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6.5 线性微分方程解的结构 一、高阶线性微分方程的一般理论 二、二阶常系数齐线性微分方程的解 三、二阶常系数非齐线性微分方程的解 一、高阶线性微分方程的一般理论 n 阶线性方程的一般形式为 二阶线性微分方程的一般形式为 通常称 ( 2 ) 为 ( 1 ) 的相对应的齐方程。 我们讨论二阶线性方程的一般理论，所得结论可 自然推广至 n 阶线性方程中。 6.5.1 函数组的线性无关和线性相关 例 证 由三角函数知识可知，这是不可能的，故 例 证 定理： 朗斯基 ( Wronsky ) 行列式 朗斯基行列式可以推广到 n 个函数的情形 。 例 1. 二阶齐次线性微分方程的性质和解的结构 定理6.1 叠加原理 的解，则它们的线性组合 也是方程 (2) 的解， 6.5.2 线性微分方程的性质和解的结构 证 的解，则它们的线性组合 也是方程 (2) 的解。 推推 广广 在什么情况下，叠加所得可以成为方程 (2) 的通 解？ (2) 二阶齐线性微分方程解的结构 定理定理6. 6.2 2 的两个线性无关的解，则 是方程 (2) 的通解。 定理定理 2 2 例 解 又容易看出： 而 由叠加原理，原方程的通解为 问题：问题： 该该问题的解决归功于数学家刘维尔。问题的解决归功于数学家刘维尔。 代入方程中，得 怎么做？ 关于 z 的一阶线性方程 即 故有 两边积分，得 关于 z 的一阶线性方程 定理6.3 为原方程的通解。 则 （刘维尔公式） 例 解 由刘维尔公式 故原方程的通解为 2. 二阶非齐线性微分方程解的结构 (1) 解的性质 性质性质 1 1 的一个特解，则 是原方程的一个特解。 性质性质 2 2 的一个特解，则 是方程 的一个特解。 （定理6.7） 性质性质 3 3 是其对应的齐方程 的一个特解。 性质性质 4 4 的一个特解。 （P.328定理6.8） 如何求特解？如何求特解？ 定理定理6.66.6 的通解，则 是方程 (1) 的通解。 由性质1 以及通解的概念立即可以得知该定理成立 。 6.4.3 二阶线性微分方程的常数变易法 (例6.45略) 常数变易法常数变易法 则有 令 以下推导的前提以下推导的前提 于是 对上式两边关于 x 求导，得 这两部分 为零。 即 联立 (3)、(4) 构成方程组 解此方程组，再积分，并取积分常数为零，即可得到 例 解该方程所对应的齐方程为 它就是我们刚刚讲过的例题，由刘维尔公式得其通 解为 由常数变易法，解方程组 两边积分，取积分常数为零，得 两边积分，取积分常数为零，得 故原方程有一特解 从而，原方程的通解为 例6.46略 例6.47 解 先将方程变形为 所以，对应的齐次的通解为 所以，对应的齐次的通解为 设原方
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