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系统的动力学方程 吕叔湘中学 庞留根 2004年9月 Email: 推广的动力学方程 系统所受的合外力等于系统内各物体的质 量和加速度乘积的矢量和。即： F = m1a1 + m2a2 + m3a3 + 其分量表达式为 Fx=m1a1x+ m2a2x+ m3a3x+ Fy=m1a1y+ m2a2y+ m3a3y+ m M 例1、如图示，质量为M的框架放在水平地面上，一轻 弹簧上端固定在框架上，下端固定一个质量为m 的 小球，小球上下振动时，框架始终没有跳起，当框 架对地面的压力为0 瞬间，小球的加速度大小为 （ ） A. g B. (M-m) g /m C. 0 D. (M+m) g /m 解：对系统分析受力如图示， N （M+m）g 由系统的动力学方程 （向下为正方向） ( M+m)g N=ma+0 N=0时 a =(M+m) g /m D 例2、如图示一个箱子放在水平地面上，箱内有一固 定的竖直杆，杆上套着一个环，箱和杆的质量为M， 环的质量为m，已知环沿着杆加速下滑，加速度的大小 为a m2 ，过杆的中点O处有光滑的水平转 动轴。杆可绕轴在竖直平面内转动,当杆到达竖直位置 时，转动的角速度为, A球正好位于上端,B球位于 下端,则沿竖直方向,杆作用于固定轴的力的方向一定 向上的条件是什么? 解： O B A m2 m1 由牛顿第三定律, 杆作用于固定轴的力的方向向上, 则杆受到轴的作用力N一定向下, 如图示: N (m1 +m2 )g 由系统的动力学方程（向下为正方向） 对系统: (m1 +m2 )g +N = m12 L - m22 L N 0 2 L (m1 +m2 )g (m1 -m2 ) 例7长L的轻杆两端分别固定有质量为m的小铁球， 杆的三等分点O处有光滑的水平转动轴。用手将该装 置固定在杆恰好水平的位置，然后由静止释放，当杆 到达竖直位置时，求轴对杆的作用力F的大小和方向 。 O 1 2 解：根据系统机械能守恒可求出小球1在最高点的速度v ： v mg2/3 L-mg1/3 L =1/2 mv2+1/2 m(2v)2， v2=2gL/15 由系统的动力学方程（向下为正方向） ， 设轴对杆的作用力F 向上， F 2mg 得到 F=2.4 mg 例8.如图所示，在质量为M的物体内有光滑的圆形轨道，有一质 量为m的小球在竖直平面内沿圆轨道做圆周运动，A与C两点分别 道的最高点和最低点，B、D两点与圆心O在同一水平面上。在小 球运动过程中，物体M静止于地面，则关于物体M对地面的压力N 和地面对物体M的摩擦力方向，下列正确的说法是 ( ) A.小球运动到A点时，N Mg，摩擦力方向向左 B.小球运动到B点时， N = Mg， 摩擦力方向向右 C.小球运动到C点时， N (M+m)g，地面对M无摩擦 D.小球运动到D点时， N = (M+m)g，摩擦力方向向右 O A B C D M 点拨：画出系统的受力图如图示： N （M+m）g f 由系统的动力学方程 A点(M+m) g - N 1= m v2 /r f=0 B点(M+m) g - N 2= mg f2 = m v2