近似法计算自振频率.ppt

12.11 近似法计算自振频率 近似法通常有三种途径： (1) 能量法：对体系的振动形式给以简化假设，但不改变结构的 刚度和质量分布，然后根据能量守恒原理求得自振频率。 (2) 集中质量法：将体系的质量分布加以简化，以集中质量代 替分布质量，用有限自由度体系代替无限自由度体系求频率。 (3) 迭代法：采用近似算法求解，算出自振频率。 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 12.11.1 能量法求第一自振频率瑞利(Rayleigh)法 瑞利法适用于求第一自振频率；瑞利里兹(Rayleigh-Ritz)法 是其推广形式，可用于求最初几个频率。 1.出发点(依据) 瑞利法的出发点是能量守恒原理，即一个无阻尼的弹性体系 自由振动时，它在任一时刻的总能量(应变能U与动能T之和) 应当保持不变，即 机械能=应变能(U)+动能(T)=常数 2.位移表达式 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 梁的动能: 其最大值为: 4.梁的弯曲应变能 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 其最大值为 5.应用能量守恒原理 根据能量守恒原理，可知 Tmax=Umax All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 由此，求得计算频率的公式为 (12-124) 上式就是瑞利法求自振频率的公式。 6.能量法的关键 能量法的关键是假设振型函数 ： 1) 若假设的位移形状函数正好与第i个主振型相符，则可求得 该wi的精确值。此法一般用于计算第一自振频率w1。 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 2) 振型函数 的假定原则：应满足边界条件 两端位移边界条件(必须满足) 3) 通常对 作如下选择： 其一，选取某个静力荷载q(x)(例如结构自重)作用下的弹性曲 线作为 的近似表示式，由式（12-124）即可求得第一频 率的近似值。此时，应变能可用相应荷载q(x)所做的功来代 替，即 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 因而式(12-124)可改写为 (12-125) 其二，选取结构自重作用下的变形曲线作为 的近似表达式( 注意，如果考虑水平振动，则重力应沿水平方向作用)，则应变 能可用重力所做的功来代替，即 于是式(12-124)可改写为 (12-126) All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 【例12-34】试用瑞利法计算图12-93所示等截面两端固定梁的 第一自振频率。设EI常数，梁单位长度的质量为。 解： (1) 假设振幅曲线 为 满足几何边界条件和力的边界条件中梁端弯矩非零的要求， 但梁端剪力为零则与实际情况不符。 (a) 将式(a)代入式（12-124），得 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 故第一自振频率 与精确值 相比，其误差为+1.9%。 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 (2)改取均布荷载q作用下的挠度曲线 作为振型函数，这时， 满足全部边界条件。 将式(b)代入式（12-125），得 (b) All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 故第一自振频率 与精确值相比，其误差为+0.4%。 【讨论】由以上结果可以看出：所选的两种振型函数，或 是大部或是全部符合边界处位移和力的实际情况，因此所 得结果误差都很小。由于第二种振型函数更接近第一振型 ，所得结果精度更高。 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 【例12-35】试用瑞利法计算图12-94a所示三层刚架的第一自 振频率。 解： (1) 选择自重作用下的弹性曲线作为振型曲线（注意：应 在各楼层水平方向分别施加自重m1g、m2g、m3g)，如图所示。 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 于是，可得 (2)求 ： All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 (3)求Umax(用外力所做的功来代替)： (4)求Tmax： (5)由Tmax=Umax求第一频率：由式(12-126)，可得 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 故第一自振频率 精确解为13.46s-1，其误差为+1.56%。 【注】采用瑞利法计算w1，其计算结果一般均高于精确值。 这是因为假设某一与实际振型有出入的特定曲线作为振型曲 线，即相当于给体系加上某种约束，增大了体系的刚度，使 其变形能增加，从而使计算的自振频率偏大。因此，用这种 方法所求的基本频率为真实频率的高限。在对用此法求得的 近似结果加以选择时，应取频率最低者。 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 12.11.2 集中质量法求自振频率 如果把体系中的分布质量换成集中质量，则体系即由无限自由 度换成单自由度或多自由度。关于质量的集中方法很多，诸如 ： 1) 静力等效的集中质量法； 2) 动能等效的集中质量法； 3) 转移质量法等。 下面，着重介绍静力等效的集中质量法。 根据静力等效原则，把无限自由度换成单自由度或多自由度 ，使集中后的重力与原来的重力互为静力等效(它们的合力彼 此相等)。例如，每段分布质量可按杠杆原理换成位于两端的 集中质量。 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 【例12-36】用集中质量法求图a所示简支梁自振频率。 解： (1) 求最小自振频率： 将原简支梁简化为单自由度体系，如图所示，得 其精确解为 ，故误差为-0.7%。 (a)(b) All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 (2)计算前两个自振频率： 将体系简化为两个自由度体系，如图所示，此时的频率方程 为 式中， ，柔度系数为 代入频率方程，可解得 其精确解 ，故此时w1和w2的误差分别为-0.1%和 -3.24%。 All Right