广东省佛山市第三中学高中数学 《利用函数性质判定方程解的存在》教案 新人教版必修.doc

广东省佛山市第三中学高中数学 利用函数性质判定方程解的存在教案 新人教版必修1教学课题：利用函数性质判定方程解的存在教学目标：1、能正确认识函数和方程的关系，体会函数的核心地位。 2、能利用函数的性质判定方程解的存在性。教学重点：1、体会运用函数的思想研究函数的零点和方程实数解的关系。 2、运用数形结合思想找到判定方程在某区间内是否有解的勘根定理。教学过程：师：还记得我们曾经学过什么方程么？生：一元一次方程、一元二次方程、对数、指数方程等等师：我们会求所有方程的解么？生：不会。但一元一次方程、一元二次方程可以求。师：当我们碰到高次方程等的时候，有没有办法判定它们是否有解呢？生：应该有吧？师：这节课我们就从函数和方程的关系入手来解决这个问题。我们先看一个熟悉的方程（生：一元二次方程。根是2和3。师：很好。我们令函数，则变为求方程的解，是吗？生：是。师：看看函数的图象。求方程的解就是求函数的什么东西？生：就是求函数图像与X轴的交点的横坐标。师：对！我们把函数与X轴的交点的横坐标叫此函数的零点。函数的零点就是方程的解。零点有几个，方程的解就有几个。那么有几个零点呢？生：两个。师：我们再看图象与X轴的两个交点（2,0）（3,0）把X轴分成三个区间（）、（2,3）、（）。当X（2,3）时如。当X（2,0）（）时如，生：这与方程的解有何关系？师：我们把X轴看成一条河，X轴上下方为河的两岸，又因为图象没有断开，也就是连续曲线，故从河的一岸到另一岸（如从即X轴上方的点到即X轴下方的点）必须经过什么地方？生：中间的那条河X轴。师：经过X轴说明了什么？生：函数有零点，方程有实数解。师：非常好！那么我们从刚才例子中的、能看出方程解的大致区间吗？生：方程在（4,0）和（0， 4）上有解。师：这种方法我们称为勘根定理。请大家看P132第二段的定理。（停顿一分钟）有哪些字眼比较重要呢？生：“连续”、“至少”。师：连续曲线也就是曲线中没有断开的点，为什么一定要“连续”曲线呢？如下面函数，虽然，但与X轴无交点，则方程在（a，b）上无解。那“至少”又如何理解？生：比如以下两个函数，尽管但解的个数并不一样。师：如果则方程的解是什么?生：当然是Xa或Xb了！师：很好！现在，我们来看看这个方程。（P132，例2）已知函数。问：方程在区间内有没有实数解？为什么？生：有。解：因为，所以在区间1,0内有实数解。师：有没有忽略的地方？生：又因为函数的图象是连续曲线。师：不错。那以下的方程又如何？（在内是否存在实数解？）生：因为， ，所以在内存在实数解。师：刚刚我们讲过要注意什么问题？生：函数是连续曲线。（好像不连续？个别学生说）师：请你来说说你的看法（某个同学）生：因为，所以函数有断开的地方。图像不连续。师：对！这个断开的点就在内，故我们不能说由勘根定理知道方程有实数解。生：但究竟怎么判定这个方程在内有没有解呢？师：可以根据函数的图像进行判断。的图像是由的图像向上移动一个单位，如图可知，图像与x轴无交点，则函数无零点，方程无解。所以连续这个前提还是很重要的。但是我们所接触的函数大多是连续函数。这点还是很方便我们利用勘根定理的。下面请同学们看看P133的练习1。（观察下面的四个函数图像，指出在区间内，方程哪个有解？说明理由。）生：（做习题。）师：怎样？有结论没有？生：第一、二个方程有解，第三、四个方程无解。师：如何判断？生：看图像与X轴的负半轴有无交点即可。有交点即方程有解，无交点即方程无解师：如果我想用勘根定理具体解释呢？生：第一、二个函数都可以在内找到a,b,使，所以函数有零点，方程在内有解。但第三个函数恒小于零，而第四个函数在 内没有图像。师：看来大家对勘根定理掌握得不错，现在我们来看看能否进一步确定函数的零点所在的大致区间。（P132例3）判定方程(x-2)(x-5)=1有两个相异实根，且一个大于5，一个小于2。生:令，有f(5)=1，f(2)=1。再看f(x)的图象是如上的抛物线,故抛物线与X轴在(内有一个交点,在内也有一个交点.所以方程(x-2)(x-5)=1有两个相异实根,且一个大于5，一个小于2。师：由此我们可以看到很多时候都需要结合函数的图像和勘根定理进行分析方程解的情况。请大家做做P133的练习3（2）（给出方程的一个实数解的存在区间。）生：用计算器代些数据进去试试，看看有无。师：那代些什么数据好呢？生：代些10的N次方好，因为有常用对数。师：没错！但其实我们可以先利用函数的图像再看图初步确定解的大致区间。因为方程可化成令f(x)=lgx ，g(x)=-x，画出它们的图像，可以看出方程的解其实是两函数图像的交点横坐标。生：而且交点处于0和1之间。那代a=0.1，b=1，可以得出，所以该函数在（0.1,1）内有解。师：这节课我们利用函数和方程的关系，通过数形结合，得到方程根的存在性定理勘根定理。只需注意一个前提、一个式子即可。生：前提是连续曲线，式子是。课后习题：P136 1、2设计说明：本课题所涉及到的原理是原高等数学中的介值性定理，但高等学校是强调函数的连续性，而新教材中对连续并不严格定义，所以我尝试从以下几方面入手：由于函数和方程的紧密关系及其在中学的重要地位，我首先详细和学生探讨函数y=f(x)和方程f(x)=0间的关系，求方程解即是当函数的y=0时x的值，表现在图像上即是图像和x轴交点的横坐标，由具体的一个一元一次方程出发，提炼出函数的零点个数即是方程解的个数的结论。由特殊到一般、结合图像自然得到勘根定理。分析勘根定