、矩阵的特征值与特征向量 设A是数域F 上的一个 阶方阵，如果存在数 和数 域F上的 维非零向量 ，使得 则称 为A的特征值， 为A的对应特征值的特征向量， 称 为A的特征矩阵；称 为A的特征多项式 ；称 为A的特征方程。 2、求具体矩阵的特征值与特征向量的步骤 第一步 由特征方程 求得A的 个特征值， 设 是A的互异特征值，其重数分别为 ， 则 第二步 求解齐次线性方程组 ， 其基础解系 就是A对应特征值 的线性无关特征向量，而A对应特 征值 的全部特征向量为 矩阵阵 特征值值 特征向量 3、矩阵运算的特征值与特征向量 4、特征值的重要性质 设 的 个特征值为 ，则 例1 设矩阵 求 的特征值与特征向量。 解 法1 经计算可得 从而 故 的特征值为9，9，3. 当 时，对应的线性无关特征向量可取为 所以对应于特征值9的全部特征向量为 （ 是不全为零的任意常数） 当 时，对应的特征向量可取为 所以对应于特征值3的全部特征向量为 （ 是不全为零的任意常数） 法2 设A的特征值为 ，对应的特征向量为 ， 即由于所以又因为 故有于是有 则 因此， 为 的特征值，对应的特征向量为 由于 故A的特征值为 。 当 时，对应的线性无关特征向量可取为 当 时，对应的特征向量可取为 由得 故 的特征值为9，9，3. 所以对应于特征值9的全部特征向量为 （ 是不全为零的任意常数 ） 对应于特征值3的全部特征向量为 （ 是不全为零的任意常数） 二、求抽象矩阵的特征值与特征向量 对于元素没有具体给出的抽象矩阵，要根据题设条 件，利用特征值与特征向量的定义，即满足 ， 的 和 为A的特征值和相应的特征向量；或利用特征 方程 ，满足特征方程的 即为A的特征值；或 利用特征值的有关性质和结论推导出特征值的取值。 例1 设有4阶方阵A满足条件 其中E 为4阶单位矩阵，求A的伴随矩阵 的一个特征值 。 分析 的特征值为 ，其中 是A的特征值。因 此，本题的关键在于计算 以及A的一个特征值，而这 由已知条件均很容易得到。 解 由 ，得A的一个特征值 又由条件，有 即 由于 ，所以 ，故 的一个特征值为 证 由题设知 例2 证明：若A为 阶降秩矩阵，则A的伴随矩阵 的 个特征值至少有 个为零，且另一个非零特征值 （如果存在）等于 （1）当 时， ，所以 的特征值为0 ，0，0，结论成立。 （2）当 时， ，这时 有 个特 征值为0，设 的特征值为 ，且 则 例3 设A是 阶实对称矩阵，P 是 阶可逆矩阵， 已知 是属于A的特征值 的特征向量，则矩阵 属于特征值 的特征向量是 因为 所以，选B 。 例4 已知3阶矩阵A的特征值为1，-1，2.设矩阵 （1）求矩阵B 的特征值。 （2）计算行列式 及 解 （1）由 ，知 ，故 因而 为B 的特征值，将A的特征值代入 中， 得到B 的所有特征值-4，-6，-12. （2）因 所以 由 ，得 （2）另解 因A的特征值为1，-1，2，故 三、方阵可对角化的判定、计算及应用 1、相似矩阵的概念 设A,B 为数域F 上的两个 阶矩阵，如果存在数域 F 上 阶可逆矩阵X，使得 ，则称A相似于 B，记为AB；并称由A到B 的变换称为相似变换，称 矩阵X 为相似变换矩阵。 2、相似矩阵的性质 设 阶矩阵A与B 相似，则 （1） （2） （3） （4）（如果可逆）； （5）若 是数域F上任一多项式，则 （6）方阵的相似关系是等价关系。 3、可对角化矩阵的概念 如果数域F 上 阶矩阵A可相似于对角矩阵，则称A 可对角化。 4、可对角化矩阵的条件 （1）（充分必要条件）A有 个线性无关的特征向量； （2）（充分条件）A有 个互异的特征值； （3）（充分必要条件）A的所有重特征值对应的线 性无关特征向量的个数等于其重数； （4）（充分条件）A是实对称矩阵。 5、方阵可对角化矩阵的判定与计算 对于 阶方阵A，判断A可否对角化，并在可对角 化的情形下求出相似变换矩阵和相应的对角矩阵的基本 步骤如下： 第一步 求A的全部特征值。若A有 个互异的特征 值，则A可对角化。 第二步 对每一个特征值 ，解方程组 得对应 的线性无关特征向量（即齐次线性方程组的基 础解系） 若某个 ，即对应 的线性无关特征向量的个数小 于 的重数，则A不可对角化；若 ， 则A可对角化。 第三步 当A可对角化时，令 则 例1 下列矩阵中 取何值时，A可对角化？ 解 由 ，知A的特征值为1（2重 ）和2（2重），为使A可对角化，则只需对应的线性无 关的特征向量均有两个，也即 。 由于 可见为使 ，必须 ，而 任意。为使 必须 ，而 任意。故当 而 任意时，A可对角化 。 例2 设向量 且 令 ，证明A可对角化。 证 由题设知 设 ，即 为A的特征值， 为对应的特征向量， 则由 得 ，即 ，也即 由 知 ，所以A的互异特征值为 或 又因为 所以 为A的单特征值， 为A的 重特征值 。 为证A可对角化，只需证对应于 的线性无关特征 向量的个数为 ，即齐次线性方程组 的基 础解系含有 个解向量，也即 即可。 由 ，知 不全为零，于是 且 从而又有 ，故 因此，A的对应于特征值 的线性无关特征向量的个 数为 ，所以A可对角化。 例3 设矩阵 ，已知A有三个线性无关的 特征向量， 是A的二重特征值。试求可逆矩阵P ，使 得 为对角矩阵。 解 由题设知，A对应于 的线性无关的特征向量 有两个，故 ，由于 也可由 推出 解得 矩阵A的特征多项式为 由此得特征值 可求得对应于 的线性无关特征向量为 而对应于 的特征向量为 ，故可逆矩阵 使得 例4 设矩阵 的特征方程有一个二重 根，求 的值，并讨论A是否可相似对角化。 解 A的特征多项式为 若 是特征方程的二重根，则有 解得当 时，A的特征值为2，2，6. 此时，矩阵 的秩为1，故 对应的 线性无关的特征向量有两个，从而A可相似对角化 。 若 不是特征方程的二重根，则 为 完全平方，从而 ，解得 当 时，A的特征值为2，4，4。 此时，矩阵 的秩为2，故 对应的 线性无关的特征向量只有一个，从而A不可相似对角化。 例5 设A为三阶矩阵， 为线性无关的三维列 向量。且满足 （1）求矩阵B ，使得 （2）求矩阵A的特征值； （3）求可逆矩阵P ，使得 为对角矩阵。 解 （1）由题设条件，有 可知 （2）因 为线性无关的三维列向量，可知矩阵 可逆，所以即A与B 相似。 由此可知A与B有相同的特征值。且由 得矩阵B的特征值，也即矩阵A的特征值 （3）对应于 解齐次线性方程组 得基础解系 得基础解系 对应于 解齐次线性方程组 故可逆矩阵 使得 因为 记矩阵 即P 即为所求的可逆矩阵 。 四、由特征值或特征向量反求矩阵中的参数 若已知条件中给出特征向量，由定义式 可以 求出矩阵A中的参数和特征向量 对应的特征值 ；若只 给出特征值而没有给出特征向量，一般用特征方程 求解。 利用有关性质，如 （1）若A与B 相似，则 （2）相似矩阵有相同的特征值； （3）若 的 个特征值为 ，则 等也可确定矩阵中的参数。 例1 已知 是矩阵 的一个特征 向量。 （1）试确定参数 及特征向量 所对应的特征值； （2）问A能否相似于对角阵？说明理由。 解 （1）由 ，得 即 解得 ，特征向量 对应的特征值 （2）由 知 是A的三重特征值，又 所以 ，从而3重特征值-1对应的线性无关特 征向量只有1个，故A不能相似于对角矩阵。 例2 已知 是矩阵 的逆矩阵 的特征向量，试求常数 的值。 解 设 是 所属的特征值，则 ，即 ，于是 由此得 解得 于是 或 1 时， 是 的特征值。 例3 已知矩阵 与 相似， 求 解 法1 因为A与B 相似，所以 ，得 比较两边同次幂的系数，得 解得 法2 因为A相似于B，而B 为对角阵，故知A的特征 值为0，1，4，可求得 分别令 得 解得 法3 利用 并注意A的特征值为0，1，4，得 解得 五、由特征值或特征向量反求矩阵 提供了矩阵A的特征值与特征向量的足够多信息，确 定A的元素，即为反求矩阵的问题。在这类问题中，矩阵 A一般是可对角化的。 例1 设三阶实对称矩阵A的特征值为1，-1，0，其中 的特征向量分别为 求矩阵A 。 分析 这是已知全部特征值与部分特征向量，反求另 一部分特征向量及矩阵A的问题，这类问题一般是对实对 称矩阵来讨论的，主要是利用实对称矩阵的不同特征值 对应的特征向量正交的性质。 解 由于A是实对称矩阵，故有 解得 ，从而 设 是A对应特征值 的特征向 量，它与 都正交，于是 解得其基础解系为 ，于是 ，令 则 故 例2 设三阶实对称矩阵A的秩为2， 是A的 二重特征值，若 都是 A的属于特征值6的特征向量。 （1）求A的另一个特征值和对应的特征向量。 （2）求矩阵A。 解 因为 是A的二重特征值，故A属于特征 值6的线性无关的特征向量有2个，由题设可得 的 一个极大无关组为 ，故 是A属于特征值6的线 性无关的特征向量。 由 可知， ，所以A的另一个特征值 设 所对应的特征向量为 ，则有 ，即 解此方程组的基础解系为 ，即A属于特征值 的特征向量为 （ 为不为零的任意常数） （2）令矩阵 ，则由 六、有关特征值与特征向量的证明 涉及矩阵A的特征值与特征向量的证明问题，往往 是由定义 出发，经恒等变形推证有关结论。 例1 设A和B 均是 阶非零方阵，且满足 证明：（1）0和1必是A和B 的特征值； （2）若 是A的属于特征值1的特征向量， 则 必是B 的属于特征值0的特征向量。 证 （1）由 ，得 ，又 所以 有非零解，从而即 必是 A的特征值 。 又因为 且 ，从而 有非 零解，即 ，故 也必是A的特征值。 同理可证，0和1必是B 的特征值。 （2）由题设 ，则有 例2 设 是矩阵A的两个不同的特征值，对应的 特征向量分别为 ，则 线性无关的充分 必要条件是 分析 设 ，整理得 由于 是矩阵A的两个不同的特征值，所以对应的特 征向量 线性无关，从而 上述方程组只有惟一零解的充分必要条件是 ，这 即是 线性无关的充分必要条件。 应选（B）。 可见 是A的属于1的特征向量时， 也是B 的属于0的 特征向量。 例3 设 阶方阵A可与对角阵相似， 是A的一个 特征值， 是A属于特征值 的特征向量，试证： 元 线性方程组 无解。 证 用反证法 若线性方程组 有解， 设为 ，即 ，根据题设，存在可逆矩阵 ，使得 由于T 可逆，所以 线性无关，从而它们为 的一组基。故 于是 这与 线性无关矛盾，故不存在 使 七、相似矩阵的判断与证明 已知两个具体的 阶矩阵A和B ，判断A与B 是否 相似常采用如下方法： 方法1 当 ，或 ，或 有一个不成立时，A与B 不相似（因为上述条件均为A 与B 相似的必要条件）。 方法2 当A与B 都相似于同一个对角矩阵时，A与 B 相似（所给的条件仅是充分的）。对于抽象矩阵A与 B 是否相似，常用定义判定。 例1 已知3阶方阵A与3维列向量 ，使得向量组 线性无关，且满足 （1）记 ，求3阶方阵B，使 （2）计算行列式 解 （1） 矩阵B满足 ，即 。由于 所以 （2） 证 由于 ，所以 必要性获证，下证充分性， 设 ，则 令 则 均为可逆矩阵，且 例2 设 是 阶方阵，其中 是可 逆的，试证：存在可逆矩阵 使 成立的充分必要条件是 和 相似。 八、正交矩阵的判断与证明 1、正交矩阵的概念 阶矩阵A为正交矩阵 2、正交矩阵的性质 （1）如果A是正交矩阵，则 （2）如果A是正交矩阵，则 均为正交矩 阵 ；而 是正交矩阵的充分必要条件是 （3）如果A，B 是 阶正交矩阵，则AB 也是正交矩阵； （4） 阶实矩阵A是正交矩阵的充分必要条件是，A的 列（行）向量组是规范正交向量组。 判定一个实方阵A是否为正交矩阵往往用定义，也可 验证A的列（行）向量组是否是规范正交向量组。当已知 A是正交矩阵求证其他结论时，要用到正交矩阵的定义及 有关性质。 例1 如果实对称矩阵A满足 ，证明 ：为正交矩阵。 证一 因为A满足 和 ，所以 为正交矩阵。 故 证二 由 得 ，所以 为正交矩阵。 故 例2 求证：不存在正交矩阵A,B ，使 证